2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Решить систему уравнений
Сообщение14.04.2011, 09:29 


23/05/09
77
Решить систему уравнений
$\left\{ \begin{gathered}  x + \sqrt {xy}  - \sqrt {x^2  + xy}  = 8, \hfill \\  y + \sqrt {xy}  - \sqrt {y^2  + xy}  = 6 \hfill \\ \end{gathered}  \right$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить систему уравнений
Сообщение14.04.2011, 12:55 
Заслуженный участник


03/01/09
1711
москва
Сделать замену:$y=tx$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить систему уравнений
Сообщение14.04.2011, 13:24 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5500
Нов-ск
$\left\{ \begin{gathered} \sqrt{x}\left(\sqrt{x} + \sqrt {y}  - \sqrt {x  + y}\right)  = 8, \hfill \\  \sqrt{y}\left(\sqrt{x} + \sqrt {y}  - \sqrt {x  + y}\right)  = 6 \hfill \\ \end{gathered}  \right$
(Очевидно, обе переменные одного знака, положительные)

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить систему уравнений
Сообщение15.04.2011, 19:20 


23/05/09
77
Данная система возникла в результате рассмотрения следующей геометрической задачи:
в прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C$ прямой) проведена высота $CD$. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники $ACD$ и $BCD$ равны соответственно $r_1=4, r_2=3$. Найдите гипотенузу $AB$.
Изображение
Обозначив проекции катетов $BC$ и $AC$ на гипотенузу $AB$ через $x$ и $y$, находим $CD=\sqrt{xy}, BC=\sqrt {x^2+xy}, AC=\sqrt {y^2+xy}$.
Используя формулу радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, получим систему уравнений:

$\left\{ \begin{gathered}\frac{{x + \sqrt {xy}  - \sqrt {x^2  + xy} }}{2} = r_1  = 4, \hfill \\\frac{{y + \sqrt {xy}  - \sqrt {y^2  + xy} }}{2} = r_2  = 3, \hfill \\\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + \sqrt {xy}  - \sqrt {x^2  + xy}  = 8, \hfill \\ y + \sqrt {xy}  - \sqrt {y^2  + xy}  = 6 \hfill \\\end{gathered}  \right$
Таким образом, решение данной системы можно свести к вычислению длин проекций x и y (доказав предварительно, что из системы следуют условия $x>0, y>0$).
Поскольку площади треугольников с одинаковыми высотами относятся как их соответствующие основания, а отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то будем иметь:
$\frac{x}{y} = \frac{{S_1 }}{{S_2 }} = k^2  = \left( {\frac{{r_1 }}{{r_2 }}} \right)^2  = \frac{{16}}{9} \Rightarrow x = 16t,y = 9t$
Отсюда $r_2  = \frac{{9t + 12t - 15t}}{2} = 3t = 3 \Rightarrow t = 1$.
Значит, $x = 16 \cdot t = 16 \cdot 1 = 16,\;y = 9 \cdot t = 9 \cdot 1 = 9$.
Хотя данная система уравнений несложно решается алгебраическими методами, мне показалось интересной геометрическая интерпретация данной задачи.
TOTAL, mihiv, благодарю Вас за полезные комментарии.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить систему уравнений
Сообщение15.04.2011, 20:17 
Аватара пользователя


02/03/08
178
Netherlands
Можно так ещё ($BC=a$, $CA=b$, $AB=c$, $r$ - радиус вписанной окр. в $\triangle ABC$): $r_1^2 + r_2^2 = r^2$, с другой стороны $r = \frac {a+b-c} {2}$ $(*)$. Из подобия всех прямоугольных тр-иков на рисунке имеем $\frac a {r_1} = \frac b {r_2} = \frac c {r}$. Подставляем всё выраженное через $c$ в $(*)$: $5=\frac {(4/5) \cdot c + (3/5) \cdot c - c} 2$, получаем $c=25$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решить систему уравнений
Сообщение15.04.2011, 20:28 


23/05/09
77
Dimoniada, спасибо! Интересное решение! :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group