2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Произведение любых 2010+1 делится на 2011-ое
Сообщение28.04.2011, 20:56 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
Найти 2011 натуральных чисел, произведение любых 2010 из которых, сложенное с единичкой, делится на оставшееся, 2011-ое число.

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение любых 2010+1 делится на 2011-ое
Сообщение28.04.2011, 21:13 
Заслуженный участник


20/12/10
9110
Чего-то здесь в условии не хватает. Может, слова "различных"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение любых 2010+1 делится на 2011-ое
Сообщение28.04.2011, 21:18 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Пусть числа $x_i$ и их произведение $A=\prod_i x_i$. Обозначим через $B=1+A\sum_i x_i$. Ваше условие эквивалентно тому, что $A|B$, т.е. $\frac{1}{\prod_i x_i}+\sum_i \frac{1}{x_i}\in N$. А это уже встречалось здесь много раз. Самое простое решение $x_1=1,x_i=\prod_{j<i}x_j+1.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Произведение любых 2010+1 делится на 2011-ое
Сообщение28.04.2011, 21:19 


01/10/10

2116
Израиль (племянница БизиБивера)
nnosipov в сообщении #439760 писал(а):
Чего-то здесь в условии не хватает. Может, слова "различных"?

Не обязательно различных. Нужно лишь задать условие, чтобы не было более одной единички.

-- Чт апр 28, 2011 21:24:33 --

Руст в сообщении #439762 писал(а):
Пусть числа $x_i$ и их произведение $A=\prod_i x_i$. Обозначим через $B=1+A\sum_i x_i$. Ваше условие эквивалентно тому, что $A|B$, т.е. $\frac{1}{\prod_i x_i}+\sum_i \frac{1}{x_i}\in N$. А это уже встречалось здесь много раз. Самое простое решение $x_1=1,x_i=\prod_{j<i}x_j+1.$

Супер! Вы дали общее решение.

Я же ограничилась только последовательностью Сильвестра 1, 2, 3, 7, 43, ...
Для пяти чисел она работает, а дальше доказывается по индукции, что работает и для любого большего количества чисел.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group