Равенство в неравенстве Гёльдера

[Padawan]

Когда в неравенстве Гёльдера $\int fg\,d\mu\leqslant\left(\int |f|^p d\mu\right)^{1/p}\left(\int |g|^q d\mu\right)^{1/q}$ возможен знак равенства?

[moscwicz]

по-моему об этом пишут в учебниках

[Padawan]

Не встречал. Для Коши-Буняковского встречал, а для Гёльдера - нет.

[ИСН]

Ладно, а что пишут для К.-Б.?

[moscwicz]

Если посмотреть, что написано у Л Шварца про суммы то должно быть $|f|^p=const |g|^q$

[Padawan]

moscwicz в сообщении #385057 писал(а):

Если посмотреть, что написано у Л Шварца про суммы то должно быть $|f|^p=const |g|^q$

Точнее $\mathrm{sgn} f \ |f|^p=C\cdot\mathrm {sgn} g \ |g|^q$ почти всюду, где константа $C\geqslant 0$. Или наоборот.

[keith_]

Точно будет, когда $\frac{|f|^p }{\int\limits_E|f|^p d\mu} \sim \frac{|g|^q }{\int\limits_E|g|^q d\mu} $ и когда $f$ или $g$ эквивалентны нулю. Первое условие из того, что при этих условиях в неравенстве Юнга достигается равенство. Второе очевидно. Понятно, что первое точно включает в себя случай $f \sim cg$. А вот доказательства того, что никаких других сюрпризов в первом условии нет, я пока не нашла, но на 99,9% это так. Если считать, что нам известно условие равенства в Минковском, то можно вывести, то что предложил moscwicz.

http://www.ega-math.narod.ru/Books/IneqsA.htm
Здесь есть д-во. Действительно, сюрпризов не нашлось.