Сумма, равная корню энной степени из произведения

[Xenia1996]

Найти все натуральные числа $n$, для которых уравнение

$x+y+z+w=\sqrt[n]{xyzw}$

имеет решение в натуральных числах $x, y, z, w$.

(Оффтоп)

Я стала решать так: обозначим наибольшее из чисел $x, y, z, w$ буквой $m$.
Тогда $m+3\le x+y+z+w\le 4m$

А также $m\le xyzw\le m^4$

Если $n\ge 4$, то $xyzw\ge(x+y+z+w)^4\ge (m+3)^4>m^4$

Противоречие.

Примеры для $n=1, 2, 3$

$1+1+2+4=\sqrt[1]{1\cdot 1\cdot 2\cdot 4}$

$4+4+4+4=\sqrt[2]{4\cdot 4\cdot 4\cdot 4}$

$64+64+128+256=\sqrt[3]{64\cdot 64^\cdot 128\cdot 256}$

Если я ошиблась, то в чём?
Если я не ошиблась, то что эта задача делает на олимпиаде?

[Sonic86]

Вроде правильно.