Решить систему уравнений

[Cute]

Решить систему уравнений
$\left\{ \begin{gathered} x + \sqrt {xy} - \sqrt {x^2 + xy} = 8, \hfill \\ y + \sqrt {xy} - \sqrt {y^2 + xy} = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right$

[mihiv]

Сделать замену:$y=tx$.

[TOTAL]

$\left\{ \begin{gathered} \sqrt{x}\left(\sqrt{x} + \sqrt {y} - \sqrt {x + y}\right) = 8, \hfill \\ \sqrt{y}\left(\sqrt{x} + \sqrt {y} - \sqrt {x + y}\right) = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right$
(Очевидно, обе переменные одного знака, положительные)

[Cute]

Данная система возникла в результате рассмотрения следующей геометрической задачи:
в прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C$ прямой) проведена высота $CD$. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники $ACD$ и $BCD$ равны соответственно $r_1=4, r_2=3$. Найдите гипотенузу $AB$.

Обозначив проекции катетов $BC$ и $AC$ на гипотенузу $AB$ через $x$ и $y$, находим $CD=\sqrt{xy}, BC=\sqrt {x^2+xy}, AC=\sqrt {y^2+xy}$.
Используя формулу радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, получим систему уравнений:

$\left\{ \begin{gathered}\frac{{x + \sqrt {xy} - \sqrt {x^2 + xy} }}{2} = r_1 = 4, \hfill \\\frac{{y + \sqrt {xy} - \sqrt {y^2 + xy} }}{2} = r_2 = 3, \hfill \\\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + \sqrt {xy} - \sqrt {x^2 + xy} = 8, \hfill \\ y + \sqrt {xy} - \sqrt {y^2 + xy} = 6 \hfill \\\end{gathered} \right$
Таким образом, решение данной системы можно свести к вычислению длин проекций x и y (доказав предварительно, что из системы следуют условия $x>0, y>0$).
Поскольку площади треугольников с одинаковыми высотами относятся как их соответствующие основания, а отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия, то будем иметь:
$\frac{x}{y} = \frac{{S_1 }}{{S_2 }} = k^2 = \left( {\frac{{r_1 }}{{r_2 }}} \right)^2 = \frac{{16}}{9} \Rightarrow x = 16t,y = 9t$
Отсюда $r_2 = \frac{{9t + 12t - 15t}}{2} = 3t = 3 \Rightarrow t = 1$.
Значит, $x = 16 \cdot t = 16 \cdot 1 = 16,\;y = 9 \cdot t = 9 \cdot 1 = 9$.
Хотя данная система уравнений несложно решается алгебраическими методами, мне показалось интересной геометрическая интерпретация данной задачи.
TOTAL, mihiv, благодарю Вас за полезные комментарии.

[Dimoniada]

Можно так ещё ($BC=a$, $CA=b$, $AB=c$, $r$ - радиус вписанной окр. в $\triangle ABC$): $r_1^2 + r_2^2 = r^2$, с другой стороны $r = \frac {a+b-c} {2}$ $(*)$. Из подобия всех прямоугольных тр-иков на рисунке имеем $\frac a {r_1} = \frac b {r_2} = \frac c {r}$. Подставляем всё выраженное через $c$ в $(*)$: $5=\frac {(4/5) \cdot c + (3/5) \cdot c - c} 2$, получаем $c=25$.

[Cute]

Dimoniada, спасибо! Интересное решение!