2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Число n/73 в виде бесконечной дроби: нет соседних повторов
Сообщение07.04.2011, 17:47 
Аватара пользователя
Пусть n - любое целое число, удовлетворяющее неравенствам $0<n<73$. Запишем рациональное число $\frac{n}{73} $ в виде бесконечной десятичной дроби:
$\frac{n}{73}=0.a_1a_2a_3...$
Докажите, что в этой записи не содержится после запятой двух рядом стоящих одинаковых цифр.
С чего начать?

 
 
 
 
Сообщение07.04.2011, 18:24 
Можно начать с периодичности знаков дроби, потом найти период, ну а потом можно напрямую вычислить весь период и проверить, что повторов нет :roll:
М.б. можно попытаться вывести формулу для следующего десятичного знака...

 
 
 
 
Сообщение07.04.2011, 18:33 
(здесь был результат неряшливого обдумывания)

Разделите вон то подозрительное место столбиком, свяжите остатки и частные, учтите, что остатки меньше 72, а частные — не больше девяти.

 
 
 
 Re:
Сообщение07.04.2011, 18:40 
Joker_vD в сообщении #432188 писал(а):
Да элементарно. Представьте себе, как вы делите столбиком. Докажите, что если встретились две рядом стоящие одинаковые цифры в записи, то на самом деле и третья, и все последующие цифры будут теми же самыми. А это значит...
Вы уверены?
$\frac 1 {79}=0.(0126582278481)$
Есть две двойки подряд. У $\frac 1 {71}$ тоже есть повторы.
Значит, это особенность числа $73$.

 
 
 
 
Сообщение07.04.2011, 18:43 
Аватара пользователя
Да я пробовал поставить туда, какое -нибудь другое простое число, повторы были.
Спасибо, буду пробовать)
Joker_vD в сообщении #432188 писал(а):
что остатки меньше 72

Меньше или равны 72? Например для n=51.

 
 
 
 
Сообщение08.04.2011, 04:48 
Аватара пользователя
было

venco в сообщении #432190 писал(а):
Значит, это особенность числа 73

Если это назвать особенностью, то она не исключительная. Даже среди тех простых, для которых 10 примитивный корень, должны быть - для них достаточно только саму дробь без всяких кратных проверить. Проверил первую сотню - таких 3 штуки: 7, 19 и 23.

(Оффтоп)

Удивительная вещь - и ТС тот же.

 
 
 
 
Сообщение08.04.2011, 15:20 
Аватара пользователя
О, точно я делал уже такую тему) Просто я запостил в олимпиадные задачи тогда, никто не ответил и я подумал, что она слишком легкая, благополучно забыв про нее. Прошу прощения.
bot
а нету элементарного решения?

 
 
 
 
Сообщение08.04.2011, 18:37 
Аватара пользователя
Можно попробовать адаптировать это. Ключевое утверждение переформулировать легко:
Остатки от деления на 73 чисел $2^m10^n, \ m\in\{0,...,7\},\ n\in\{0,...,8\}$ различны.
Остаётся придумать, как адаптировать доказательство для тех, кому влом разобраться с простым утверждением о порядках элементов в циклической группе.

 
 
 
 Re: Бесконечная дробь.
Сообщение09.04.2011, 19:14 
Аватара пользователя
Кажется я решил.
Пусть $Q_m$ - m-ый остаток, ($Q_0=n$).
Предположим, что $a_k=a_{k+1}$
Два нуля подряд идти не могут, т.к. делитель - двузначный.
Тогда:
$Q_k=10Q_{k-1}-73a_k$
$Q_{k+1}=10Q_k-73a_{k+1}$
Следовательно:
$Q_{k+1}+73a_{k+1}=100Q_{k-1}-730a_k \to a_k=\frac{100Q_k-Q_{k+1}}{803}$
Максимальное значение $a_k=9$. Тогда максимальное значение последних двух цифр числителя правой части - 27, но максимальное значение $Q_m$=72, а 100 - 72 = 28 > 27.
Противоречие.
правильно? :oops:

 
 
 
 Re: Бесконечная дробь.
Сообщение11.04.2011, 16:34 
Аватара пользователя
Верно, но требует причёсывания.
Andrey173 в сообщении #432912 писал(а):
Кажется я решил.
Пусть $Q_m$ - m-ый остаток, ($Q_0=n$).
Предположим, что $a_k=a_{k+1}$
Цитата:
Два нуля подряд идти не могут, т.к. делитель - двузначный.

Хотя и верно для 73 и не только, но аргументация неверна - очень даже могут: $\frac1{10}=0{,}10000000000... $.
Цитата:
$Q_{k+1}+73a_{k+1}=100Q_{k-1}-730a_k \to a_k=\frac{100Q_k-Q_{k+1}}{803}$
Максимальное значение $a_k=9$. Тогда максимальное значение последних двух цифр числителя правой части - 27, но максимальное значение $Q_m$=72, а 100 - 72 = 28 > 27.

Здесь лучше бы без шарад:
$Q_{k+1}+73a_{k+1}=100Q_{k-1}-730a_k\Rightarrow 100 | 3a_k+Q_{k+1}$, что невозможно, так как $1\leqslant a_k\leqslant 9,\ 0\leqslant Q_{k+1}\leqslant 72$
А теперь попробуйте этот же метод на числах 19 и 23 :twisted:

 
 
 
 Re: Бесконечная дробь.
Сообщение11.04.2011, 16:51 
Аватара пользователя
bot в сообщении #433630 писал(а):
Хотя и верно для 73 и не только, но аргументация неверна - очень даже могут .

Точно, еще нужно указать, что это число 73 не содержит в разложении на простые множители двоек и пятерок, значит всегда при очередном этапе деления будет остаток, и период (0) не возможен.

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group