теория Галуа и теория чисел

[Evgeni2011]

Кто-нибудь знает где можно почитать про $Gal(\bar Q/Q)$? Из какой это оперы? Если можно скажите конкретные источники. Спасибо.

[Sonic86]

Есть Постников Теория Галуа - самое начало, доходит до неразрешимости уравнения 5-й степени в общем виде. А так не знаю.

[Kallikanzarid]

На math.se буквально позавчера видел такой же вопрос, посмотрите там.

[Evgeni2011]

Я только знаю, что это группа автоморфизмов поля всех алгебраических чисел.

[Sonic86]

Если Вы только начали это изучать, то начните с Постникова. Ну или с какого-то другого учебника. Просто на мой взгляд, это сложная вещь.

-- Пт апр 29, 2011 13:43:06 --

там общее определение группы Галуа дается для поля (кольца?) и его расширения.

[VAL]

Sonic86 в сообщении #439880 писал(а):

Если Вы только начали это изучать, то начните с Постникова.

Как говорится, о вкусах не спорят. Но я бы рекомендовал классику, Ван дер Вардена ("Алгебра").

Это, если говорить об основах теории Галуа безотносительно вопроса топикстартера.
Если же вернутся к вопросу о группе Галуа алгебраического замыкания поля $\matbb Q$, то что-то про него было сказано в другой "Алгебре", у Ленга. Что именно - не помню, читал давно.

Впрочем и без Ленга ясно, что группа будет невообразимо огромна.

[Evgeni2011]

Один элемент этой группы мне подсказали - это автоморфизм переводящий комплексное число в его комплексно сопряженное, а какие еще есть элементы, мне непонятно.

[alex1910]

VAL в сообщении #439903 писал(а):

Sonic86 в сообщении #439880 писал(а):

Если Вы только начали это изучать, то начните с Постникова.

Как говорится, о вкусах не спорят. Но я бы рекомендовал классику, Ван дер Вардена ("Алгебра").

Это, если говорить об основах теории Галуа безотносительно вопроса топикстартера.
Если же вернутся к вопросу о группе Галуа алгебраического замыкания поля $\matbb Q$, то что-то про него было сказано в другой "Алгебре", у Ленга. Что именно - не помню, читал давно.

Впрочем и без Ленга ясно, что группа будет невообразимо огромна.

Вообще-то вопрос топик стартера - это одна из целей программы Гротендика (не достигнутая, конечно).

[Sonic86]

VAL писал(а):

Как говорится, о вкусах не спорят. Но я бы рекомендовал классику, Ван дер Вардена ("Алгебра").

А я просто кроме Постникова ничего не читал просто тогда я его выбрал. Может и Ван дер Варден вполне прекрасен.

[VAL]

Evgeni2011 в сообщении #439908 писал(а):

Один элемент этой группы мне подсказали - это автоморфизм переводящий комплексное число в его комплексно сопряженное, а какие еще есть элементы, мне непонятно.

Если бы речь шла о поле $\mathbb C$, то этим примером все нетривиальные автоморфизмы бы и исчерпывались. Но у Вас алгебраическое замыкание $\mathbb Q$.
Вот Вам пример, аналогичный Вашему:
Каждое алгебраическое число можно представить в виде $a+b\sqrt 2$, где $a$ и $b$ принадлежат максимальному подполю $\mathbb \overerite{Q}$, не содержащему $\sqrt 2$. Переведем этот элемент в $a-b\sqrt 2$. Чем не автоморфизм?

[Evgeni2011]

VAL в сообщении #439923 писал(а):

Evgeni2011 в сообщении #439908 писал(а):

Один элемент этой группы мне подсказали - это автоморфизм переводящий комплексное число в его комплексно сопряженное, а какие еще есть элементы, мне непонятно.

Если бы речь шла о поле $\mathbb C$, то этим примером все нетривиальные автоморфизмы бы и исчерпывались. Но у Вас алгебраическое замыкание $\mathbb Q$.
Вот Вам пример, аналогичный Вашему:
Каждое алгебраическое число можно представить в виде $a+b\sqrt 2$, где $a$ и $b$ принадлежат максимальному подполю $\mathbb \overerite{Q}$, не содержащему $\sqrt 2$. Переведем этот элемент в $a-b\sqrt 2$. Чем не автоморфизм?

Не могли бы Вы объяснить мне почему базисом $\bar Q$ относительно его максимального подполя не содержащего $\sqrt 2$ являются 1 и $\sqrt 2$.

[VAL]

Evgeni2011 в сообщении #441444 писал(а):

VAL в сообщении #439923 писал(а):

Evgeni2011 в сообщении #439908 писал(а):

Один элемент этой группы мне подсказали - это автоморфизм переводящий комплексное число в его комплексно сопряженное, а какие еще есть элементы, мне непонятно.

Если бы речь шла о поле $\mathbb C$, то этим примером все нетривиальные автоморфизмы бы и исчерпывались. Но у Вас алгебраическое замыкание $\mathbb Q$.
Вот Вам пример, аналогичный Вашему:
Каждое алгебраическое число можно представить в виде $a+b\sqrt 2$, где $a$ и $b$ принадлежат максимальному подполю $\overline{\mathbb Q}$, не содержащему $\sqrt 2$. Переведем этот элемент в $a-b\sqrt 2$. Чем не автоморфизм?

Не могли бы Вы объяснить мне почему базисом $\bar Q$ относительно его максимального подполя не содержащего $\sqrt 2$ являются 1 и $\sqrt 2$.

Не могу. Боюсь, что я соврал :(
$\overline{\mathbb Q}$, похоже, будет бесконечномерно над своим максимальным подполем, не содержащим $\sqrt 2$.

[nnosipov]

VAL в сообщении #441535 писал(а):

$\overline{\mathbb Q}$, похоже, будет бесконечномерно над своим максимальным подполем, не содержащим $\sqrt 2$.

Максимальное подполе, не содержащее $\sqrt 2$ --- что за зверь такой?

[VAL]

nnosipov в сообщении #441710 писал(а):

VAL в сообщении #441535 писал(а):

$\overline{\mathbb Q}$, похоже, будет бесконечномерно над своим максимальным подполем, не содержащим $\sqrt 2$.

Максимальное подполе, не содержащее $\sqrt 2$ --- что за зверь такой?

Подполя $\overline{\mathbb Q}$, не содержащие $\sqrt 2$, образуют частично упорядоченное множество по включению, в котором по лемме Цорна такой зверь, вроде, обязан водиться.

[nnosipov]

VAL в сообщении #441757 писал(а):

nnosipov в сообщении #441710 писал(а):

VAL в сообщении #441535 писал(а):

$\overline{\mathbb Q}$, похоже, будет бесконечномерно над своим максимальным подполем, не содержащим $\sqrt 2$.

Максимальное подполе, не содержащее $\sqrt 2$ --- что за зверь такой?

Подполя $\overline{\mathbb Q}$, не содержащие $\sqrt 2$, образуют частично упорядоченное множество по включению, в котором по лемме Цорна такой зверь, вроде, обязан водиться.

Надо полагать, таких максимальных подполей много. Или оно однозначно определено?