2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Стержень в жидкости
Сообщение29.04.2011, 23:19 
Стержень находится в вертикальном положении в гидростат. равновесии в жидкости, имеющая известный постоянный градиент плотности по вертикали: $\frac {d\rho}{dy}=\rho'=constant$. Средняя плотность стержня равна $\rho_0$. Найти частоту его вертикальных колебаний.

 
 
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение29.04.2011, 23:59 
dovlato в сообщении #440162 писал(а):
в жидкости, имеющая известный постоянный градиент плотности по вертикали

У меня есть предложение: давайте начнём с того, что таких жидкостей (в совокупности со стержнями) практически не бывает.

После чего никто уже не сможет предотвратить нашего обсчёта всех прочих сферических коней в вакууме.

 
 
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение30.04.2011, 00:36 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #440173 писал(а):
У меня есть предложение: давайте начнём с того, что таких жидкостей (в совокупности со стержнями) практически не бывает.

Вы коктейлей не смешивали :-)

 
 
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение30.04.2011, 02:04 
Задачка на самом деле очень простая и не очень олимпиадная. сила будет $-(\rho-\rho_0)g V$ тогда потенциал $(\rho-\rho_0)*V*g * y= \frac {d\rho}{dy} * V g y^2$, в равновесии тело там где плотность жидкости равна его плотности.

а квадрат частоты - всегда отношение коэффициентов в потенциальной энергии и кинетической, так что $\omega^2=\frac {d\rho}{dy}*\frac{2\,V g}{m} =\frac {d\rho}{dy}*\frac{2 g}{\rho_0}$
здесь стержень тонкий так что плотность поперек него не сильно успевает поменятся

 
 
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение30.04.2011, 09:51 
Munin в сообщении #440182 писал(а):
коктейлей не смешивали

Вот не любит ewert ни коктейлей, ни коней в вакууме(почему?!).. На самом деле, достаточно хотя бы вспомнить нашу атмосферу, где на разностях высоты в пределах сотен метров градиент её плотности практически - константа: $exp\left(-mgh/kT\right)=1-mgh/kT+o(h^2)$.

 
 
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение30.04.2011, 09:52 

(Оффтоп)

Munin в сообщении #440182 писал(а):
Вы коктейлей не смешивали :-)

А там градиент постоянен как -- до смешивания, после смешивания или после принятия?...


-- Сб апр 30, 2011 10:58:53 --

dovlato в сообщении #440206 писал(а):
достаточно хотя бы вспомнить нашу атмосферу,

Недостаточно: атмосфера -- не жидкая. Кроме того, на расстояниях порядка сотни метров не только градиент практически постоянен, но и перепад практически нулевой (порядка процента). Кроме того, трудно назвать стержнем нечто длиной в сотни метров.

Если уж задачка по физике, то и её внешний вид должен хоть сколько-то, да напоминать физику.

 
 
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение30.04.2011, 10:07 
Боже, да переформулируйте задачу под экспоненциальное давление. от того, что нужно будет взять одну производную задача сложнее не станет, а решение выше даже не поменяется =)

-- Сб апр 30, 2011 11:09:05 --

На этом принципе кстати устойчиво плавают подводные лодки

 
 
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение30.04.2011, 13:33 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

ewert в сообщении #440207 писал(а):
А там градиент постоянен как -- до смешивания, после смешивания или после принятия?...

В процессе и после смешивания.


Morkonwen в сообщении #440209 писал(а):
На этом принципе кстати устойчиво плавают подводные лодки

А у них точно эта устойчивость существенна? Или в основном за счёт рулей всё-таки?

Мне кажется, что залипание в пикноклине, наоборот, может представлять для подводных лодок опасность, снижая управляемость.

 
 
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение30.04.2011, 14:17 

(Оффтоп)

Munin в сообщении #440247 писал(а):
В процессе и после смешивания.

Не надо так шутить. Лучше немедленно выпить.


Morkonwen в сообщении #440209 писал(а):
На этом принципе кстати устойчиво плавают подводные лодки

Вряд ли. "Коэффициент упругости" для возвращающей силы -- это $\dfrac{dF}{dy}=mg\dfrac{\rho'_{\text{ср}}(y)}{\rho_{\text{ср}}}$, причём для воды отношение градиента плотности к самой плотности -- что-то порядка $5\cdot10^{-6}\text{\it м}^{-1}$. Т.е. для лодки водоизмещением в $50$ тыщ тонн возвращающая сила будет возрастать примерно на $250$ килограмм при погружении/подъёме на каждый метр. Маловато для управления, мягко говоря. Гораздо большее влияние оказывает зависимость плотности от температуры и химического состава (концентрации соли или там сероводорода), не говоря уж о течениях.

Morkonwen в сообщении #440209 писал(а):
переформулируйте задачу под экспоненциальное давление. от того, что нужно будет взять одну производную задача сложнее не станет, а решение выше даже не поменяется

Поменяется:
$\dfrac{k}{m}=\dfrac{1}{m}\cdot\dfrac{dF}{dy}=g\,\dfrac{\rho'_{\text{ср}}(y)}{\rho_{\text{ср}}}=g\,\dfrac{\rho'_{\text{ср}}(y)}{\rho_{0}}$.
И средний градиент, естественно, зависит от того, по какому закону меняется плотность в зависимости от высоты. И, кстати, откуда Вы там двойку-то выковыряли?...

 
 
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение30.04.2011, 14:48 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #440259 писал(а):
Не надо так шутить.

Я не шучу. Градиент плотности - это основа, на которой вообще все коктейли построены (кроме полностью перемешанных). Именно за счёт него коктейли имеют типичный горизонтально-полосатый вид.

ewert в сообщении #440259 писал(а):
Гораздо большее влияние оказывает зависимость плотности от температуры и химического состава (концентрации соли или там сероводорода), не говоря уж о течениях.

Именно о них и речь: в океане значительны термический и галинный градиенты. Пикноклин имеет разную глубину и значение градиента, в высокоширотных водах вообще исчезает, особенно силён в областях впадения рек в океан. Не знаю насчёт подводных лодок, но для морской биоты это отдельная зона обитания.

 
 
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение30.04.2011, 14:51 
Munin в сообщении #440263 писал(а):
Именно за счёт него коктейли имеют типичный горизонтально-полосатый вид.

Ага, и при этом градиент как раз постоянным и выходит.

 
 
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение30.04.2011, 15:05 
Аватара пользователя
Когда как. В любом случае, мы говорим о приближении в ограниченной области.

 
 
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение30.04.2011, 15:25 
Munin в сообщении #440269 писал(а):
мы говорим о приближении в ограниченной области

Ну да, в пограничном слое. И если бросить в него такой ма-аленький стерженёк, длиной где-то в полмиллиметра, то задачка как раз корректной и выйдет.

 
 
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение30.04.2011, 15:35 
Аватара пользователя
Ещё раз, вы не в курсе. В коктейле толщина слоя с примерно постоянным градиентом может быть несколько сантиметров.

 
 
 
 Re: Стержень в жидкости
Сообщение30.04.2011, 17:03 
Так..волю - в кулак, и вот оно, уравнение медленных колебаний, для любого закона изменения плотности жидкости (или газа) $\rho(y)$от высоты:$$\frac{d^2y}{dt^2}+g-\frac{g}{l\rho_0}\int\limits_{y-l/2}^{y+l/2}\rho(y+h)dh=0$$ После разложения подынт. ф. по степеням $h$, и отбрасывания всего, что выше второго порядка, получается вроде так:
$$\frac{d^2y}{dt^2}+g-\frac g{\rho_0}\left[\rho(y)-\frac{l^2}{24}\frac{d^2}{dy^2}\rho(y)+...\right]=0$$ Пусть теперь $\rho(y_0)=\rho_0$; положив $\rho(y_0+\Delta y)\approx \rho(y_0)+\frac{d}{dy}\rho(y_0) \Delta y$, где $ \rho(y_0)=\rho_0$, получаем приближение уравнения медленных колебаний: $$\frac{d^2}{dt^2} \Delta y-\frac{g}{\rho_0}\rho'\Delta y=0$$
Откуда $$\omega^2=-g\frac{d}{dy}ln[\rho(y)]$$
Критерий допустимости аппроксимации: $\left|\frac{\rho'' l}{2\rho'}\right|<<1$
Даже любопытно. Значит, для атмосферы согласно барометрической формуле имеем: $-ln(\rho)=const+mgy/kT$, откуда $$\omega^2=\mu g^2/RT$$
Хорошо бы перепроверить - но сил уже нет.

 
 
 [ Сообщений: 28 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group