устойчивость решения

[Oleg Zubelevich]

На горизонтальной плоскости в поле силы тяжести находится невесомая сфера радиуса $r$, проскальзывание межу плоскостью и поверхностью сферы отсутствует. На внутренней поверхности сферы укреплена точечная масса $m$.
Исследовать устойчивость движения, при котором точечная масса находится на расстоянии $2r$ над плоскостью, сфера вращается с угловой скоростью $\omega$ вокруг вертикальной оси.

[Oleg Zubelevich]

Плохая задача. Снимается

[Иван_85]

Чем именно плохая? Тем, что сфера невесомая, или тем, что нет проскальзываний?

[Утундрий]

Вероятно тем, что угловая скорость вращения материальной точки - это из области анекдотов.

[Иван_85]

То есть предполагалось воспользоваться законом сохранения момента импульса?

[Утундрий]

По поводу чего там предполагалось - это к автору. Мне так кажется, что последовательность действий была такая:
1. Сочинил задачу
2. Запостил на форум
3. Начал решать
4. Ээээ...

[Oleg Zubelevich]

В принципе задачу можно и в такой постановке решать, просто она сильно вырождена и результат для меня не очевиден. Если заменить сферу на однородный шар, то вырожденность снимается.

[Morkonwen]

как может вращение сферы влиять на массу без трения?

[Morkonwen]

Morkonwen в сообщении #435292 писал(а):

как может вращение сферы влиять на массу без трения?

А понял, она же закреплена. теперь мне не нравится то, что сфера сразу остановится, как только масса отклонится от оси, она же невесомая и момент у мее бесконечно мал

[Иван_85]

Нужно сделать сферу весомой. Тогда всё будет нормально.

[Утундрий]

Oleg Zubelevich в сообщении #435063 писал(а):

она сильно вырождена и результат для меня не очевиден. Если заменить сферу на однородный шар, то вырожденность снимается

Простите, а в чем заключается принципиальная разница между невесомым шаром и невесомой сферой?

[Oleg Zubelevich]

это я написал по-дурацки, шар весомый

[Утундрий]

А.

[Morkonwen]

Уравнения выписал, они сложнее, чем у симметричного волчка с закрепленной точки в связи с отсутствием оной =) Надо по правилам складывать энергию движения цм и вращения, решать их нет желания, да и не просили, зато по поводу устойчивости думаю так:

Центр масс может двигаться только по вертикали. Если за $\phi $взять угол между вертикалью и прямой идущей через массу и цм системы, то потенциальная энергия пропорциональна $\cos{\phi} $, то есть при малом $\phi $ изменения второго порядка малости. Cкорость цм по вертикали пропорциональна $\sin{\phi}\,\phi' $ то есть тоже второго порядка малости. Значит при малых углах $\phi $ можно считать систему симметричным волчком вне полей, а у такой движение будет, конечно устойчиво поскольку вращения вблизи главной оси устойчиво для такого волчка. при малых углах даже можно взять уравнения такого волчка - это прецессия главной оси(с массой) вокруг вектора момента.

[dovlato]

Кажется, была такая задача (либо очень близкая). Осмысленная.
Значит, на дне полой сферы лежит себе тяжёлая точка. Мокрая. Сфера вращается вокруг своей вертикальной оси со скоростью $\omega$; её можно выбирать произвольно, но тока не дёргать, плавненько. Присутствует только мокрое трение: $f=kv$, где $v$-скорость точки относительно жидкости, $k$- задан. Массса точки $m$.
Вопрос: при каких $\omega$ нижнее положение точки перестаёт быть устойчивым?