Вопрос по статье о финслеровых углах

[Time]

Руст в сообщении #436951 писал(а):

Вообще то у меня не было желания с вами спорить. Все равно я не сменю свое мнение, да и вы не собираетесь это делать.

Это верно, ни вы, ни я своего мнения уже не поменяем, особенно в отношении оснований того или иного подхода. Однако можно повлиять на мнение тех людей читающих эти строки, у кого оно еще не сложилось.

Руст в сообщении #436951 писал(а):

Речь шла об общих финслеровых пространствах, где углы не определены (и не могут быть нормальным образом определены).

Евклидовы и псевдоевклидовы, римановы и псевдоримановы пространства являются частными случаями финслеровых и в них углы определены, причем "нормальным" образом. Разве не логично в первую очередь заниматься такими их обобщениями, в которых и для углов есть место и для их дальнейших расширений? Но вместо этого народ ломанулся рассматривать на столько общие случаи финслеровых пространств, в которых даже с углами невозможно определиться, а тем более с их расширениями. Кроме того, принятый большинством современных финслеристов и положенный в качестве базовой конструкции метод не позволяет ввести понятие угла даже в тех редких финслеровых пространствах, где оно вполне нормально вводится. Так может стОит более критически подойти, как к методике построений, так и к отбору пространств для первоочередных исследований?
Кроме того, вы сами говорили о бесконечной свободе финслеровых пространств в точке, и эта свобода связана с направлениями. Я так понимаю, речь была о бесконечномерной группе конформных преобразований? Не подскажите, как таковые можно определить в пространствах, где нет возможности ввести непротиворечивым образом понятие угла? Или вы говорили о какой-то иной бесконечномерной свободе? Тогда о какой? Ей можно дать четкое определение?

Руст в сообщении #436951 писал(а):

Тем более не определены тринглы и прочие.

Ну разве ж это достоинство? Это и есть огромный недостаток, как выбора пространства для исследований, так и используемого для этого метода. А ведь без углов и тринглов упускаются из рассмотрения метрически выделенные классы преобразований, те самые, которые просто обязаны оказаться мостиками от геометрии к ее физическим интерпретациям и приложениям (естественно, в том случае, если будет выбрана "правильная" геометрия).

Руст в сообщении #436951 писал(а):

Я ничего не говорил о логичности или не логичности подхода. Просто речь шла о некоторой ограниченности рассмотрения только коммутативных алгебр.

Ну, как человек, который разбирался в вопросе - могли бы и сказать о логичности/не логичности подхода скалярного полипроизведения и сравнить с обычным подходом. Есть у вас на этот счет свое мнение? Что касается узости круга финслеровых пространств связанных с коммутативно-ассоциативными гиперкомплексными алгебрами, то с этим никто не спорит. Таких пространств очень и очень мало. Зато именно у них наблюдается колоссальное разнообразие непрерывных симметрий, имеющих метрические инварианты. Вон физики вообще пока одним только псевдоримановым пространством обходятся, не станете же вы им на этом основании озвучивать замечание в узости взглядов на теоретически возможные иные метрики? Хочу также в n-ый раз напомнить о принципиальной позиции Г.Вейля, который, переходя от чистой математике к физике, специально подчеркивал, что лучший выбор для физически ориентированной геометрии будет тот, что обладает максимальным разнообразием симметрий. Неужели даже позиция Вейля не заставляет хотя бы задуматься о необходимости более пристального внимания к пространствам с наибольшим количеством нетривиальных симметрий?

Руст в сообщении #436951 писал(а):

Понятие простоты относительное. Я до сих пор считаю, что суть математического понятия лучше всего раскрывается, если оно определено на языке теории категорий.

Хотите оспорить утверждение, что числа являются простейшими математическими объектами? И будете отстаивать положение, что их простота относителна?

Руст в сообщении #436951 писал(а):

А я как раз приглашал на семинар и имел в виду отсутствие математиков на семинаре.

К сожалению это так. Большинство составляют физики и физики-теоретики, причем даже на конференциях..

[Oleg Zubelevich]

Time в сообщении #436979 писал(а):

Я так понимаю, речь была о бесконечномерной группе конформных преобразований? Не подскажите, как таковые можно определить в пространствах, где нет возможности ввести непротиворечивым образом понятие угла?

преобразование $f$ называется конформным если $df=AB$ где $A$ -- ортогональное преобразование, $B=\lambda\cdot\mathrm{id}$ -- изотропное растяжение в $\lambda$ раз

[Time]

Oleg Zubelevich,
Вопрос относился не к пространствам с квадратичным типом метрики, для которых есть, и определение угла, и поворота, и ортогонального преобразования, и конформного преобразования, а к специального вида финслеровым пространствам, для которых невозможно ввести непротиворечивым образом понятия угла, финслерова поворота, финслеровой ортогональности и ортогонального преобразования отличного от тривиального тождественного или дискретного. Для ТАКИХ пространств я просил своего собеседника дать определение конформных преобразований, причем таких, что бы они представляли собой бесконечнопараметрическую группу.
Сразу отмечу, что как определяются конформные преобразования образующие бесконечномерные группы в финслеровых пространствах связанных с коммутативно-ассоциативными гиперкомплексными алгебрами я знаю (но тут с углами как и в квадратичных пространствах все впорядке), в данном случае мне хочется понять как мой собеседник представляет себе аналогичное понятие в финслеровых пространствах, в которых нет углов, вращений и ортогональности, вернее, финслеровых обобщений этих понятий.

[Oleg Zubelevich]

Timeя прочитал Ваш пост, но не понял
a чем Вам мое определение не подходит?

[В.О.]

nermo7 в сообщении #435950 писал(а):

Система уравнений перед (25) не накладывает никаких ограничений на параметры q_1 и q_2, поскольку параметры C_1 и С_2 - произвольны.

Может быть, это и так. Но это надо доказать. Для этого нужно решить систему из 3 уравнений относительно 2-х неизвестных $q_1$ и $q_2$. Два уравнения выписаны в первом сообщении и третье это (26). Это дело сводится к уравнению 4-й степени. Дальше у меня энтузиазма не хватает. Но это работа авторов статьи. Т.е. в доказательстве, как минимум, есть пропуск.

Но, кажется, все обстоит гораздо хуже.
Из формулы (33) для угла (или для кратчайшего расстояния по сфере) можно получить неприятное следствие. Если две точки$A$ и $B$ на сфере $|A| = |B| = 1$ имеют одну одинаковую координату $A_k = B_k$, то кратчайшее расстояние между ними равно 0
$\phi (A,B) = 0$.
Но любые две точки на сфере можно соединить ломаной, каждое звено которой имеет одинаковую координату. Следовательно, каждое звено имеет нулевую длину. Следовательно, суммарная длина этой ломаной равна 0.
Возникает впечатление, что формула (33) неверна.

[Time]

Oleg Zubelevich в сообщении #437055 писал(а):

Time я прочитал Ваш пост, но не понял
a чем Вам мое определение не подходит?

Ваше определение годится для пространств с квадратичным типом метрики, то есть для римановых и псевдоримановых. Оно не годится для произвольных финслеровых пространств уже потому, что для последних не определено понятие ортогонального преобразования, поворота и угла. А в Ваше определение входит понятие ортогонального преобразования (определенное лишь для обычных квадратичных пространств). Как быть, когда в финслеровом пространстве таких (вернее их финслеровых обобщений) преобразований нет? Вы вообще о финслеровых метрических функциях и порождаемых ими пространствах представление имеете?

[Oleg Zubelevich]

Time в сообщении #437064 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #437055 писал(а):

Time я прочитал Ваш пост, но не понял
a чем Вам мое определение не подходит?

Ваше определение годится для пространств с квадратичным типом метрики, то есть для римановых и псевдоримановых. Оно не годится для произвольных финслеровых пространств уже потому, что для последних не определено понятие ортогонального преобразования, поворота и угла. А в Ваше определение входит понятие ортогонального преобразования (определенное лишь для обычных квадратичных пространств). Как быть, когда в финслеровом пространстве таких (вернее их финслеровых обобщений) преобразований нет? Вы вообще о финслеровых метрических функциях и порождаемых ими пространствах представление имеете?

Я понял, я просто не то слово произнес, вместо

Oleg Zubelevich в сообщении #437036 писал(а):

$A$ -- ортогональное преобразование

следовало сказать "$A$ -- изометрическое преобразование"
тогда
преобразование $f$ называется конформным если $df=AB$ где $A$ -- изометрическое преобразование, $B=\lambda\cdot\mathrm{id}$ -- изотропное растяжение в $\lambda$ раз

в таком виде определение конформного преобразования годится для любых финслеровых пространств

[Time]

В.О. в сообщении #437062 писал(а):

Но любые две точки на сфере можно соединить ломаной, каждое звено которой имеет одинаковую координату. Следовательно, каждое звено имеет нулевую длину. Следовательно, суммарная длина этой ломаной равна 0.
Возникает впечатление, что формула (33) неверна.

На индикатрисе рассматриваемого пространства $H_3$ реализуется не риманова и даже не псевдориманова геометрия, а специального вида двумерная финслерова. Угол тут связан не с кратчайшим расстоянием, а наоборот, с наидлиннейшим, примерно так же как на псевдоевклидовой плоскости. Поэтому в таких случаях говорят не о геодезических, а об экстремалях (имея ввиду максимум, а не минимум расстояний). Могу лишь снова повторить свое предложение внимательно изучить геометрию двумерной псевдоевклидовой плоскости. Там озадачивший Вас кажущийся парадокс проявляется примерно таким же образом, только не для углов, а для обычных интервалов.

-- Ср апр 20, 2011 20:13:31 --

Oleg Zubelevich в сообщении #437065 писал(а):

в таком виде определение конформного преобразования годится для любых финслеровых пространств

Не думаю, что в таком виде что-то существенно изменилось. Дело в том, что если Вы считаете $\lambda$ почти произвольной функцией точки, то с такой поправкой в каждой точке при соответствующем преобразовании помимо дилатации будет присутствовать и некоторый поворот, которого нет среди изометрических преобразований, поэтому единственным дополнением к изометриям будет дилатация с постоянным значением $\lambda$ во всех точках. Таким образом Вы расширяете n-параметрическую группу изометрий n-мерного линейного финслерова пространства всего лишь на один единственный параметр. А замах был на бесконечнопараметрическую группу.
Если Вы будете настаивать на почти произвольном поле коэффициента дилатации $\lambda$, то попробуйте применить такое определение к той же евклидовой плоскости, исключив из нее повороты и оставив одни изометрии. Какое множество преобразований Вы получите? Ведь евклидова плоскость это частный случай финслерова пространства и для него Ваше определение, казалось бы, должно быть также применимо.
Ну и наконец, что является инвариантом при таких преобразованиях? А ведь конформные преобразования должны сохранять углы в каждой точке..
В принципе я понимаю, что Вы хотите сказать и откуда растут ноги такого определения, однако это определение не собственно конформных преобразований, а преобразований между так называемыми конформно связанными пространствами. Да, для таких преобразований углы не нужны и их можно определить в любых финслеровых пространствах, только это далеко не те конформные преобразования, которые имеют хорошо известную бесконечно параметрическую группу на евклидовой плоскости или $(n+1)(n+2)/2$ группу в евклидовых пространствах при n>2.

[Oleg Zubelevich]

Time в сообщении #437071 писал(а):

Не думаю, что в таком виде что-то существенно изменилось. Дело в том, что если Вы считаете $\lambda$ почти произвольной функцией точки, то с такой поправкой в каждой точке при соответствующем преобразовании помимо дилатации будет присутствовать и некоторый поворот, которого нет среди изометрических преобразований, поэтому единственным дополнением к изометриям будет дилатация с постоянным значением $\lambda$ во всех точках. Таким образом Вы расширяете n-параметрическую группу изометрий n-мерного линейного финслерова пространства всего лишь на один единственный параметр. А замах был на бесконечнопараметрическую группу.

Конечно получается бесконечномерная группа, ведь такому определению конформности удовлетворяют все аналитические функции (в стандартном $\mathbb{C}$ смысле)

Time в сообщении #437071 писал(а):

попробуйте применить такое определение к той же евклидовой плоскости, исключив из нее повороты и оставив одни изометрии.

а чем поворот не изометрия?

[Time]

Oleg Zubelevich в сообщении #437107 писал(а):

Конечно получается бесконечномерная группа, ведь такому определению конформности удовлетворяют все аналитические функции (в стандартном $\mathbb{C}$ смысле)

Только ТАК определенные конформные преобразования (когда поле значений $\lambda$ - почти произвольная функция точки) оказываются существенно шире группы конформных преобразований евклидовой плоскости и связанной с ними группы аналитических функций. Именно поэтому ТАКИЕ преобразования почти бесполезны и никто их на той же евклидовой плоскости не называет конформными. Что с ними можно интересного в той же ТФКП сделать? К тому же раз у всех преобразований такой группы нет метрического инварианта, они никак не связаны с симметриями пространства, на котором определяются. С таким же успехом можно рассматривать вообще произвольные преобразования и радоваться, что они также образуют бесконечномерную группу и включают в себя все аналитические функции $\mathbb{C}$ как частный случай.

Oleg Zubelevich в сообщении #437107 писал(а):

а чем поворот не изометрия?

Повороты - изометрии, но выше речь шла о финслеровых пространствах, в которых нет поворотов, вот я и предложил посмотреть, что останется от предложенных Вами "конформных" преобразований евклидовой плоскости, если на ней ради эксперимента исключить повороты.
Смысл ведь не в том, что бы построить абы какое обобщение конформных преобразований комплексной плоскости на многомерные финслеровы пространства, а такое, что бы оно явилось естественным расширением конформных преобразований плоскости, имело бы в качестве инварианта углы и образовывало бесконечномерную группу. Причем при применении к комплексной плоскости это определение должно давать только обычные конформные преобразования той, а не более широкое множество. Иначе какое же это определение конформности, когда в частном случае приводит к выходу за рамки соответствующей группы.

[Oleg Zubelevich]

Time в сообщении #437122 писал(а):

Только ТАК определенные конформные преобразования (когда поле значений $\lambda$ - почти произвольная функция точки) оказываются существенно шире группы конформных преобразований евклидовой плоскости и связанной с ними группы аналитических функций

Что знеачит "существенно шире"?, если в моем определении дополнительно считать, что $f$ сохраняет ориентацию ($\det df>0$), то получится стандартное определение конформных преобразований.
Вот это:

Time в сообщении #437122 писал(а):

(когда поле значений $\lambda$ - почти произвольная функция точки

непонятно. Функция $\lambda$ произвольна
настолько насколько это допускает формула

Oleg Zubelevich в сообщении #437065 писал(а):

$df=AB$ где $A$ -- изометрическое преобразование, $B=\lambda\cdot\mathrm{id}$ -- изотропное растяжение в $\lambda$ раз

Ясно, что если операторы $A,B$ в композиции дают дифференциал отображдения, то абсолютно произвольными они быть не могут.

[Time]

Oleg Zubelevich в сообщении #437130 писал(а):

непонятно. Функция $\lambda$ произвольна
настолько насколько это допускает формула

Тождественное преобразование является изометрическим? Возьмем оператор $A$ соответствующим именно такому частному случаю. Тогда в соответствии с Вашим определением $df=\lambda\cdot\mathrm{id}$
В этом случае мы как раз и приходим к определению конформно связанных пространств с произвольной функцией растяжения $\lambda$. В применении к комплексной плоскости эти преобразования существенно шире, чем те, что обычно понимаются под конформными.
Мне кажется, что Вы в самом начале все же совершенно правильно связали оператор $A$ с ортогональным преобразованием, просто для финслеровых пространств таковые далеко не всегда существуют. Для тех, у которых можно ввести угол - обобщение ортогональных преобразований определить также можно, а вот для тех у которых с углами проблема - нет. Соответственно и обобщение конформного преобразования на такие финслеровы пространства не получится. Вернее получится, но это не будет бесконечнопараметрической группой. Что-то бесконечномерное придумать конечно можно, но это будет уже "не та" конформность, что была на евклидовой плоскости..

Oleg Zubelevich в сообщении #437130 писал(а):

Ясно, что если операторы $A,B$ в композиции дают дифференциал отображдения, то абсолютно произвольными они быть не могут.

Может просто покажите на примере того же ТРЕХМЕРНОГО евклидова пространства (это же одно из частного вида финслеровых пространств), у которого даже угол и группа вращений имеются, как работает Ваше определение и при этом, с одной стороны, оно приводит к бесконечномерной группе, а с другой, соответствует известной теореме Лиуввиля, по которой у данного пространства конформные преобразования образуют 10-параметрическую группу.
Если же Ваше определение приводит в трехмерном евклиде только к конечномерной группе, тем более в произвольных многомерных финслеровых пространствах, где вращений нет как класса, так определенные преобразования будут иметь конечное число независимых параметров. А разговор, если помните, был о введении такого понятия конформности преобразований, что бы они предоставляли бесконечномерную свободу в финслеровых пространствах, в которых невозможно непротиворечивым образом определить угол.
Так что одно из двух, либо Ваше определение верно, и оно совсем не гарантирует для произвольных финслеровых пространств бесконечности конформной группы, либо получаемая группа всегда бесконечная, но к конформности (той что имеется в евклидовых пространствах) это не имеет никакого отношения. Выбирайте..

[В.О.]

Time в сообщении #437071 писал(а):

в таких случаях говорят не о геодезических, а об экстремалях (имея ввиду максимум, а не минимум расстояний).

В статье нет определения экстремали. Нет ссылки на определение. Даром чтения мысли я не обладаю. Может авторы, все-таки, сжалятся над пытливым читателем, и сформулируют точное определение?

[Time]

Я уже несколько раз Вам рекомендовал в качестве учебного пособия по введению в финслерову геометрию книгу Гарасько:
http://hypercomplex.xpsweb.com/articles ... -gbook.pdf
Если б Вы начали с нее, а не с узко специализированной статьи про бинглы и тринглы, подобных недоразумений было бы много меньше, тем более, что там и случай псевдоевклидовой плоскости с ее естественными отличиями от евклидовой плоскости достаточно подробно рассмотрен.
Определение экстремали можно найти на стр. 25 указанной книги и там специально подчеркивается, что экстремали в отличие от геодезических могут представлять собой кривые между парой фиксированных точек, как с минимальным расстоянием из множества возможных (тогда их еще называют геодезическими), так и с максимальным. Точно так же как и с экстремумами, которые могут иметь как минимальное значение, так и максимальное.

А лучше всего (если, конечно, есть желание спокойно разобраться во всем) запишитесь на упоминавшуюся летнюю школу по основам финслеровой геометрии. Совсем не факт, что в следующем году снова появится такая оказия или даже в этом уже через неделю останутся свободные места. Только там Вы сможете задать свои вопросы именно профессионалам как в области физики, так и финслеровой геометрии. Я же, напомню, таковым не являюсь. Это следует уже из того, что профессионалы своими знаниями зарабатывают себе на жизнь, я же, наоборот, трачу свои, что бы они могли более менее спокойно работать..

[Kallikanzarid]

@Time:
1) Если вы изучаете финслеровы многообразия с гиперкомплексной структурой, то об этом нужно писать большими буквами, и вещи вроде ваших полиуглов нельзя называть финслеровымим инвариантами, и вообще вы не можете претендовать на то, что исследуете финслерову геометрию, но с необычным подходом. Не путайте людей и себя.
2) Oleg Zubelevich задает абсолютно правильный вопрос: почему вы определяете конформную группу очень странным образом в то время, как на финслеровом многообразии (даже без всякой дополнительной структуры) можно определить эту группу так, что она будет больше напоминать конформную группу (псевдо)-евклидовых преобразований. Судя по вопросам, которые вы ему задавали, вы не вполне понимаете, что такое дифференциал функции между многообразиями. Вам стоит подтянуть эти (элементарные, в общем-то) знания, раз уж вы претендуете на революцию в области ;) Что касается теоремы Лиувилля, то ваше стремление построить пространство с бесконечномерной конформной группой - это wishful thinking, и посмотрите, к чему это вас привело: вы изменили определение конформности до неузнаваемости и потребовали гиперкомплексную структуру - оно того стоит?
3) Ну и да, "удалите повороты из изометрий в евклидовом пространстве" повеселило :))))

На всякий случай, дам здесь перечисление элементарных фактов.

Пусть $M$, $N$ - $C^\infty$-многообразия, $F: M \to N$ - $C^\infty$-функция между ними. Многообразию $M$ можно сопоставить касательное расслоение $TM$ (векторное расслоение, слоями которого являются касательные пространства в соответствующих точках), а функции $F$ - ее продолжение $F_*: TM \to TN$, определяемое однозначно отображением $F$ кривых в $M$ и понимая векторы как классы их эквивалентности. Вместе эти два сопоставления образуют функтор, так что связь между ними очень тесная :) Определяем кодифференциал $F^*: T^*N \to T^*M$ на 1-формах как $F^*\omega := \omega \circ F_*$. Для любого расслоения $(p, q)$-тензоров можно ввести аналогичное отображение, являющееся тензорным произведением $F^*$ $p$ раз и $F_*$ - $q$ раз.

Пусть $M$ - гладкое многообразие, $g$ - гладкое сечение $T^*M \otimes T^*M$ (строящегося как векторное расслоение соответствующих векторных пространств), удовлетворяющее аксиомам гильбертова пространства в каждой точке. $g$ называют римановой метрикой, а $(M, g)$ - римановым многообразием. Группой изометрий $(M, g)$ назывют подгруппу $\mathrm{Isom}(M) \leq \mathrm{Diff}(M)$ диффеоморфизмов $M$ таких, что каждое отображение $F \in \mathrm{Isom}(M)$ удовлетворяет условию $F^*g = g$. Пример: $R^n$, $O(n)$. Аналогично определяем группу конформных отображений: $F^*g = \lambda g$, где $\lambda$ - гладкая функция.