Сходится или расходится

[RIP]

Мне известна такая формулировка, что кол-во $n<N$, для которых $\{\alpha n\}$ лежит в интервале длины $l$, есть $(l+o(1))N$, причем $o(1)$ равномерно по интервалам (вроде бы). Я понимаю это так: Фиксируем $\varepsilon>0$. Тогда для $N>N_0(\varepsilon)$ доля чисел, лежащих в интервале длины $l$, $\in(l-\varepsilon;l+\varepsilon)$. Для $l<\varepsilon$ это ничего не дает (т.к. нас интересует именно оценка снизу). Если бы можно было получать оценку для $N_0(\varepsilon)$, но и тут облом.
Резюмирую. Переход к интегралу по $c$ мне не удается строго обосновать (у меня тоже была такая мысль сперва).

[Руст]

Распределение равномерное, даже более равномерное, чем любое компьютерное псевдослучайное число. Соответственно сведение к интегралу указанного вида обоснованю.