Почему не отображают множество комплексных чисел на прямую?

[lavex]

Time в сообщении #431946 писал(а):

Сопряженное выбирается не по Вашему желанию или из принципа похожести, а из требования что бы произведение некоего гиперчисла на вполне определенное давало чисто действительную величину.

На мой взгляд, искусственное ограничение, которое может быть снято. Привычные представления, которые нужно тестировать на прочность. Мы же принимаем тот факт, что на плоскости двойной переменной возникают числа, модуль которых является в точности мнимым? Вот, считайте, что я задался целью найти таким числам аналог в комплексном случае. А его и искать не надо, он на поверхности лежит, этот аналог. Только не надо от него отмахиваться, говоря, что мы, де, что-то выбираем. Ваша мысль: математические объекты устроены намного умнее, чем наше представление о них. Вот пример: комплексная плоскость. В случае мнимых комплексных чисел в экспоненциальной форме представления геометрически получаем окружность мнимого радиуса ($i$) с гиперболическим углом (привет эллиптическому тринглу в $H_3$ ) Впрочем, пока не уверен, надо проверять...
Вы правы, что оно выбирается не по моему желанию или из принципа похожести, оно получается алгебраической процедурой, которая называется поворот Вика (если мы будем применять его не к одному вектору, а к двум - исходный и сопряжённый к нему, что на мой взгляд намного правильнее с точки зрения логики, получаются мнимые комплексные числа). Я его выписал, откуда получается сопряжённое, вполне даже видно - из исходного комплексного поворотом осей на прямой угол. Но этот вывод и то, что я написал в предыдущем сообщении ниже - геометрическая интерпретация алгебраической операции, больше ничего...

[cognize]

Skipper в сообщении #342551 писал(а):

Вопрос - почему никто не отображает множество комплексных чисел на прямую?

Я думаю, потому что нельзя естественным образом упорядочить множество комплексных чисел. В общем, не делают этого для комплексных чисел потому же, почему не делают и для $\mathbb{R}^n, n>2$.

[Kallikanzarid]

OP, потому что нас интересуют геометрические, а не теоретико-множественные свойства, не?

[Time]

lavex в сообщении #431951 писал(а):

На мой взгляд, искусственное ограничение, которое может быть снято. Привычные представления, которые нужно тестировать на прочность. Мы же принимаем тот факт, что на плоскости двойной переменной возникают числа, модуль которых является в точности мнимым? Вот, считайте, что я задался целью найти таким числам аналог в комплексном случае. А его и искать не надо, он на поверхности лежит, этот аналог.

Идея понятна и я ее разделял, когда говорил об отрезках на второй прямой для двойных чисел с мнимым модулем, таких, что бы их концы были по разную сторону от нуля. То есть, соответствующих числам, которые Вы называете мнимо-комплексными. Только я не вижу, что бы Вы эту идею реализовали. Попробуйте банально вычислить, чему равняется произведение пары Ваших мнимо-комплексно сопряженных? У меня чисто мнимой величины не получается. Слова про поворот Вика и пр. не подкреплены построением алгебры или подалгебры, в которой в соответствии с неким правилом в качестве модуля получается чистое эллиптически мнимое число. А вот при работе с бикомплексными числами должно получиться. Вероятно, можно все получить и без бикомплексности, но так, думаю, проще..

[lavex]

Time в сообщении #432014 писал(а):

Попробуйте банально вычислить, чему равняется произведение пары Ваших мнимо-комплексно сопряженных? У меня чисто мнимой величины не получается. Слова про поворот Вика и пр. не подкреплены построением алгебры или подалгебры, в которой в соответствии с неким правилом в качестве модуля получается чистое эллиптически мнимое число. А вот при работе с бикомплексными числами должно получиться.

В определённом смысле с Вами согласен. Чтобы получилось то, что я выше отметил

lavex в сообщении #431951 писал(а):

В случае мнимых комплексных чисел в экспоненциальной форме представления геометрически получаем окружность мнимого радиуса () с гиперболическим углом

следует мнимую часть мнимо-комплексного числа сделать гиперболически мнимой, "обогатить" мнимой единицей $j^2=+1$. Тогда, возможно, противоречий не останется, и это и впрямь будет подалгеброй бикомплексных чисел (два средних члена такого числа). Практически уверен, что то, что я придумал, соответствует именно таким числам. Однако, прежде чем перейти именно к ним, я бы хотел увидеть противоречия в рассмотрении мнимо-комплексных чисел без введения гиперболически мнимой единицы (хотя, скорее всего, она будет нужна). Поэтому, вынужден признаться, я не до конца Вас понял: Вы полагаете, что умножение не сохраняет мнимую норму?

[Someone]

lavex в сообщении #431787 писал(а):

А теперь можно задаться вопросом, что же получилось? Я это называю мнимым значением мнимой нормы. Нормы чего? Мнимо комплексных чисел!

lavex в сообщении #431936 писал(а):

Мнимо комплексные числа получились из преобразованного выражения для нормы комплексного числа, если "убрать" множитель $i$. Итак:
Мнимое комплексное число: $ai+b$. Сопряжённое мнимое комплексное число: $ai-b$.

Да не получилось у Вас никаких "мнимо комплексных чисел", не зря ведь известны только три двумерные ассоциативно-коммутативные алгебры с единицей над полем действительных чисел. А получилась у Вас уродская запись обычных комплексных чисел плюс куча придуманных Вами формул, также местами весьма уродских.

[Time]

Someone в сообщении #432093 писал(а):

Да не получилось у Вас никаких "мнимо комплексных чисел", не зря ведь известны только три двумерные ассоциативно-коммутативные алгебры с единицей над полем действительных чисел. А получилась у Вас уродская запись обычных комплексных чисел плюс куча придуманных Вами формул, также местами весьма уродских.

Не стОит так кипятиться. Красота и уродство понятия субъективные. Да, у lavex пока ничего ему желаемого не получилось. Но шанс остается, хотя бы потому, что утверждения об ограниченности двумерных коммутативно-ассоциативных алгебр только тремя вариантами касаются алгебр с единицей (можно, и даже нужно, попробовать без нее), а так же двумерных. Я не даром ему предлагаю повозиться с четырехмерной коммутативно-ассоциативной алгеброй бикомплексных чисел и их представлением в виде отрезков. Совсем не исключено, что среди множества этих чисел есть примерно те, что хочет видеть lavex. Если среди этих чисел есть такие, что могут изображаться отрезками с концами по разные стороны от нуля на мнимой оси комплексной плоскости, то не все потеряно.

А поставить крест на любых нестандартных попытках - дело не хитрое, однако ж, и не конструктивное.

-- Чт апр 07, 2011 19:21:08 --

lavex в сообщении #432039 писал(а):

Поэтому, вынужден признаться, я не до конца Вас понял: Вы полагаете, что умножение не сохраняет мнимую норму?

Я полагаю, что необходимо от комплексных и двойных чисел переходить к бикомплексным с им соответствующей финслеровой геометрией, связанной с метрической функцией, зависящей от четвертых степеней компонент. Просто в комплексных и двойных числах ловит нечего. Тут до Вас уже все перекопано.. А вот в бикомплексной алгебре, итем более в ее расширениях на h-голоморфные и их обобщающие функции - нет.

[Someone]

Time в сообщении #432176 писал(а):

Не стОит так кипятиться. Красота и уродство понятия субъективные.

Я не кипячусь. Я некоторое время развлекался, наблюдая ваш диалог, потом наскучило. Если простую алгебраическую запись комплексного числа и его модуля заменить более сложными выражениями и напридумывать ещё всяких усложнений, то ничего красивого получиться не может. А указать человеку, что он дурью мается, должно быть полезно для него, если он, конечно, вменяемый. Тогда он переключится с заведомо бессмысленного направления на какое-нибудь другое, возможно, полезное. А если невменяемый, то такие замечания, конечно, бесполезны.

Time в сообщении #432176 писал(а):

Но шанс остается, хотя бы потому, что утверждения об ограниченности двумерных коммутативно-ассоциативных алгебр только тремя вариантами касаются алгебр с единицей (можно, и даже нужно, попробовать без нее), а так же двумерных.

Шанс на что? На изобретение новой двумерной алгебры над полем действительных чисел? Я, честно говоря, не в курсе, какие тут есть классификационные теоремы. А кому и зачем нужна такая искусственно выдуманная алгебра, не возникающая естественно?

[lavex]

Someone в сообщении #432093 писал(а):

Да не получилось у Вас никаких "мнимо комплексных чисел", не зря ведь известны только три двумерные ассоциативно-коммутативные алгебры с единицей над полем действительных чисел. А получилась у Вас уродская запись обычных комплексных чисел плюс куча придуманных Вами формул, также местами весьма уродских.

Я готов выслушать любую конструктивную критику, но без обзывательств. Что было в моих формулах "уродского", можете указать? Скажите, Вы согласны, что если оба числа, комплексное и сопряжённое к нему, умножить на мнимую единицу, получается именно числа такого вида, что я выписывал и Вы процитировали? И что минус оказывается там, где он оказывется, а не там, где Вам хочется, чтобы он был?
Я же ещё не утверждал, что получил алгебру. И согласен это считать мнимым представлением комплексных чисел. Но представлением правомочным, поскольку они получены правомочной алгебраической операцией. Вы же не со мной спорите, а с результатом операции "умножение на мнимую единицу".
Что касается мнимых векторов, кто вообще сказал, что умножении двух векторов мнимой длины получается вектор с мнимой длиной? Специально проверил на произвольной паре двойных чисел из множества векторов с мнимой нормой: их умножение даёт вектор вещественной длины. Это, на мой взгляд, говорит о том, что с таким фактом, как вектора с мнимой длиной, надо аккуратно разбираться, а не говорить о том, что они "уродские". У них есть непривычные и возможно кому-то не очень приятные свойства. Но они есть. И запись комплексных чисел такая, чтобы она давала мнимые значения длин, тоже есть. Кстати, тот факт, что пара двойных векторов мнимой длины может дать вещественный свидетельствует о повороте его вдоль мнимой окружности на гиперболический (мнимый элиптический) угол (это предположение, а не утверждение).

Someone в сообщении #432176 писал(а):

Шанс на что? На изобретение новой двумерной алгебры над полем действительных чисел? Я, честно говоря, не в курсе, какие тут есть классификационные теоремы.

О том и речь, что "не в курсе". Идёт поиск, результатом которого может стать симметричное представление двойных и комплексных чисел. Соответствующее мнимым двойным векторам представление комплексных чисел я представил. Если я неправ, исправьте, буду только рад, однако формулами прошу исправлять, а не ругательствами.

[Someone]

lavex в сообщении #432271 писал(а):

Скажите, Вы согласны, что если оба числа, комплексное и сопряжённое к нему, умножить на мнимую единицу, получается именно числа такого вида, что я выписывал и Вы процитировали?

Безусловно, согласен.

lavex в сообщении #432271 писал(а):

Что было в моих формулах "уродского", можете указать?

Могу. Например, то, что эта лишняя мнимая единица всё время мешается. Особо умиляет, конечно, "мнимая норма" $i\sqrt{-(a^2+b^2)}$, которая двузначна и имеет действительные значения $\pm\sqrt{a^2+b^2}$.

lavex в сообщении #431787 писал(а):

А теперь аналогично вычислим разность:
$r_1-r_2=\sqrt{(i^2a)^2-(ib)^2}=\sqrt{(i^2a+ib)(i^2a-ib)}=i\sqrt{(ia+b)(ia-b)}$
А теперь можно задаться вопросом, что же получилось? Я это называю мнимым значением мнимой нормы. Нормы чего? Мнимо комплексных чисел!

И совершенно непонятно, что новое Вы получили по сравнению с обычной записью комплексных чисел. Ясно, что не новую алгебру, это та же самая алгебра комплексных чисел в усложнённой записи.

lavex в сообщении #432271 писал(а):

Идёт поиск, результатом которого может стать симметричное представление двойных и комплексных чисел. Соответствующее мнимым двойным векторам представление комплексных чисел я представил. Если я неправ, исправьте, буду только рад, однако формулами прошу исправлять, а не ругательствами.

Мне не интересно решать за Вас задачу, которую Вы не можете внятно сформулировать.

[lavex]

Someone в сообщении #432291 писал(а):

И совершенно непонятно, что новое Вы получили по сравнению с обычной записью комплексных чисел. Ясно, что не новую алгебру, это та же самая алгебра комплексных чисел в усложнённой записи.

А тут я с Вами совершенно согласен. То, что Вы сейчас выписали, это действительно та же самая комплексная норма. Я просто показал, как преобразованием одного уравнения можно усложнить запись, а в этой усложнённой записи найти новое выражение (пусть будет мнимым представлением комплексных чисел). Оно получается, если "отбросить" мнимую единицу. Эквилибристика. Однако, когда я рассмотрел, что же там под корнем осталось, был немало удивлён, особенно, когда понял, что такие числа (или числа в такой записи, которая под корнем) получаются умножением на мнимую единицу обычного комплексного и сопряжённого к нему числа. Ведь связь-то осталась! Мы, как я полагаю, не можем один вектор повернуть, а сопряжённый "на произвол судьбы бросить". А дальше можно исследовать свойства именно так преобразованной пары. Эта пара теперь при их перемножении даёт мнимое значение нормы. Вот этот факт и стоило бы рассмотреть внимательнее, поскольку раньше, насколько я могу судить, на него внимания особого не обращали.

Someone в сообщении #432291 писал(а):

Мне не интересно решать за Вас задачу, которую Вы не можете внятно сформулировать.

Помилуйте, я и не прошу Вас решать задачу ЗА меня. Полезны Ваши критические замечания, они помогают лучше понимать как свои возможные ошибки, так и природу математических объектов.

[Time]

Someone в сообщении #432269 писал(а):

Если простую алгебраическую запись комплексного числа и его модуля заменить более сложными выражениями и напридумывать ещё всяких усложнений, то ничего красивого получиться не может

Не знаю как lavex, а меня интересовала совсем не запись и геометрическая интерпретация комплексного числа, и даже не двойного, а бикомплексного. Думаю, в отношении этих чисел Вы вряд ли можете столь же уверенно заявить о невозможности появления чего-то красивого и содержательного, хотя бы потому, что судя по Вашему отношению к финслеровой геометрии Вам не знакома их "обычная" интерпретация как точек и векторов четырехмерного линейного финслерова пространства. И тут никакие усложнения априори нельзя считать лишними.

Someone в сообщении #432269 писал(а):

Шанс на что? На изобретение новой двумерной алгебры над полем действительных чисел? Я, честно говоря, не в курсе, какие тут есть классификационные теоремы. А кому и зачем нужна такая искусственно выдуманная алгебра, не возникающая естественно?

Повторю еще раз. Речь не об изобретении новой двумерной алгебры. Обсуждаемые вопросы навеяны попытками введения второй (дополнительной к финслеровской) интерпретации бикомплексных чисел. Уже не финслеровской, а вполне евклидовой и в качестве отрезков в пространстве размерности вдвое меньшей, чем число компонент у числа. Эта алгебра четырехкомпонентна и изучена она крайне мало. Взять хотя бы вопрос количества и качества базовых инвариантов. Естественно, не в самой алгебре бикомплексных чисел (она не на много сложнее алгебры комплексных чисел устроена), а в обобщениях на нее аналитических функций и соответствующих им конформных и более сложных метрически выделенных преобразований.
На счет "искусственности и выдуманности" - могу лишь напомнить историю со становлением естественности восприятия самих комплексных чисел, а также довольно мрачную историю с процессом признания воображаемой геометрии Лобачевского. Про обе эти "придумки", в свое время, очень многие удивлялись, зачем нужны эти непонятно откуда берущиеся конструкции.
Что касается моего мнения на счет нужности таких алгебр как бикомплексных, четверных, а также квадракомплексных чисел, то считаю именно их (вернее, ассоциируемую с ними геометрию) непосредственно связанной с нашим реальным пространством-временем. Последнее просто на современном этапе согласились описывать псевдоевклидовой или псевдоримановой геометрией, но следующий этап, думаю, окажется связан с метриками представляемыми в виде форм с четвертыми степенями от компонент. Так что, математикам было бы вполне естественно заранее побеспокоиться о физиках и подготовить для них соответствующую теоретическую базу. В конце концов, так почти всегда происходило в прошлом.. Было бы странно, если б на этот раз оказалось наоборот..

-- Сб апр 09, 2011 22:56:15 --

lavex в сообщении #432309 писал(а):

Помилуйте, я и не прошу Вас решать задачу ЗА меня. Полезны Ваши критические замечания, они помогают лучше понимать как свои возможные ошибки, так и природу математических объектов.

Если уж на то пошло, то это "моя" задача. Но решить ее я предлагаю именно Вам, lavex. Только не в виде изобретения новой мнимо-комплексной алгебры или новых мнимо-двойных чисел. Попробуйте начать с бикомплексных чисел. Если разберетесь с ними, с двухкомпонентными алгебрами все встанет на места само собой.

[lavex]

Time в сообщении #432987 писал(а):

Если уж на то пошло, то это "моя" задача. Но решить ее я предлагаю именно Вам, lavex. Только не в виде изобретения новой мнимо-комплексной алгебры или новых мнимо-двойных чисел. Попробуйте начать с бикомплексных чисел. Если разберетесь с ними, с двухкомпонентными алгебрами все встанет на места само собой.

На самом деле, я не считаю целесообразным отмахиваться от того варианта комплексных чисел, который предложен. Ещё раз: поворот Вика, применённый (что называется, both) к комплексному числу и сопряжённому к нему, меняет топологию (?) комплексной плоскости! То же самое, что и в случае поворота Вика на двойных числах: умножение на $j$ переводит область с мнимой нормой (пространственноподобную) в область с вещественной нормой (времениподобную) и, соответственно, наоборот. Точно так же происходит и в данном случае! Только здесь вся плоскость (а не половина, в виде конуса, исключая вмсете с $[0]$ делители нуля, как на плоскости двойной переменной) с вещественной нормой, исключая точку $[0]$ переходит полностью в плоскость с мнимой нормой! Сложение эту норму сохраняет, умножение - нет. Выше было совершенно справедливо сказано о существовании исключительно трёх алгебр с единицей. Так преобразованную комплексную плоскость можно считать "алгеброй" с мнимой единицей! Точно в таком же смысле - действительная ось соответствует теперь не вещественной, а мнимой единице.
За поставленную задачу взяться готов, однако прошу Вас дать ссылки на соответствующую литературу (можно и на английском) или хотя бы выписать число, сопряжённое к нему и модуль, только не в экспоненциальном представлении, как Вы уже выше сделали, а в четырёхкомпонентном. Тогда многое станет более понятным... Пока же, как мне представляется, даже комплексную плоскость не изучили до конца. (Никак не могу понять, никому что ли в голову до меня не приходило согласованно "вращать" два вектора на комплексной плоскости - исходный и сопряжённый?! )

[Time]

lavex в сообщении #433041 писал(а):

Никак не могу понять, никому что ли в голову до меня не приходило согласованно "вращать" два вектора на комплексной плоскости - исходный и сопряжённый?!

Думаю, что приходило. Само по себе построение двухкомпонентной алгебры без вещественной единицы - дело совершенно обычное, а главное, ни к чему принципиально отличному от известного не приводит (если еще такое осуществимо). Могу Вас заверить, что найти нечто принципиально новое, где математики бы не потоптались, практически невероятно, особенно неспециалисту. Так что, еще раз советую переключиться на бикомплексные числа. Хотя и тут очень много народа поработало, но мало кто смотрел сквозь призму соответствующей им финслеровой геометрии, и совсем практически никто не использовал при этом обобщение аксиом скалярного произведения и расширение списка метрических инвариантов с длин и углов, на полиуглы. Что бы Вы на таком пути интересного не обнаружили, практически гарантированно, что это будет впервые (ну, за исключением относительно небольшого числа свойств, что уже поняты и описаны).
Для начала работы с бикомплексными числами
$C_2=x+iy+Iz+iIw$
вполне достаточно задания закона умножения базисных единиц, например, в "ортонормированном" базисе:
$i^2=-1; I^2=+1; (iI)^2=-1; iI=Ii.$
Вместо комплекса $(iI)$ можно использовать третий символ, например, $k$ и положить $k^2=-1$, но из-за коммутативности умножения можно третьей мнимой единицы и не вводить.
Литературы по бикомплесным числам довольно много, включая и известную Вам книгу Гарасько "Начала финслеровой геометрии для физиков", но я бы не спешил в нее лезть. Алгебра довольно проста и Вы бы ее лучше прочувствовали, если б практически с нуля начали изучать без внешней информации. Заодно бы себя проверили, на сколько к соответствующей деятельности приспособлены..

[lavex]

Time в сообщении #433084 писал(а):

Думаю, что приходило. Само по себе построение двухкомпонентной алгебры без вещественной единицы - дело совершенно обычное, а главное, ни к чему принципиально отличному от известного не приводит (если еще такое осуществимо). Могу Вас заверить, что найти нечто принципиально новое, где математики бы не потоптались, практически невероятно, особенно неспециалисту.

Тем не менее, если такое представление комплексных чисел известно и кем-либо рассматривалось, хотел бы попросить всех участников по возможности дать ссылки. Правда, весьма любопытно, как данный факт трактуют...

Time в сообщении #433084 писал(а):

Хотя и тут очень много народа поработало, но мало кто смотрел сквозь призму соответствующей им финслеровой геометрии, и совсем практически никто не использовал при этом обобщение аксиом скалярного произведения и расширение списка метрических инвариантов с длин и углов, на полиуглы. Что бы Вы на таком пути интересного не обнаружили, практически гарантированно, что это будет впервые (ну, за исключением относительно небольшого числа свойств, что уже поняты и описаны).

А вот это, на мой взгляд, не так пока в данном случае актуально, как попытка интерпретировать такие числа на плоскости как связанные вектора. Именно с этой инерпретацией хотелось бы повозиться в первую очередь... Чтобы в перспективе и комплексифицированное пространство $H_4$ иметь возможность трактовать через четырёхмерие...