Вопрос по статье о финслеровых углах

[Time]

Цитата:

@Time:
1) Если вы изучаете финслеровы многообразия с гиперкомплексной структурой, то об этом нужно писать большими буквами,

Куда уж более большими. И на обоих сайтах, и на обложке журнала, и в названии семинара, и на вывеске института постоянно подчеркивается, что они посвящены именно гиперкомплексным системам. Да и фактически каждая статья у почти всех сотрудников института и сочувствующих с точно такого же подчеркивания гиперкомплексности начинается. Любите вы делать совершенно необоснованные замечания.

Kallikanzarid в сообщении #437240 писал(а):

и вещи вроде ваших полиуглов нельзя называть финслеровымим инвариантами,

Будет интересно почитать аргументацию, а не неизвестно откуда взявшуюся констатацию. Это что, не инварианты? Или они не имеют отношения к финслеровым пространствам и к выделенным преобразованиям в них?

Kallikanzarid в сообщении #437240 писал(а):

и вообще вы не можете претендовать на то, что исследуете финслерову геометрию, но с необычным подходом.

Пространства связанные с гиперкомплексными числами являются частного вида финслеровыми пространствами и геометрия у них именно финслерова. Да, такие геометрии не охватывают всех тех случаев, что обычно рассматриваются специалистами в соответствующей области математики, однако, учитывая четкую направленность на приложения к физике, подобная наша избирательность вполне оправданна. Для изучения этих частного вида финслеровых пространств пришлось изобрести "необычный подход" - базирующийся на обобщении аксиом скалярного произведения с двух векторов на n. Такого понятия нет в классической финслеровой геометрии (если не согласны, прошу аргументировать) и в ее построениях фигурирует совсем другой основной объект, который называется финслеровым метрическим тензором и зависит не только от точки, но и от направления в касательном пространстве. Надеюсь вы не отрицаете, что это разные исходные положения?
А введя для гиперкомплексных структур скалярное полипроизведение, неожиданно выяснилось, что его оказывается возможно применять и к более широкому кругу финслеровых пространств, которые уже не обладают связями с гиперкомплексными числами. Получилось примерно как с кватернионами Гамильтона. Это он первым ввел понятие скалярного произведения двух векторов, отталкиваясь от изучения пространства связанного с кватернионами, однако потом это понятие было оторвано от этих гиперкомплексных чисел и стало применяться к намного более широкому кругу случаев. Так и у нас, совершенно нет нужды ограничиваться одними только гиперкомплексно связанными геометриями. Через аксиомы скалярного полипроизведения можно исследовать очень широкий класс финслеровых пространств. Мы не акцентируем внимания на этом (хотя иногда и упоминаем о такой возможности), потому что добровольно сосредоточились на пространствах с алгебрами, причем также не самого общего вида, а лишь с коммутативно-ассоциативным умножением. Это связано с желанием не уходить далеко от фундаментальной классификации чисел и не усложнять на первых порах себе жизнь, сосредотачиваясь на самых простых для исследования пространствах, у которых с нашей точки зрения самые большие перспективы для прикладных задач.
Если не согласны с этим утверждением - попробуйте обосновать, что мы "не исследуем финслеровы геометрии, на необычном подходе". А какой же у нас тогда подход? Стандартный? И с какой гиперкомплексной структурой, по вашему мнению, оказываются связанными финслеровы пространства, скалярные полипроизведения у которых не ассоциируются вообще ни с какими алгебрами? Для конкретики приглядитесь к четырехмерному пространству с метрической функцией Чернова. Мы его также немного изучаем, но гиперчисла к нему ни с какого боку не подвести.. Но и классическими методами его также не исследуешь особенно, когда рассматривается простейший линейный случай. А если нельзя разобрать линейный случай, то и в нелинейном, скорее всего, будут неточности.. Возможно принципиальные..

Kallikanzarid в сообщении #437240 писал(а):

Не путайте людей и себя.

Путаетесь больше вы сами. Разобраться за несколько часов в обсуждаемых областях просто невозможно. Если хватит мотивации позаниматься вокруг обсуждаемых вопросов годика два - три, можем потом вернуться к проблеме, кто кого путает..

Kallikanzarid в сообщении #437240 писал(а):

2) Oleg Zubelevich задает абсолютно правильный вопрос: почему вы определяете конформную группу очень странным образом в то время, как на финслеровом многообразии (даже без всякой дополнительной структуры) можно определить эту группу так, что она будет больше напоминать конформную группу (псевдо)-евклидовых преобразований.

Я не возражаю против возможности определить конформную группу без явного определения понятия угла. Я возражал против неизвестно откуда взявшегося утверждения, что такая группа будет бесконечнопараметрической. Дать определение для произвольного финслерова пространства, причем такое, что бы в частном случае евклидовой (псевдоевклидовой) метрики оно переходило в определение конформных преобразований квадратичных пространств, знаю, что можно. Только от этого соответствующие группы не становятся автоматически бесконечномерными. Для этого требуются дополнительные условия. Подозреваю, что это обстоятельство тесно связано с наличием/отсутствием у рассматриваемого финслерова пространства алгебры, причем не произвольной, а коммутативно-ассоциативной. Во всяком случае, мне не известны случаи финслеровых прсотранств с бесконечномерными конформными группами, у которых бы не было ассоциированных алгебр поличисел.

Kallikanzarid в сообщении #437240 писал(а):

Судя по вопросам, которые вы ему задавали, вы не вполне понимаете, что такое дифференциал функции между многообразиями. Вам стоит подтянуть эти (элементарные, в общем-то) знания, раз уж вы претендуете на революцию в области ;)

А вам следовало бы подтянуть дипломатичность предложений ;)
Да, я не считаю себя специалистом в дифференциальной геометрии. Невозможно охватить все области, сопутствующие исследованиям, подобным нашим. Вот вы, например, понимаете как организовывать промышленные предприятия, что бы было откуда брать средства на исследования? Я же - понимаю, а ведь без финансов моло, что можно сделать в науке, особенно если не ограничиваться одной только математикой или теоретической физикой. Кроме того, моих знаний и понимания, надеюсь достаточно, что бы отличить ложные направления исследований от перспективных. Этим и удовлетворяюсь. А для понимания тонкостей в специальных вопросах есть профессионалы, которые хорошо разбираются в том, "что такое дифференциал функции между многообразиями".
На революцию в области я не претендую, это вы мне подобную глупость приписываете. Для меня давно соответствующие занятия превратились в самую обычную деятельность. Просто вам соответствующее направление в новость, вот и кажется, что народ только и думает как бы еще что из устоев подорвать..

Kallikanzarid в сообщении #437240 писал(а):

Что касается теоремы Лиувилля, то ваше стремление построить пространство с бесконечномерной конформной группой - это wishful thinking, и посмотрите, к чему это вас привело: вы изменили определение конформности до неузнаваемости и потребовали гиперкомплексную структуру - оно того стоит?

Это вам кажется, что определение конформности неузнаваемо изменилось. К обычному определению для финслеровых пространств просто добавилось именно то качество, которое в евклиде/псевдоевклиде связывало его с инваринтностью углов. Радоваться бы надо, а у вас одно недоумение и подколки. Мяхше надо быть, осторожней и внимательней. :)
Насчет стоило/не стоило. Речь ведь, надеюсь, понимаете не столько о конформности, а о возможности/не возможности расширения на финслеровы многомерные пространства понятия голоморфности функций, а так же их следующего уровня обобщений. Другими словами, речь о расширении ТФКП с двумерной комплексной плоскости на многомерные гиперкомплексные пространства с учетом того факта, что изометрическими и конформными преобразованиями в этом случае дело не ограничивается и введение в рассмотрение тринглов и полиуглов как естественных расширений понятий длины и угла в принципе позволяет видеть такую перспективу.
Может теперь понятней стало?

Kallikanzarid в сообщении #437240 писал(а):

3) Ну и да, "удалите повороты из изометрий в евклидовом пространстве" повеселило :))))

Я также могу повеселиться над вашим незнанием во многих элементарных вопросах, только, надеюсь, вы понимаете, что конструктивным подобный юмор не является.

Kallikanzarid в сообщении #437240 писал(а):

На всякий случай, дам здесь перечисление элементарных фактов.

Ввиду того, что обычные методы финслеровой геометрии оказались не приспособленными для эффекктивного изучения интересных мне гиперкомплексных алгебр и связанных с ними пространств, я давно и безвозвратно сформировал для себя свои собственные образы и понятия. Понимаю, что это мешает общению, особенно первые несколько лет (проходил это на примерах многочисленных споров с пофессионалами, которые сейчас стали во многом единомышленниками), но менять себя не стану. Мне вполне комфортно в собственном мире образов, главное, что бы возникающие из них следствия и выводы совпадали с теми, что получают специалисты, когда от слов переходят к делу, то есть, к исследованиям конкретных двух-трех интересных финслеровых геометрий и связанных с ними гиперкомплексных коммутативно-ассоциативных алгебр и функций над ними.

[В.О.]

Time в сообщении #437071 писал(а):

Угол тут связан не с кратчайшим расстоянием, а наоборот, с наидлиннейшим, примерно так же как на псевдоевклидовой плоскости.

Я не знаю как на псевдоевклидовой плоскости обстоят дела с углом. И был бы чрезвычайно благодарен, если бы Вы дали точную ссылку. Но в данном случае, видимо, Вы ошибаетесь.
По указанной Вами ссылке записано обычное уравнение Эйлера для экстремума определенного интеграла. Нас интересуют экстремумы длинны кривой, лежащей на индикатриссе и соеденяющей две точки. Если верить Вашему решению этого уравнения в статье, то существует только один экстремум. Следовательно, этот экстремум есть минимум. Максимум, как несложно понять, равен бесконечности.

Теперь я возвращаюсь к своим рассуждениям.Если любые две точки на индикатриссе можно соединить ломаной нулевой длины, то и все углы будут нулевыми. Хотя по формуле (33), вроде бы, есть и не нулевые. Это не кажущийся парадокс, а самое настоящие противоречие.
Я тоже, конечно, могу где-то ошибиться. И буду благодарен, если кто-то укажет ошибку. Но в Вашем решении уравнения Эйлера на стр. 49 есть, как минимум, одно недоказанное место, о котором я писал выше. И вообще, нужно найти ошибку или в моих рассуждениях, или в Вашем доказательстве. Вы, если не ошибаюсь, один из авторов, статьи, а не только спонсор и т.п. Так что и отдуваться Вам придется по полной.

-- Чт апр 21, 2011 22:33:52 --

Kallikanzarid в сообщении #435550 писал(а):

Жму вашу руку - сам я сквозь это продираться не решился

Вот теперь я более или менее разобрался и готов ответить на рукопожатие.

[В.О.]

И еще, Time, мне очень эээ...не интересны разборки, не имеющие непосредственного отношения к науке. Многое из того, что написано в этой теме и в подобных относится к вопросу " кто больше знает мудреных слов". Это не интересно. Мне, во-всяком случае. Не интересны мне и препирательства, поучения, посылы что-то там изучить. Я уже давно в состоянии сам разобраться что мне изучать, а что нет.
А вот Ваша неадекватная реакция на попытки найти у Вас ошибки настораживает. Понимаете, ошибаются все. И всем неприятно, когда у них ошибки находят. Но если человек уверен в своей принципиальной правоте, то он не будет минимум называть максимумом. Лет пять назад я нашел ошибку в статье у Смолянова О.Г. Это профессор МГУ. Статья по неравенствам Белла. Ошибка была принципиальной и пол статьи пошло коту под хвост. Написал ему. Он немного понервничал, но согласился. В одной из последующих статей о своей ошибке написал с указанием моего имени. Никакой трагедии.
Настораживает и ужасающий непрофессионализм обсуждаемой статьи. В математике стати пишут совсем не так. Во - первых, ключевые утверждения выделяют в виде теорем. В теореме очень четко описывают условия утверждения, часто даже с излишними повторами. И еще четче следствие из условий. Мне же приходится по несколько раз повторять вопрос, что же там имеется в виду. Я делал скидку, что Вы не математик и т.п. Но пал жертвой собственной доброжелательности.
Во-вторых... впрочем, все - равно Вы уже не читаете, а ищете самый язвительный ответ.
По тому - то я и не тороплюсь записаться на бесплатный... эээ... школу? Я не уверен, что там кому-то будут интересны неудобные вопросы.

[Kallikanzarid]

В.О.
Раз уж вы читали статью, удовлетворите мое любопытство - какие объекты там рассматриваются? :) Я сначала предположил, что финслеровы многообразия с гиперкомплексной структурой специального вида, но судя по тому, что Time написал про основы дифференциальной геометрии, я начинаю подозревать, что не они :)

[Time]

В.О. в сообщении #437502 писал(а):

Я не знаю как на псевдоевклидовой плоскости обстоят дела с углом. И был бы чрезвычайно благодарен, если бы Вы дали точную ссылку.

Отсылая к примеру псевдоевклидовой плоскости я имел ввиду не углы, а интервалы между парами точек. Здесь также правильно говорить не о геодезических, а об экстремалях, так как интервалы в отличие от расстояний на евклидовой плоскости именно что максимальны, а не минимальны. И известное правило треугольника на евклидовой плоскости на псевдоевклидовой выглядит обратным образом. На счет точных ссылок - вот так вот с ходу затрудняюсь дать. На столько давно познакомился с этим фактом, что даже не знаю, что лучше посоветовать посмотреть. Может завтра соображу.

В.О. в сообщении #437502 писал(а):

По указанной Вами ссылке записано обычное уравнение Эйлера для экстремума определенного интеграла. Нас интересуют экстремумы длинны кривой, лежащей на индикатриссе и соеденяющей две точки. Если верить Вашему решению этого уравнения в статье, то существует только один экстремум. Следовательно, этот экстремум есть минимум. Максимум, как несложно понять, равен бесконечности.

Для интервалов на псевдоевклидовой плоскости все обстоит практически аналогичным образом, что и для углов на индикатрисе пространства $H_3$. Различия в данном случае не принципиальны. Для экстремалей в двумерном псевдоевклиде также должно записываться обычное уравнение Эйлера для экстремума определенного интеграла. И здесь также интересует экстремум длины кривой, только лежащей на плоскости, соединяющей две точки. Экстремум оказывается у прямой и он единственный. По Вашей логике этот экстремум будет обязательно минимумом. А максимум будет равен бесконечности. Псевдоевлидову плоскость не мы изобрели и в нашей статье она не разбирается. Это сделали давно и другие. Советовать еще раз познакомиться ближе с этим пространством не буду, сами решайте как действовать дальше.

В.О. в сообщении #437502 писал(а):

Теперь я возвращаюсь к своим рассуждениям.Если любые две точки на индикатриссе можно соединить ломаной нулевой длины, то и все углы будут нулевыми. Хотя по формуле (33), вроде бы, есть и не нулевые. Это не кажущийся парадокс, а самое настоящие противоречие.

На псевдоевклидовой плоскости также любые две точки можно соединить ломаной с интервалами нулевой величины на каждом звене. Однако из этого совсем не следует, что все интервалы оказываются также нулевыми. Да и по формуле для интервала предложенной Минковским, вроде бы, получается, что есть и не нулевые. Делать из этого факта парадокс и противоречие уже давно никому не приходит в голову. Все встает на свои места, когда понимаешь, что экстремали тут связаны не с минимумами, а с максимумами расстояний.

В.О. в сообщении #437502 писал(а):

И вообще, нужно найти ошибку или в моих рассуждениях, или в Вашем доказательстве. Вы, если не ошибаюсь, один из авторов, статьи, а не только спонсор и т.п. Так что и отдуваться Вам придется по полной.

Хочу напомнить, что я Вам ничего не должен и хотелось бы видеть более вежливые формулировки, чем "придется отдуваться по полной". В противном случае, однажды разговор может и прерваться..
Что касается поиска, кто ошибается, то можно просто взять пару точек на индикатрисе с ненулевым углом, потом рядом выбрать третью точку и вычислить углы между нею и каждой из двух первых точек (проще будет взять такую третью точку, что бы все углы были ненулевые). Затем сравнить сумму углов по ломанной с величиной первого угла. Если получите, что сумма углов по ломанной траектории больше, чем величина первого угла - правы Вы, если всегда будет меньше - прав я. Такой способ проверки годится?

В.О. в сообщении #437545 писал(а):

И еще, Time, мне очень эээ...не интересны разборки, не имеющие непосредственного отношения к науке. 99% того, что написано в этой теме и в подобных относится к вопросу " кто больше знает мудреных слов". Это не интересно. Мне, во-всяком случае. Не интересны мне и препирательства, поучения, посылы что-то там изучить. Я уже давно в состоянии сам разобраться что мне изучать, а что нет.

Это хорошо, что Вы не нуждаетесь в поучениях и посылах. Извиняюсь, больше не буду.

[Time]

В.О.
По поводу свойств расстояния и неравенства треугольника в псевдоевклидовых пространствах можно глянуть: Розенфельд В. А., Многомерные пространства, М., 1966, в частности, раздел 12.1.6. Расстояния между точками.

[Руст]

В.О.
Геометрия на индикатрисе не определена автоматический, так как это не подмногообразие. Сама индикатриса (псевдосфера) в касательном пространстве. При введении метрики на индикатрисе надо иметь в виду, что касательные вектора у него не вектора (касательные) к исходному пространству, а определяются вторым дифференциалом. Поэтому возникает необходимость рассмотреть финслерово пространство около заданной точки х около заданного направления а, где с точностью до второго порядка (достаточно, для определения углов с помощью интегрирования по отклонению направления) геометрия Евклидова или Минковского. Во втором случае меняя все минусы на плюсы получим определение углов, как пространственных расстояний. Так что там (на индикатрисе) не возникают нулевые длины и всегда имеется знакоопределенность.

[Time]

Руст

Похоже, вы сейчас затронули один из тех вопросов, которых я хочу коснуться на завтрашнем семинаре. На индикатрисе пространства $H_3$ из чисто геометрических соображений можно ввести не одно, а два принципиально разных понятия угла. Один из способов определен в обсуждаемой статье. Согласно ему множество точек на индикатрисе, представляющих собой концы единичных векторов наклоненных к вектору (1,1,1) (координаты даны в изотропном базисе) на один и тот же угол, образуют шесть односвязных гиперболических кривых. Для векторов, концы которых лежат на асимптотах, разделяющих эти шесть кривых, угол оказывается нулевым. Но есть еще и второй вариант введения угла на индикатрисе $H_3$. В этом случае все обстоит именно так, как вы говорите. Кривая связанная с концами векторов наклоненных к вектору (1,1,1) на одинаковый "второй" угол - единственная и замкнутая. То есть, угол связанный с такими кривыми действительно положительноопределенный и не имеет нулевых значений, кроме как в случае совпадения двух векторов, для которых определяется.
В диалоге с В.О. обсуждается не этот второй, а первый вариант угла. В обсуждаемой статье также нет построений связанных с этим вторым углом. Я много раз говорил своему соавтору, что нужно поработать и с этим вторым вариатам, но он пока не подошел к этому. Может вы захотите написать на эту тему статью? Если да, завтра можем поговорить..

[В.О.]

Руст в сообщении #437619 писал(а):

(на индикатрисе) не возникают нулевые длины

Time уже, кажется, ответил.
Добавлю на всякий случай, что по формуле (33) в статье нулевые углы (длины) возникают.

[Руст]

Да, есть еще такой вариант, возникающий при попытке введения гиперкомплексной структуры на касательном пространстве к индикатрисе. Мне он не нравится по следующим причинам. Во первых, как я отметил выше, эти вектора определяются не индуцированием на подмногообразие ( а это попытка есть попытка индуцирования), а вторым дифференциалом. Во вторых мой подход работает для любых финслеровых пространств, а не только для узкого класса.

[В.О.]

Time в сообщении #437565 писал(а):

хотелось бы видеть более вежливые формулировки

Извините, если что не так сказал. Но и Вы постарайтесь быть по корректней.

Time в сообщении #437565 писал(а):

Что касается поиска, кто ошибается, то можно просто взять пару точек на индикатрисе с ненулевым углом, потом рядом выбрать третью точку и вычислить углы между нею и каждой из двух первых точек (проще будет взять такую третью точку, что бы все углы были ненулевые). Затем сравнить сумму углов по ломанной с величиной первого угла. Если получите, что сумма углов по ломанной траектории больше, чем величина первого угла - правы Вы, если всегда будет меньше - прав я. Такой способ проверки годится?

Если все было бы так просто, то зачем решать уравнение Эйлера?
А вот неравенство треугольника для Вашей минимальной длинны (угла) выполняется. Пусть А и В точки на индикатриссе.
$\phi (A,B) = min (\rho(A,B)) $ где $\rho(A,B) $ - длина некоторой кривой на индикатрисе, соединяющей точки А и В. Минимум берется по всем таким кривым.
Теперь возьмем произвольную точку С на индикатриссе.
$min (\rho(A,B) ) \leqslant \rho(A,C) + \rho(B,C)$
Это неравенство верно т.к. ломаная АС + СВ является одной из кривых, по которым берется минимум. Теперь берем минимумы в правой части по каждому слагаемому и получаем требуемое неравенство треугольника.

-- Пт апр 22, 2011 11:03:25 --

Для моего рассуждения с ломаной нулевой длинны неравенство треугольника нужно. Именно поэтому подобное рассуждение в псевдоевклидовом пространстве не проходит. Но все-равно нужно найти ошибку в решении уравнения Эйлера. Или в моем рассуждении.

[Руст]

Я уже говорил, что в любом финслеровом пространстве для индикатрисы любой точки определяется структура Риманова многообразия. При этом метрический тензор всегда знакоопределен. В случае пространств Минковского типа правда приходится минусы менять на плюсы. Там где положительно определенная квадратичная форма выполняется неравенство треугольника.

[Time]

В.О. в сообщении #437637 писал(а):

Если все было бы так просто, то зачем решать уравнение Эйлера?

Что бы получить конкретные уравнения для экстремалей. После того как уравнение экстремальных кривых получено, применяя его, можно получить величины расстояний (интервалов) между парами точек и численно сравнивать расстояния (интервалы) в криволинейных треугольниках на соотвествующей поверхности. В обсуждаемом случае уравнение получено, примените его для углов между концами трех единичных векторов на индикатрисе и сравните результаты.

В.О. в сообщении #437637 писал(а):

А вот неравенство треугольника для Вашей минимальной длинны (угла) выполняется.

Это не моя, а Ваша минимальная длина. В какой метрике Вы ее определили? В римановой?
А если не в римановой, а как и положено в финслеровой, индуцированной метрикой $H_3$ на поверхности индикатрисы, то минимум (если не выходить за рамки вещественных значений) будет связан именно с ломаными, каждый кусок которых состоит из изотропных (нулевой длины) кривых. Любые неизотропные кривые, соединяющие те же точки и имеющие вещественные значения длин, будут иметь величину бОльшую, чем ноль и среди них всех выделяется одна кривая, длина которой в соответствующей финслеровой метрике максимальна. Это и есть экстремаль на поверхности рассматриваемой индикатрисы. Величина длины (интервала) такой экстремальной кривой и принята согласно логике статьи за величину взаимного угла между единичными векторами, кончающимися в рассматриваемой паре точек на индикатрисе.

В.О. в сообщении #437637 писал(а):

Это неравенство верно т.к. ломаная АС + СВ является одной из кривых, по которым берется минимум. Теперь берем минимумы в правой части по каждому слагаемому и получаем требуемое неравенство треугольника.

Ну рассмотрите Вы ровно такие же построения на псевдоевклидовой плоскости. Она на много проще устроена, чем геометрия на индикатрисе $H_3$, может тогда все встанет на свои места..

-- Пт апр 22, 2011 11:45:56 --

Руст в сообщении #437640 писал(а):

Я уже говорил, что в любом финслеровом пространстве для индикатрисы любой точки определяется структура Риманова многообразия. При этом метрический тензор всегда знакоопределен. В случае пространств Минковского типа правда приходится минусы менять на плюсы. Там где положительно определенная квадратичная форма выполняется неравенство треугольника.

Вы знаете, я люблю конкретику. Можете вывести и показать формулу для вами понимаемого угла в пространстве $H_3$? А заодно формулу для кривой, соответствующей концам векторов, отстоящих от вектора (1,1,1) на одинаковую величину такого угла? После этого станет более понятно, об одном и том же мы говорим или нет. Завтра я покажу как геометрически получается последний вариант замкнутых односвязных кривых на индикатрисе $H_3$. Можно будет банально сравнить..

-- Пт апр 22, 2011 12:27:57 --

Руст в сообщении #437632 писал(а):

Да, есть еще такой вариант, возникающий при попытке введения гиперкомплексной структуры на касательном пространстве к индикатрисе. Мне он не нравится по следующим причинам. Во первых, как я отметил выше, эти вектора определяются не индуцированием на подмногообразие ( а это попытка есть попытка индуцирования), а вторым дифференциалом. Во вторых мой подход работает для любых финслеровых пространств, а не только для узкого класса.

Пространство $H_3$ линейное. В нем можно рассматривать не индикатрису в касательном пространстве, а обычную единичную финслерову сферу, являющуюся двумерным подпространством исходного трехмерного пространства с индуцированной на ней кривой финслеровой геометрией. Введенные в обсуждаемой статье углы для $H_3$ не требуют вашего одобрения или неодобрения, они просто есть там как экстремали на соответствующей сфере.
Наличие второго способа введения углов никоим образом не отменяет первого варианта.
Что касается пригодности вашего метода для любых финслеровых пространств, то прежде всего мне хотелось бы убедиться, что он работает в частном случае $H_3$. Кому как, а мне так легче будет понять и принять его работоспособность..

[STilda]

Time в сообщении #437565 писал(а):

Отсылая к примеру псевдоевклидовой плоскости я имел ввиду не углы, а интервалы между парами точек. Здесь также правильно говорить не о геодезических, а об экстремалях, так как интервалы в отличие от расстояний на евклидовой плоскости именно что максимальны, а не минимальны.

О каких максимумах и минимумах идет речь, если интервал, в общем случае, комплексное число?

[Time]

STilda в сообщении #437691 писал(а):

О каких максимумах и минимумах идет речь, если интервал, в общем случае, комплексное число?

На псевдоевклидовой плоскости интервалы, направления которых лежат внутри конуса будущего или конуса прошлого, выражаются действительными числами, а у лежащих внутри пары конусов абсолютно удаленных событий - чисто мнимыми. Ну, или ровно наоборот, в зависимости от того, что связывается с вещественными числами, времениподобные инетревалы или пространственноподобные. Где Вы тут комплексные числа увидели (что бы сразу присутствовала, и вещественная, и мнимая компоненты)?
Обратное неравенство треугольника и максимальность интервалов у экстремалей псевдоевклидовой плоскости по сравнению с произвольными кривыми (но такими, что бы касательная ни в одной точке не вылезала за световой конус) обсуждается в рамках одних только вещественных величин. Если сечас начать рассматривать мнимые интервалы, а для $H_3$ еще и гиперкомплексно мнимые, мы до второго пришествия не разберемся..