Произведение любых 2010+1 делится на 2011-ое

[Xenia1996]

Найти 2011 натуральных чисел, произведение любых 2010 из которых, сложенное с единичкой, делится на оставшееся, 2011-ое число.

[nnosipov]

Чего-то здесь в условии не хватает. Может, слова "различных"?

[Руст]

Пусть числа $x_i$ и их произведение $A=\prod_i x_i$. Обозначим через $B=1+A\sum_i x_i$. Ваше условие эквивалентно тому, что $A|B$, т.е. $\frac{1}{\prod_i x_i}+\sum_i \frac{1}{x_i}\in N$. А это уже встречалось здесь много раз. Самое простое решение $x_1=1,x_i=\prod_{j<i}x_j+1.$

[Xenia1996]

nnosipov в сообщении #439760 писал(а):

Чего-то здесь в условии не хватает. Может, слова "различных"?

Не обязательно различных. Нужно лишь задать условие, чтобы не было более одной единички.

-- Чт апр 28, 2011 21:24:33 --

Руст в сообщении #439762 писал(а):

Пусть числа $x_i$ и их произведение $A=\prod_i x_i$. Обозначим через $B=1+A\sum_i x_i$. Ваше условие эквивалентно тому, что $A|B$, т.е. $\frac{1}{\prod_i x_i}+\sum_i \frac{1}{x_i}\in N$. А это уже встречалось здесь много раз. Самое простое решение $x_1=1,x_i=\prod_{j<i}x_j+1.$

Супер! Вы дали общее решение.

Я же ограничилась только последовательностью Сильвестра 1, 2, 3, 7, 43, ...
Для пяти чисел она работает, а дальше доказывается по индукции, что работает и для любого большего количества чисел.