Маленькие вопросы по разным темам

[arseniiv]

А для многих переменных они что-нибудь говорят?

Кстати, напомнили про обозначение $a \mapsto b$! Кто-нибудь видел его использование в смысле $\lambda a. b$?

[MaximVD]

В трактате Функции вещественного переменного, ничего про функции многих переменных нет. И при беглом осмотре, я не нашёл ни одной книги Бурбаки, где они бы излагали именно теорию функций многих вещественных переменных. Возможно, я плохо смотрел.

[caxap]

Посоветуйте, пожалуйста, какие-нибудь строгие учебники матана, с высоким уровнем изложения. (По стилю сравнимый с "Теорией множеств" Бурбаки или "Линейной алгебры и геометрии" Кострикина.) Есть ли такой вообще или матан приговорён быть наукой для инженеров?

[arseniiv]

(Продолжение моих лямбда-бредней.)

Кстати, если $f\colon A_1 \times \ldots \times A_n \rightarrow \mathbb R$, $\mathbf x = \{ x_1,\, \ldots,\, x_n \}$, $f' := \left\{ \lambda\mathbf x.\frac{\partial f(\mathbf x)}{\partial x_1},\, \ldots,\, \lambda\mathbf x.\frac{\partial f(\mathbf x)}{\partial x_n} \right\}$, то $f'_i(\mathbf x) = \frac{\partial f(\mathbf x)}{\partial x_i}$. Примерно так же можно определить $k$-мерную матрицу $f^{(k)}$ и использовать её элементы $f^{(k)}_{i_1 \cdots i_k}$.

Лучше, наверно, ввести обозначение $D_{i_1 \cdots i_k}f$, если такого нет ещё.

[MaximVD]

Есть очень хороший учебник В. А. Зорич "Математический анализ" в 2 томах. Быть может по строгости он не дотягивает до уровня Бурбаки, но он написан на высоком уровне и явно не для инженеров.

(Оффтоп)

Самый большой плюс этого учебника заключается в том, что в нём, в отличии от большинства учебников математики (в том числе и Бурбаки), автор не сухо излагает факты, а, например, пытается привести какие-то доводы в пользу того, почему определение было введено так, а не иначе. Вдобавок в этом учебнике есть много примеров из физики.

[caxap]

А ещё что-нибудь есть? Можно на английском.

[svv]

arseniiv писал(а):

Кстати, напомнили про обозначение $a \mapsto b$! Кто-нибудь видел его использование в смысле $\lambda a. b$?

Я не видел, но очень хотел видеть. Если мы об одном и том же, то, например:
$f:=x \mapsto x^2$, или $f: \mathbb R \to \mathbb R:=x \mapsto x^2$
$(x \mapsto x^2) \circ (x \mapsto 1-x) = (x \mapsto (1-x)^2)$

А обобщение на случай многих переменных существует? $(x, y) \mapsto x^2-y^2$

Кстати по теме, используя $\mapsto$ в таком смысле, хочется написать:
$D := f \mapsto \left(x \mapsto \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \right)$
То есть $D$ отображает функцию в функцию.
arseniiv, Вы смогли бы выразить это в лямбда-исчислении? ($D=\lambda f ...$)

[caxap]

Я не знаком с $\lambda$-исчислением и не знаю, что там имеется в виду под функцией, но в обычном смысле запись типа $f=x\mapsto f(x)$ не совсем корректна, ибо функция -- это не только закон соответствия (= график), но и область определения и прибытия. (В случае вещественных функций такие вольности позволяются, здесь "по умолчанию" за область определения принимается множество, где аналитическое выражение, задающее функцию, имеет смысл, а область прибытия $\mathbb R$.) По-моему, естественно рассматривать $x\mapsto f(x)$ как диаграмму, рисунок, тогда и записи типа $x\mapsto (y\mapsto f(x,y))$ будут осмысленны.

arseniiv в сообщении #433380 писал(а):

Лучше, наверно, ввести обозначение $D_{i_1 \cdots i_k}f$, если такого нет ещё.

Есть. Ещё есть аналогичный символ $\partial_{i_1\cdots i_k}$ (это в Зориче). Хорошее обозначение, конечно, всегда можно придумать, но дело в другом: раньше язык математики развивался и улучшался и не был таким инерционным.

(Оффтоп)

Язык -- это, конечно, просто буковки, но подумайте, что бы было, если бы мы использовали, скажем, римские цифры или не додумались использовать буквы для переменных... Язык это не только средство записи и общения, это что-то более глубокое и важное. К человеческому языку это тоже относится. Без него мы бы, наверное, до сих пор жили в пещерах. (На схожую тему была короткометражка из серии "FAQ" на National Geographic.)

Сейчас же язык устоялся и вообще не двигается, по-моему. Особенно в матане -- там вообще всё застыло в 19 веке. $\dfrac{\partial f}{\partial s \partial t\partial y}$ каждый поймёт по-своему, а $D_{236} f$ -- строгая, лаконичная и однозначная запись. Только вот от живого человека увидеть такое обозначение трудно.

MaximVD в сообщении #433416 писал(а):

Есть очень хороший учебник В. А. Зорич "Математический анализ" в 2 томах. Быть может по строгости он не дотягивает до уровня Бурбаки, но он написан на высоком уровне и явно не для инженеров.

Да, я уже знаю этот учебник. С первого взгляда он кажется почти бурбакистским, но когда вчитываешься, видны всякие вольности, причем без объяснений.

(Например)

1. В функциях многих переменных он вообще не различает операторы и их матрицы (и даже ставит между ними знак "равно", например, между дифференциалом (которое определяется как линейное отображение) и матрицей Якоби (матрицей этого отображение). Я понимаю, что базис фиксирован, но всё равно нервирует. Насколько я помню, это даже не поясняется нигде.

2. Он пишет, что значение дифференциала $df(x)(h)$ при $f(x)\equiv x$ равно $dx(h)$. Без всяких пояснений, что это лишь вольность записи. Формально же $df(x)(h)$ значит ${\color{blue}(}df{\color{blue})}(x)(h)$, т. е. сначала $d$ применяется к $f$ и мы получаем функцию $df=:g$, затем применяется $g$ к $x$, получаем линейное отображение $g(x)=:L$, затем $L$ применяется к приращению $h$. Зорич заменил $f(x)$ на $x$, не обращая внимание на то, что $f$ связан с $d$. По идее, следовало бы сказать так: "$df(x)(h)$ при $f(x)\equiv x$ равно $d(\mathrm {id})(x)(h)=:dx(h)$".

3. При обозначение базы он добавляет "потусторонние" символы, напр. база проколотых окрестностей точки $a$ обозначается у него как $x\to a$. И что тут значит $x$? То же, что здесь: $\dfrac{df}{dx}$, т. е. обозначение привязано к использованию $x$ где-то там. Более того, символы $x\to \infty$ и $n\to \infty$ Зорич различает, хотя символы $n,x$ фиктивны.
Слава богу, Зорич даёт ссылку на бурбакисткую книжку, где данный вопрос очень хорошо и строго рассмотрен. Для базы $\mathscr B$ у бурбаков для предела используется обозначение $\lim_{\mathscr B} f=\lim_{x,\mathscr B} f(x)$ (второй вариант вызван удобством: работая с пределами, мы работаем обычно не с абстрактными функциями, а с функциями, заданные аналитическим выражением). У Зорича же $\lim_{\mathscr B} f(x)$, т. е. что-то среднее и формально некорректное. Кстати, бурбаки вводят обозначения $\lim_{x\to a} f(x)$ и т.п. просто как сокращения для $\lim_{x,\mathscr B} f(x)$ для популярных $\mathscr B$. Никаких $\mathscr B=x\to a$ бурбаки себе не позволяют (и правильно делают). Не знаю, почему Зорич так всё искаверкал.

(Тут ещё много пунктов. Это учитывая, что я читал только 1-й том. Во втором, наверное, тоже не всё гладко.)

Неужели анализа а-ля Бурбаки ещё не написано? Один из старейших разделов математики, а учебники просто копируют друг друга, совсем не эволюционируя.

[arseniiv]

(2 svv)

svv в сообщении #433459 писал(а):

Если мы об одном и том же

Да, совпало! А то с лямбдой уж больно непривычно, не все поймут.

svv в сообщении #433459 писал(а):

arseniiv, Вы смогли бы выразить это в лямбда-исчислении? ($D=\lambda f ...$)

Ага. $D := \lambda fx.\lim\cdots$ (принято сокращение $(\lambda a b . c)$ для $(\lambda a.(\lambda b.c))$, т. к. в чистом $\lambda$-исчислении переменные обычно берут однобуквенные, запятой между ними тут нет, но если применять вне его, можно, наверно, разделять разные переменные запятой). Правда, такая запись может соответствовать и $D := (f, x) \mapsto \lim\cdots$, если мы не оговорим, что наше приложение $\lambda$-исчисления ко всему подряд должно быть без карринга. Потому я думаю, что со стрелкой лучше будет, т. к. в чистом $\lambda$-исчислении функции многих переменных получаются только каррингом, а в остальной математике карринг не используют. А если мы будет сильно переопределять вещи, нас, опять же, не все поймут.

caxap в сообщении #433542 писал(а):

По-моему, естественно рассматривать $x\mapsto f(x)$ как диаграмму, рисунок, тогда и записи типа $x\mapsto (y\mapsto f(x,y))$ будут осмысленны.

Вот я совсем забыл про области определения и прибытия, но, наверно, можно определить $\mapsto$ в каком-нибудь расширенном виде, например, с указанием множеств над стрелкой. А когда там ничего нет, можно задавать их как раз «по умолчанию», как вы упомянули. Тогда запись будет формально корректной. Правда, для композиции ещё надо будет сделать оговорки, а то получится, что $(x \mapsto \sqrt x) \circ (x \mapsto \ln x) \ne (x \mapsto \sqrt{\ln x})$, потому что левая часть вообще не определена.

caxap в сообщении #433542 писал(а):

$D_{236} f$ -- строгая, лаконичная и однозначная запись. Только вот от живого человека увидеть такое обозначение трудно.

Наверно, дело в том, что она почти никогда не нужна — обычно всегда нужно что-то говорить о значениях функции. Но на крайний случай какая-то запись нужна. Кстати, $\partial_{236}$ тоже нигде, кроме Зорича, не встречается?

[AD]

caxap в сообщении #433542 писал(а):

$x\mapsto (y\mapsto f(x,y))$

Зачем так сильно отклоняться от общепринятого "$(x,y)\mapsto f(x,y)$"?

[caxap]

(Оффтоп)

AD
Во-первых, в диаграмме $x\stackrel{f}\mapsto (y\stackrel{g}\mapsto f(x,y))$ две функции, а в $(x,y)\stackrel{h}\mapsto f(x,y)$ -- одна. (Как я понимаю, переход от $h$ к паре функций $(f,g)$ называется каррированием.) Но это не главное. Просто иногда второй вариант не совсем годится, например, изоморфизм $f$ векторного пр-ва и двойного сопряженного к нему:

$$f\colon V\to V^{**},\qquad \underbrace{\vec x}_{V}\mapsto \underbrace{(\varphi\mapsto \varphi(\vec x))}_{V^{**}}$$

[caxap]

Вопрос 6. Есть ли русский аналог этого?

[svv]

Errata = список опечаток.
Слово латинское, единственное число erratum -- описка, опечатка.

А, Вы не о слове, а о базе данных. Сначала не понял.

[caxap]

svv, да, я о базе.

Вопрос. Чтобы не краснеть, когда другие говорят "дифференциальная форма", решил проликбезить себя по "Мат. методам классической механики" Арнольда. Он там говорит о "координатах $x_i$" (напр. $dx_i$ -- дифференциал функции $x_i$). Но я не совсем понял: $x_i$ это функция $\mathbb R^n\ni (a_1,...,a_i,...,a_n)\mapsto a_i$ (т. е. не зависит от базиса) или же $x_i$ являются координатными функциями некоторого базиса в $\mathbb R^n$ (т. е. базис $x_i$ сопряжён к некоторому базису в $\mathbb R^n$)?

Аналогичный вопрос про матрицу Якоби. Это матрица из частных производных (т. е. не будет зависеть от базиса) или вообще матрица дифференциала в (произвольном) базисе?

[caxap]

Надеюсь, сюда ещё кто-нибудь заходит...

Вопрос 8. Случайно наткнулся на теорему (?), что если взять последовательность $(c_n)$, где $n$-ый член получается умножением $(n-1)$-го на какое-то целое число, причём $\dfrac{c_{n}}{c_{n+1}}\to 0$ при $n\to\infty$, то сумма обратных величин к $c_n$ будет иррациональным числом. Если же вдобавок $\dfrac{(c_{n})^m}{c_{n+1}}\to 0$ при любом $m\in\mathbb N$, то эта сумма будет трансцендентна.

(Оффтоп)

Напр. $c_0:=1$, $c_n:=c_{n-1} n=n!$, тогда $\sum_{n\ge 0} \dfrac 1{n!}=e$ -- иррациональное.

Если это верно, то кто эту теорему придумал и где про неё можно подробно почитать с доказательством?