2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Равенство в неравенстве Гёльдера
Сообщение08.12.2010, 19:58 
Когда в неравенстве Гёльдера $\int fg\,d\mu\leqslant\left(\int |f|^p d\mu\right)^{1/p}\left(\int |g|^q d\mu\right)^{1/q}$ возможен знак равенства?

 
 
 
 Re: Равенство в неравенстве Гёльдера
Сообщение08.12.2010, 20:07 
по-моему об этом пишут в учебниках

 
 
 
 Re: Равенство в неравенстве Гёльдера
Сообщение08.12.2010, 21:24 
Не встречал. Для Коши-Буняковского встречал, а для Гёльдера - нет.

 
 
 
 Re: Равенство в неравенстве Гёльдера
Сообщение08.12.2010, 21:26 
Аватара пользователя
Ладно, а что пишут для К.-Б.?

 
 
 
 Re: Равенство в неравенстве Гёльдера
Сообщение08.12.2010, 21:45 
Если посмотреть, что написано у Л Шварца про суммы то должно быть $|f|^p=const |g|^q$

 
 
 
 Re: Равенство в неравенстве Гёльдера
Сообщение08.12.2010, 21:57 
moscwicz в сообщении #385057 писал(а):
Если посмотреть, что написано у Л Шварца про суммы то должно быть $|f|^p=const |g|^q$

Точнее $\mathrm{sgn} f  \ |f|^p=C\cdot\mathrm {sgn} g \ |g|^q$ почти всюду, где константа $C\geqslant 0$. Или наоборот.

 
 
 
 Re: Равенство в неравенстве Гёльдера
Сообщение09.04.2011, 23:33 
Точно будет, когда $\frac{|f|^p }{\int\limits_E|f|^p d\mu} \sim  \frac{|g|^q }{\int\limits_E|g|^q d\mu}
 $ и когда $f$ или $g$ эквивалентны нулю. Первое условие из того, что при этих условиях в неравенстве Юнга достигается равенство. Второе очевидно. Понятно, что первое точно включает в себя случай $f \sim cg$. А вот доказательства того, что никаких других сюрпризов в первом условии нет, я пока не нашла, но на 99,9% это так. Если считать, что нам известно условие равенства в Минковском, то можно вывести, то что предложил moscwicz.

http://www.ega-math.narod.ru/Books/IneqsA.htm
Здесь есть д-во. Действительно, сюрпризов не нашлось.

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group