Исследовать функцию на равномерную непрерывность

[PostPunk]

$f(x,y)=\sin(\frac{1}{1-x^2-y^2})$
в области $D: {x^2+y^2<1}$

исследовать на равномерную непрерывность.
Я начал рассуждать так:
1. В заданной области знаменатель в ноль не обращается, следовательно особых точек функция не имеет,
значит она непрерывна на рассматриваемом промежутке.
2. Из уравнения D можно получить: $x^2<1$ ; $y^2<1$, откуда следует что x и y ограничены промежутком (-1;1). Получается, что максимальное значение модуля разности двух координат не превосходит двух.
3. Синус - ограниченная функция, принимает значения от -1 до 1 включительно, а значит максимальное значение модуля разности значений функции в двух не совпадающих точках равно двум.

Дальше почему-то эти рассуждения меня поставили в тупик и я решил действовать так:

1. Возьмем в качестве точки $M1(\frac{1}{\sqrt{\sigma}};\frac{1}{\sqrt{\sigma}})$
2. Возьмем в качестве второй точки $M2(\frac{2}{\sqrt{\sigma}};\frac{2}{\sqrt{\sigma}})$
3. Разность значений между соответствующими координатами $\frac{1}{\sqrt{\sigma}} < \sigma$
4. Вычисляем разность значений функции, разность синусов расписываем по формуле, Косинус и Синус можно заменить максимальными значениями, т.е. 1. и получаем что $|f(M1)-f(M2)|=2$ что превышает любое значение для $eps$ из интервала (-1;1), а значит функция не равномерно непрерывна.

Но мне кажется это всё неправильно

[мат-ламер]

Цитата:

Косинус и Синус можно заменить максимальными значениями

Поясните, пожалуйста.

[PostPunk]

рассуждал из принципа того, что косинус и синус ограниченные функции, и могут принимать значения от -1 до 1 включительно, а т.к. мы разбили разность синусов по формуле, получили под модулем произведение косинуса на синус, т.е. максимальное значение, которое мы можем получить под модулем будет 1.

...сейчас посмотрел еще раз на это всё, и не совсем понял зачем заменяю максимальным значением. Что-то совсем запутался(

[мат-ламер]

Непонятен выбор точек M1 и М2.

-- Вт апр 12, 2011 21:19:20 --

Цитата:

откуда следует что x и y ограничены промежутком (-1;1).

По-моему, они ограничены окружностью.

[PostPunk]

выбор хотел сделать так, чтобы модуль разности координат был меньше $\sigma$
можно взять например $(\frac{1}{\sqrt{\sigma}};\frac{1}{\sqrt{\sigma}})$
и $(\sqrt{\sigma};\sqrt{\sigma})$
Проблема в том, что когда вычисляем разность значений функции, то это приводит к громоздким вычислениям(

-- Вт апр 12, 2011 20:22:37 --

мат-ламер в сообщении #434145 писал(а):

Непонятен выбор точек M1 и М2.

-- Вт апр 12, 2011 21:19:20 --

Цитата:

откуда следует что x и y ограничены промежутком (-1;1).

По-моему, они ограничены окружностью.

Окружностью, но каждая переменная в отдельности ограничена вот этим промежутком.

[мат-ламер]

Поскольку функция имеет круговую симметрию, то может для простоты заменить её на функцию одной переменной?

-- Вт апр 12, 2011 21:27:05 --

Две точки брать надо не произвольно, а там где функция меняется сильнее, т.е. вблизи границы.

[PostPunk]

т.е. например $x^2+y^2=t$ ?
а так можно делать?
ведь тогда область определения $t<1$ уже будет явно не окружностью

[мат-ламер]

Лучше $x^2+y^2=t^2$.

[PostPunk]

мат-ламер в сообщении #434151 писал(а):

Поскольку функция имеет круговую симметрию, то может для простоты заменить её на функцию одной переменной?

-- Вт апр 12, 2011 21:27:05 --

Две точки брать надо не произвольно, а там где функция меняется сильнее, т.е. вблизи границы.

Подскажите как их выбрать пожалуйста, я могу составить пример взяв две конкретные точки, и тогда даже Отрицание определения равномерной непрерывности выполняется, но ведь двух точек и конкретного $\sigma$ недостаточно. нужна последовательность

[мат-ламер]

Вместо точек можно вычислить производную и показать, что она неограничена снизу (если это действительно так, не проверял).

-- Вт апр 12, 2011 21:35:43 --

Но можно решать и через точки. Точки взять вблизи границы.

[PostPunk]

производная при приближении к точке -1 или 1 стремится к бесконечности.
Это является достаточным условием не равномерной непрерывности?

[мат-ламер]

По мне - это очевидно. Но соответствующей теоремы сходу вспомнить не могу.

[PostPunk]

я нашел то, что оно является достаточным, но не необходимым.

[мат-ламер]

Для нас этого достаточно.

[mihailm]

PostPunk в сообщении #434160 писал(а):

производная при приближении к точке -1 или 1 стремится к бесконечности.
Это является достаточным условием не равномерной непрерывности?

в общем случае нет конечно