Базисы и координаты в учебнике Зорича

[caxap]

Извините, модераторы, переписывать лень. Вопрос маленький.



Мне не понятно, как получилось (8). Ведь, по-моему, так будет только если $\tilde e_i$ -- стандартный базис в $\mathbb R^n$ (т. е. $\tilde e_i=(0,...,1,...,0)$ (единица на $i$-ом месте)).

[mihailm]

вроде все правильно, это обычно в линейке рассматривается а в матане только используется
а вы понимаете что там суммы?

[caxap]

mihailm в сообщении #434157 писал(а):

а вы понимаете что там суммы?

Конечно. $\mathbb R^n\ni L(h)=\sum_j \left(\sum_i a_i^j h^i\right) \tilde e_j=:\sum_j \ell_j \tilde e_j$. В случае стандартного базиса это означает, что $\ell_j$ -- компоненты кортежа $L(h)\in R^n$, т. е. $L(h)=(\ell_1,...,\ell_n)$. Но ведь там не сказано, что базис $(\tilde e_i)$ стандартный. В общем случае компоненты кортежа не совпадут с координатами в базисе.

-- 12 апр 2011, 21:50 --

(На то, что в (8) в правой части записан именно элемент $\mathbb R^n$, а не набор координат в $(\tilde e_j)$ намекает то, что, во-первых, набор координат в базисе обычно записывает в столбец, а во-вторых, между вектором и его координатами нельзя ставить равно, ибо координаты зависят от базиса, а вектор нет.)

[mihailm]

я про первую (и вторую) координату в правой части 8 там уже сумма

P.S. не очень понимаю в чем ваше непонимание)

[caxap]

Что-то я туплю, наверное.

Так. Пусть $m=n=2$. $\mathbb R^2$ -- это пары из вещественных чисел. Возьмем линейное отображение $L:\mathbb R^2\to\mathbb R^2,\ (x,y)\mapsto (x+y,x)$. Пусть $h=(2,4)$.

Выберем базисы в $\mathbb R^2$: $e_1=(2,0),\ e_2=(0,2);\ \tilde e_1=(4,0),\ \tilde e_2=(0,4)$.

Тогда $Lh=(6,2)=\frac 32 \tilde e_1+\frac 12 \tilde e_2$. То есть компоненты пары (6 и 2) не равны координатам в $\tilde e_i$ ($\frac 32$ и $\frac 12$). Зорич же пишет, что $Lh=(\frac 32,\frac 12)$.

Если бы $\tilde e_i$ был стандартным базисом, то координаты в нём совпадали бы с компонентами пары. А в общем случае так не будет.

-- 12 апр 2011, 23:07 --

Похожая ситуация у него с якобиевой матрицей. Она определяется как матрица из частных производных. Потом же говорится, что матрица Якоби -- матрица дифференциала. Но, по-моему, если базис не стандартный, то матрица дифференциала в нём может отличаться от матрицы ч. п. (Частные производные ведь беруться независимо от базиса: фиксируются все кроме одной компоненты в кортеже $\in\mathbb R^m$ и берется обычная производная.)

[MaximVD]

Я думаю, что Зорич под "координатной записью" подразумевал именно запись координат вектора в фиксированном выше базисе, а не искомого кортежа. То есть если мы зафиксировали базис $e_1, \ldots, e_n$ и написали, что в координатной записи $x = (a_1, \ldots, a_n)$, то это подразумевает, что $x = a_1 e_1 + \ldots + a_n e_n$, а не что $a_i$ это $i$-ая координата в стандартном базисе.
Такой приём иногда используется, если автор хочет перейти, например, от оператора из $\mathbb{R}^m$ в $\mathbb{R}^n$ к его матрице в некоторой паре базисов (не обязательно стандартных) и вообще всё рассматривать в этой паре базисов, но при этом не хочет возиться с матрицами перехода. Это, конечно, порождает некую двоякость в обозначениях, но если забыть про конкретную структуру $\mathbb{R}^n$, а считать что это просто "абстрактное" линейное пространство, то это бывает удобно.

[caxap]

Ясно. Просто я считал отождествлял векторов и их координат чем-то страшным. Да и на этом форуме мне как-то сказали, что делать этого не надо ни в коем случае, насколько бы крепко мы базисы ни фиксировали.

А что с якобианом? В произвольном базисе матрица ч.п. будет равняться матрице дифференциала?

[ewert]

caxap в сообщении #434216 писал(а):

В произвольном базисе матрица ч.п. будет равняться матрице дифференциала?

Ессно. Это просто по определению. Производной или там дифференциала в каком угодно хоть сколько-то разумном смысле.

[AD]

caxap в сообщении #434148 писал(а):

Извините, модераторы, переписывать лень.

В таких случаях это нормально.
Если бы Вы не привели скан, то читатели все равно со значительной вероятностью попросили бы его, чтобы убедиться, что у Вас нет опечаток и пр.

[caxap]

ewert в сообщении #434239 писал(а):

Ессно. Это просто по определению. Производной или там дифференциала в каком угодно хоть сколько-то разумном смысле.

А где про это можно прочитать? Просто мне это не кажется очевидным. Даже наоборот: как я уже говорил, частные производные вычисляются независимо от базиса (т. е. мы фиксируем все кроме одной компоненты в кортеже $\in\mathbb R^n$, а не в наборе координат в некотором базисе), матрица же оператора при смене базиса меняется.

[MaximVD]

caxap,
Вы правы, что не стоит отождествлять координаты и векторы. Это зачастую приводит к путанице и ошибкам, поэтому так лучше не делать. Но некоторые авторы так делают, поэтому стоит иметь ввиду, что такое возможно.

[caxap]

Пусть $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$. Когда мы пишем $f(x,y)$, мы подразумеваем, что $(x,y)\in\mathbb R^2$ или что $(x,y)$ -- набор координат в некотором фиксированном базисе $\mathbb R^2$?

[mihailm]

caxap в сообщении #434845 писал(а):

Пусть $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$. Когда мы пишем $f(x,y)$, мы подразумеваем, что $(x,y)\in\mathbb R^2$ или что $(x,y)$ -- набор координат в некотором фиксированном базисе $\mathbb R^2$?

Интересный вопрос, в 99% случаев это координаты в стандартном базисе, хотя другого толкования не встречал)

[caxap]

По идее, это должны быть вообще не координаты, ибо в общем случае $f:M^m\to N^n$, множества $M^m$, $N^n$ не векторные пространства, а просто кортежи. Почему мы должны выделять случай $\mathbb R$?

Меня просто смущает, во-первых, то, что в учебниках матана (что я читал) это мало того не разъясняют, да и вообще смешивают (как Зорич). Во-вторых, отсюда у меня, возможно, возникло неправильное понимание частной производной. Если считать $f:\mathbb R^m\to\mathbb R,\ x:=(x_1,...,x_m)\mapsto y$, где $(x_1,...,x_m)$ -- не координаты в базисе, а элемент множества $\mathbb R^m$, то частная производная получается так: фиксируем все кроме одной $x_i$ компоненты $x$, получаем функцию $f_i:\mathbb R\to\mathbb R$, тогда частная производная $\operatorname{D}_i f:=f_i'$.

Если же понимать $(x_1,...,x_n)$ как координаты в некотором (в общем случае не стандартном) базисе, то понятие ч. п. будет отличаться (ибо вектор, соответствующий координатам $(x_1,...,x_n)$ не обязан равняться кортежу $(x_1,...,x_n)\in\mathbb R^n$). Тут $\operatorname{D}_i f$ будет производной $f$ по базисному вектору. Кстати, тогда снимается сразу мой вопрос про Якобиан: тут матрица из ч.п. обязательно совпадёт с матрицей производной в выбранном базисе (в первом же случае, по-моему, не совпадёт, хотя не знаю).

Что на самом деле имеется в виду под ЧП я не понял.

(Оффтоп)

А вообще в матане используют какие-либо базисы, кроме стандартных? Я смотрел учебник Камынина, он более подробный и везде, где он пишет о базисах, он уточняет, что он стандартный.

[_hum_]

caxap в сообщении #434148 писал(а):

Мне не понятно, как получилось (8). Ведь, по-моему, так будет только если $\tilde e_i$ -- стандартный базис в $\mathbb R^n$ (т. е. $\tilde e_i=(0,...,1,...,0)$ (единица на $i$-ом месте)).

А что разве ситуация не такова:

есть конечномерные векторные пространства $U,V, \dim U = m, \dim V = n$. Есть линейное отображение $L:U\rightarrow V$. Между всяким конечномерным векторым пространством и некоторым арифметическим cуществует естествненный изоморфизм $\mathbf{i}$, который строиться по схеме: в исходном пространстве выбираем базис и ставим каждому вектору в соответствие набор координат в этом базисе. Это позволяет вместо оператора $L$ на исходном вектороном пространстве рассматривать его "представителя" $\Tilde{L} = \mathbf{i}\circ L\circ \mathbf{i}^{-1} : R^m \rightarrow R^n$. Этот представитель и называется "координатным представлением оператора" и задается через $\Tilde{L}(\Tilde{h}) = (a_1^i \Tilde{h}^i,...,a_i^n \Tilde{h}^i)$, где $\Tilde{h} = \mathbf{i}(h), h \in U$.