Найти все натуральные числа

, для которых уравнение
![$x+y+z+w=\sqrt[n]{xyzw}$ $x+y+z+w=\sqrt[n]{xyzw}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/e/26eeef64e942bfc36b47c97734f1f43882.png)
имеет решение в натуральных числах

.
(Оффтоп)
Я стала решать так: обозначим наибольшее из чисел

буквой

.
Тогда

А также

Если

, то

Противоречие.
Примеры для

![$1+1+2+4=\sqrt[1]{1\cdot 1\cdot 2\cdot 4}$ $1+1+2+4=\sqrt[1]{1\cdot 1\cdot 2\cdot 4}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/8/2087e9a5aee142425eac4d17fe622c5082.png)
![$4+4+4+4=\sqrt[2]{4\cdot 4\cdot 4\cdot 4}$ $4+4+4+4=\sqrt[2]{4\cdot 4\cdot 4\cdot 4}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/c/8/8c80a37b9ced5973d278b46597fc92e682.png)
![$64+64+128+256=\sqrt[3]{64\cdot 64^\cdot 128\cdot 256}$ $64+64+128+256=\sqrt[3]{64\cdot 64^\cdot 128\cdot 256}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/8/6/686d92ba86afa421e8a893eb50b7507382.png)
Если я ошиблась, то в чём?
Если я не ошиблась, то что эта задача делает на олимпиаде?