Число n/73 в виде бесконечной дроби: нет соседних повторов

[Andrey173]

Пусть n - любое целое число, удовлетворяющее неравенствам $0<n<73$. Запишем рациональное число $\frac{n}{73} $ в виде бесконечной десятичной дроби:
$\frac{n}{73}=0.a_1a_2a_3...$
Докажите, что в этой записи не содержится после запятой двух рядом стоящих одинаковых цифр.
С чего начать?

[Sonic86]

Можно начать с периодичности знаков дроби, потом найти период, ну а потом можно напрямую вычислить весь период и проверить, что повторов нет
М.б. можно попытаться вывести формулу для следующего десятичного знака...

[Joker_vD]

(здесь был результат неряшливого обдумывания)

Разделите вон то подозрительное место столбиком, свяжите остатки и частные, учтите, что остатки меньше 72, а частные — не больше девяти.

[venco]

Joker_vD в сообщении #432188 писал(а):

Да элементарно. Представьте себе, как вы делите столбиком. Докажите, что если встретились две рядом стоящие одинаковые цифры в записи, то на самом деле и третья, и все последующие цифры будут теми же самыми. А это значит...

Вы уверены?
$\frac 1 {79}=0.(0126582278481)$
Есть две двойки подряд. У $\frac 1 {71}$ тоже есть повторы.
Значит, это особенность числа $73$.

[Andrey173]

Да я пробовал поставить туда, какое -нибудь другое простое число, повторы были.
Спасибо, буду пробовать)

Joker_vD в сообщении #432188 писал(а):

что остатки меньше 72

Меньше или равны 72? Например для n=51.

[bot]

было

venco в сообщении #432190 писал(а):

Значит, это особенность числа 73

Если это назвать особенностью, то она не исключительная. Даже среди тех простых, для которых 10 примитивный корень, должны быть - для них достаточно только саму дробь без всяких кратных проверить. Проверил первую сотню - таких 3 штуки: 7, 19 и 23.

(Оффтоп)

Удивительная вещь - и ТС тот же.

[Andrey173]

О, точно я делал уже такую тему) Просто я запостил в олимпиадные задачи тогда, никто не ответил и я подумал, что она слишком легкая, благополучно забыв про нее. Прошу прощения.
bot
а нету элементарного решения?

[bot]

Можно попробовать адаптировать это. Ключевое утверждение переформулировать легко:
Остатки от деления на 73 чисел $2^m10^n, \ m\in\{0,...,7\},\ n\in\{0,...,8\}$ различны.
Остаётся придумать, как адаптировать доказательство для тех, кому влом разобраться с простым утверждением о порядках элементов в циклической группе.

[Andrey173]

Кажется я решил.
Пусть $Q_m$ - m-ый остаток, ($Q_0=n$).
Предположим, что $a_k=a_{k+1}$
Два нуля подряд идти не могут, т.к. делитель - двузначный.
Тогда:
$Q_k=10Q_{k-1}-73a_k$
$Q_{k+1}=10Q_k-73a_{k+1}$
Следовательно:
$Q_{k+1}+73a_{k+1}=100Q_{k-1}-730a_k \to a_k=\frac{100Q_k-Q_{k+1}}{803}$
Максимальное значение $a_k=9$. Тогда максимальное значение последних двух цифр числителя правой части - 27, но максимальное значение $Q_m$=72, а 100 - 72 = 28 > 27.
Противоречие.
правильно?

[bot]

Верно, но требует причёсывания.

Andrey173 в сообщении #432912 писал(а):

Кажется я решил.
Пусть $Q_m$ - m-ый остаток, ($Q_0=n$).
Предположим, что $a_k=a_{k+1}$

Цитата:

Два нуля подряд идти не могут, т.к. делитель - двузначный.

Хотя и верно для 73 и не только, но аргументация неверна - очень даже могут: $\frac1{10}=0{,}10000000000... $.

Цитата:

$Q_{k+1}+73a_{k+1}=100Q_{k-1}-730a_k \to a_k=\frac{100Q_k-Q_{k+1}}{803}$
Максимальное значение $a_k=9$. Тогда максимальное значение последних двух цифр числителя правой части - 27, но максимальное значение $Q_m$=72, а 100 - 72 = 28 > 27.

Здесь лучше бы без шарад:
$Q_{k+1}+73a_{k+1}=100Q_{k-1}-730a_k\Rightarrow 100 | 3a_k+Q_{k+1}$, что невозможно, так как $1\leqslant a_k\leqslant 9,\ 0\leqslant Q_{k+1}\leqslant 72$
А теперь попробуйте этот же метод на числах 19 и 23

[Andrey173]

bot в сообщении #433630 писал(а):

Хотя и верно для 73 и не только, но аргументация неверна - очень даже могут .

Точно, еще нужно указать, что это число 73 не содержит в разложении на простые множители двоек и пятерок, значит всегда при очередном этапе деления будет остаток, и период (0) не возможен.