Мне известна такая формулировка, что кол-во

, для которых

лежит в интервале длины

, есть

, причем

равномерно по интервалам (вроде бы). Я понимаю это так: Фиксируем

. Тогда для

доля чисел, лежащих в интервале длины

,

. Для

это ничего не дает (т.к. нас интересует именно оценка снизу). Если бы можно было получать оценку для

, но и тут облом.
Резюмирую. Переход к интегралу по

мне не удается строго обосновать (у меня тоже была такая мысль сперва).