Почему не отображают множество комплексных чисел на прямую?

[Time]

Для Someone

Во фразе:

Time в сообщении #430960 писал(а):

Случай отрицательного дискриминанта тут единственный и возникает лишь для числа $0+i0$, которому соответствует вырожденный в точку $0$ отрезок.

присутствует описка. Правильно было бы: Случай равенства нулю дискриминанта тут единственный и возникает лишь для числа $0+i0$, которому соответствует вырожденный в точку $0$ отрезок.

[Someone]

Time в сообщении #430960 писал(а):

Someone в сообщении #430845 писал(а):

А Вы напишите явные формулы, позволяющие по заданному комплексному ($a+ib$) или двойному ($a+Ib$) числу однозначно определить соответствующий отрезок. Столь же аккуратно, как я написал формулы для вычисления квадратных корней. А то Вы ограничиваетесь какими-то неясными намёками. Тогда и поговорим подробнее.

Извиняюсь, я думал, что это с очевидностью следует из предыдущих формул.

Не следует. Более того, даже после Ваших разъяснений я вынужден просить всё-таки написать явные формулы, выражающие отрезки через числа и наоборот. Почему Вы не хотите это сделать? Если у Вас проблемы с написанием формул, разберите, как написаны формулы в моём сообщении. Этого должно хватить.

Someone в сообщении #430736 писал(а):

$$(a+bi)^{\frac 12}=\begin{cases}\pm\sqrt{a}\text{, если }b=0,\ a\geqslant 0,\\ \pm\sqrt{-a}i\text{, если }b=0,\ a<0,\\ \pm\left(\frac b{|b|}\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}2}+i\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}2}\right)\text{, если }b\neq 0.\end{cases}$$

Someone в сообщении #430736 писал(а):

$$(a+bI)^{\frac 12}=\begin{cases}\pm\sqrt{a}\text{ или }\pm\sqrt{a}I\text{, если }b=0,\ a\geqslant 0,}\\ \pm\left(\frac b{|b|}\sqrt{\frac{a\pm\sqrt{a^2-b^2}}2}+I\sqrt{\frac{a\mp\sqrt{a^2-b^2}}2}\right)\text{ если }b\neq 0,\ a\geqslant|b|\end{cases}$$

$$(a+bi)^{\frac 12}=\begin{cases}\pm\sqrt{a}\text{, если }b=0,\ a\geqslant 0,\\ \pm\sqrt{-a}i\text{, если }b=0,\ a<0,\\ \pm\left(\frac b{|b|}\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}+a}2}+i\sqrt{\frac{\sqrt{a^2+b^2}-a}2}\right)\text{, если }b\neq 0.\end{cases}$$

$$(a+bI)^{\frac 12}=\begin{cases}\pm\sqrt{a}\text{ или }\pm\sqrt{a}I\text{, если }b=0,\ a\geqslant 0,}\\ \pm\left(\frac b{|b|}\sqrt{\frac{a\pm\sqrt{a^2-b^2}}2}+I\sqrt{\frac{a\mp\sqrt{a^2-b^2}}2}\right)\text{ если }b\neq 0,\ a\geqslant|b|\end{cases}$$

Time в сообщении #430960 писал(а):

Выше были приведены формулы для переходов от координат отрезка на прямой $r_1$ и $r_2$ к координатам $a$ и $b$ комплексного или двойного числа. На всякий случай повторю в несколько иной форме, которая, надеюсь, снимет остающиеся вопросы при понимании.

Не сняло. Недогадливый я, и телепатическими способностями не обладаю.

Time в сообщении #430960 писал(а):

Если координаты некоторого отрезка $r_1$ и $r_2$ одновременно больше или меньше нуля, то ему соответствует двойное число $h_2=a+Ib$ с компонентами, вычисляемыми по правилу:
$a=r_1+r_2$
$b=2\sqrt{r_1r_2}$

Сразу вопрос: что делать, если $b<0$?

Time в сообщении #430960 писал(а):

Если же один конец отрезка находится в области положительных чисел прямой, например, $r_1>0$, а второй в области отрицательных значений $r_2<0$, то таким отрезкам соответствуют уже не двойные, а комплексные числа $a+ib$ с компонентами вычисляемыми, по сути, по тому же правилу, но с учетом, что $r_2$ имеет отрицательное значение:
$a=r_1+r_2=r_1-|r_2|$
$b=2\sqrt{r_1r_2}=2i\sqrt{r_1|r_2|}$

Последнее выражение противоречит определению $b$ в выражении $a+bi$.

Time в сообщении #430960 писал(а):

Можно указать простые правила переходов и в обратную сторону.

Вот и напишите их в явном виде, подробно перечислив все возможные случаи и написав явные формулы, без всяких квадратных уравнений. Про квадратные уравнения я и сам знаю. Иначе откуда бы я взял процитированные выше формулы для квадратных корней?

Time в сообщении #430960 писал(а):

Если этот дискриминант отрицательный, то направленность отрезков принимается противоположной, а значения $r_1$ и $r_2$ вычисляются уже из уравнения:
$r^2-br+a^2/4=0$,
имеющего уже положительный дискриминант.

Странное уравнение.

[В.О.]

Time в сообщении #431371 писал(а):

Ну, что ж, покажите как это "будет" реализуется для пары отрезков:

Time, Вы задаете странный вопрос. Равенство длинны отрезка и модуля вектора в отображении Эйлера совершенно очевидно. Там есть некий корень из суммы квадратов координат. Оно специально так и записано, чтобы длинна отрезка равнялась модулю числа.
А вот Ваше отображение комплексных чисел на отрезки длинны не сохраняет, вопреки Вашим заверениям. Решите же, наконец, Ваше квадратное уравнение. Вас все просят. И вычислите $ r_1 - r_2 $.

[lavex]

Похоже, пока что вынужден буду согласиться с

В.О. в сообщении #431575 писал(а):

Ваше отображение комплексных чисел на отрезки длинны не сохраняет

Только что решил поставленную задачу:

В.О. в сообщении #431575 писал(а):

И вычислите

И модуля правда не возникает... Впрочем, может и ошибся где... Судите сами
$r_{1,2} = \frac{a \pm \sqrt{{(-a)}^2-{b}^2}}{2 }}$
Откуда выражение для разности, если за $r_1$ принять корень со знаком $+$, и, соотвественно, другой - за $r_2$ будет таким:
$r_1-r_2=a\sqrt{{(-a)}^2-{b}^2}}=\sqrt{{a}^4-{a}^2{b}^2}}$
Для бикомплексных чисел такое выражение под корнем и вправду появится как часть числа, для комплексных и двойных - нет... Сложение же и вовсе даст $a$...

[В.О.]

lavex в сообщении #431612 писал(а):

может и ошибся где

Ошиблись немножко. Не без того.

[lavex]

В.О. в сообщении #431630 писал(а):

Ошиблись немножко. Не без того.

На всякий случай, поясню - я решал уравнение (**) в сообщении Time. Если я неправ, просьба указать ошибку. Буду благодарен!

[В.О.]

Проверьте подстановку в $r_1 - r_2$

[lavex]

В.О. в сообщении #431663 писал(а):

Проверьте подстановку

Виноват, вопросы снимаются, тогда Time абсолютно прав, только получается псевдоевклидова норма $\sqrt{a^2-b^2}$. Превратить её в евклидову можно, взяв вместо $b$ выражение вида $ib$ для комплексных чисел. Да и для двойных сразу нужно учитывать именно $jb$. Для симметрии. Замечательное свойство предложенных параметров $r_{1,2}$ - их сумма равна половине следа числа ($r_1+r_2=a=\frac{2a}{2}$) (или собственно следу, не знаю точного определения следа числа, нужно ли делить пополам), а разность - норме. Какой вывод из этого следует, пока не очень понятно, но сам по себе факт интересен, и говорит о естественности именно данного способа отображения комплексных и двойных чисел на вещественную прямую
Ещё одна мысль Дело в том, что случай отрицательного дискриминанта в точности соответствует для двойных чисел векторам с мнимым значением нормы. Можно этот факт обходить, как предлагает Time, переставляя в уравнении (**) $a$ и $b$ местами. А можно анализировать его именно в таком ключе, не пугаясь мнимых значений длин... В комплексном случае в выражении для дискриминанта вместо минуса будет всегда стоять плюс, и отрицательный дискриминант невозможен.

[Time]

lavex в сообщении #431684 писал(а):

Виноват, вопросы снимаются, тогда Time абсолютно прав, только получается псевдоевклидова норма $\sqrt{a^2-b^2}$.

Этот факт меня в свое время и поразил. Получалось, что длина одних отрезков на прямой (тех, у которых оба конца с одной и той же стороны от нуля) в соответствии с предлагаемой интерпретацией совпадала с модулем двойных чисел и представлялась разницей квадратов, а других (тех, у которых концы лежат по разную сторону от нуля) - с модулем комплексных и представлялась суммой квадратов. Но главное, все же, не в этом. Главное, в возможности похожей интерпретации бикомплексных чисел, причем так, что бы длина отрезка представлялась суммой четвертых степеней компонент, фигурирующих в "ортонормированном" базисе. Немного об этих числах и их "отрезочной" интерптретации я скажу чуть ниже.

lavex в сообщении #431684 писал(а):

Какой вывод из этого следует, пока не очень понятно, но сам по себе факт интересен, и говорит о естественности именно данного способа отображения комплексных и двойных чисел на вещественную прямую

Выше уже поправляли. Не правильно говорить, что имеет место отображение комплексных и двойных чисел на прямую. Имеет место отображение на множество отрезков на прямой. На счет естественности, а главное, полезности - так же остаются вопросы. Кроме того я вынужден согласиться со сделанным ниже Вами выводом о наличии у двойных чисел мнимых величин модуля и что данное обстоятельство, возможно, не правильно отражать сменой направления у соответствующего отрезка на противоположное. С этим обстоятельством надо бы поразбираться отдельно.

lavex в сообщении #431684 писал(а):

Дело в том, что случай отрицательного дискриминанта в точности соответствует для двойных чисел векторам с мнимым значением нормы. Можно этот факт обходить, как предлагает Time, переставляя в уравнении (**) $a$ и $b$ местами. А можно анализировать его именно в таком ключе, не пугаясь мнимых значений длин...

Похоже, Вы правы. Мой вариант с переменой местами $a$ и $b$ в уравнении (**) и как я его предлагал трактовать в виде смены направлений у соответствующих отрезков на противоположное к тем, у которых дискриминант получался положительным, не самый лучший. По сути, это говорит об отображении всего множества двойных чисел на отрезки находящиеся не на одной прямой, а на двух. Половина двойных чисел должна отражаться на отрезки с мнимыми длинами. Думаю, именно этого вывода мне все время и не хватало в предлагающейся "отрезочной" интерпретации и подсознательно "жало" в разных местах. То же самое, похоже, касается интерпретации бикомплексных чисел как отрезков евклидовой плоскости, впрочем, там нужно разбираться отдельно.

lavex в сообщении #431684 писал(а):

В комплексном случае в выражении для дискриминанта вместо минуса будет всегда стоять плюс, и отрицательный дискриминант невозможен.

А вот с этим выводом стОит повозиться попристальней. На прямой, где отрезки соответствующие двойным числам с отрицательным дискриминантом имеют мнимую длину, есть место и отрезкам, концы которых лежат по разную сторону от нуля и которые, по идее, должны соответствовать неким числам похожим на комплексные. Возможно, это числа вида $a+iIb$, где мнимый комплекс $iI$ имеет свойства обычной мнимой единицы $i$ так как $iI^2=-1$, но ею не является. "Насильное" введение второго множества чисел, похожих на комплексные, похоже, уравновешивает ситуацию зеркальной симметрии между комплексными и двойными числами, о которой я всегда подозревал и часто использовал. В частности, рассмотрение этого второго множества, может ответить на вопрос, есть ли у комплексных чисел аналог выделенного изотропного базиса имеющегося у двойных чисел, или нет? А если есть, то как его понимать и какие множества чисел он собой разделяет? Похоже, что такой базис все же есть (только он, если так уместно выразиться, мнимый), и разделяет он собой два множества чисел имеющих эллиптически комплексные свойства. Таким образом появляются достаточно веские основания от обычных комплексных и обычных двойных чисел перейти к так называемым бикомплексным числам, о которых уже несколько раз упоминалось выше. Именно тут самым естественным образом появляются два (!) множества эллиптически комплексных чисел.
В базисе, являющимся финслеровым аналогом ортонормированного, бикомплексные числа представляются в виде:
$C_2=a+ib+Ic+iId=(a+ib)+I(c+id)$
Уверен, что если и есть где ответы на вопросы возникшие по поводу "отрезочной" интерпретации комплексных и двойных чисел, то именно здесь. Собственно, и сама эта интерпретация возникла из попыток рассмотрения этих бикомплексных чисел как отрезков на евклидовой плоскости. Напомню об этом на примере бикомплексного числа в "полуполярной" форме представления:
$C_2=(\sqrt{r_1}e^{i(\psi_1/2)}+I\sqrt{r_2}e^{i(\psi_2/2)})^2$
Для такой формы представления бикомплексное число можно рассматривать как отрезок на евклидовой плоскости, связываемой с комплексной, на которой две точки с полярными координатами:
$(r_1,\psi_1)$ и $(r_2,\psi_2)$
задают концы соответствующего отрезка.
Правда теперь, после прихода к мысли, что в случае двойных и комплексных чисел имеется не одна, а две прямые с отрезками, я не удивлюсь, что и тут плоскостей две, а то и более.
Что удивительно, интерпретация двойных чисел в виде отрезков евклидовой плоскости содержит еще одно замечательное обстоятельство. Она имеет очень красивую связь с экспоненциальной формой представления бикомплексных чисел вида:
$C_2=Re^{(iA+IB+iIC)}$
Причем если R имеет геометрический смысл евклидовой длины отрезка между точками с координатами $(r_1,\psi_1)$ и $(r_2,\psi_2)$, то эллиптические аргументы $A$ и $C$ имеют смысл евклидовых углов, характеризующих положение и направление отрезка на плоскости, а гиперболический аргумент $C$ задает удаленность отрезка от начала координат. Все очень естественно и лаконично. Не думаю, что подобные чудеса случайны. Как минимум, в этом что-то есть, тем более, что в отличии от комплексных и двойных чисел, бикомплексные мало кто изучал, а соответствующую интерпретацию вообще никто не рассматривал. Попробуете сами найти соответствующие связи между $A, B, C$ и $(r_1,\psi_1)$, $(r_2,\psi_2)$? Уверен, получите массу удовольствия, хотя попотеть придется. Но главное, в отличие от пути созерцания готовых выкладок, такая работа позволит Вам продвинуться существенно дальше, чем в свое время удалось мне. Думаю, тут имеется еще много чего, что следовало бы раскопать..

[В.О.]

Time в сообщении #431371 писал(а):

в "моем" варианте главным достоинством, как я полагаю (и говорил об этом), является не просто иное представление комплексных чисел с геометрической интерпретацией в виде отрезков прямой

Позвольте подвести итог:
1) комплексные числа таким способом интерпретировать нельзя.
2)Если есть желание сохранить псевдоевклидову норму, то это можно сделать Эйлеровским способом, только вместо + под корнем поставить - .
3) Отобразить комплексные, двойные и любые другие числа в множество отрезков с сохранением длинны можно бесконечным числом способов. Прежде чем увлекаться одним из них хорошо бы ответить на вопрос, чем он лучше других.
Но если это дело вкуса, то о вкусах, конечно, не спорят.

[Time]

В.О. в сообщении #431575 писал(а):

Time, Вы задаете странный вопрос. Равенство длинны отрезка и модуля вектора в отображении Эйлера совершенно очевидно. Там есть некий корень из суммы квадратов координат. Оно специально так и записано, чтобы длинна отрезка равнялась модулю числа.

Я исходил из, похоже, нелогичной версии о возможности рассматривать произвольный порядок в расстановке концов отрезка, как [r_1,r_2], так и [r_2,r_1]. Поскольку теперь я увидел ошибочность такой гипотезы, претензии к Вашему выражению для связи корня из суммы квадратов компонент в ортонормированном базисе и длины отрезка на прямой - снимается. Остается вопрос в отношении аналогичного изображения в виде отрезков на прямой двойных чисел.. Надеюсь, этот вопрос не звучит странно? И после снятия мною замечания к Вам по поводу длины, Вы отреагируете уже на этот момент.

-- Ср апр 06, 2011 09:17:52 --

В.О. в сообщении #431709 писал(а):

Позвольте подвести итог:
1) комплексные числа таким способом интерпретировать нельзя.
2)Если есть желание сохранить псевдоевклидову норму, то это можно сделать Эйлеровским способом, только вместо + под корнем поставить - .
3) Отобразить комплексные, двойные и любые другие числа в множество отрезков с сохранением длинны можно бесконечным числом способов. Прежде чем увлекаться одним из них хорошо бы ответить на вопрос, чем он лучше других.

1) Согласен, что нельзя менять порядок начал и концов отрезков на противоположный и что прямая с отрезками одна. Не согласен (пока?), что мое предложение по интерпретации комплексных и двойных чисел в виде отрезков не допускает такой правки, что бы стать приемлемой без отказа от самой идеи.

2) В этом случае у Вас будут неотличимы отрезки, которым соответствуют, и комплексные, и двойные числа.

3) Ответ в возможности использовать эту интерпретацию как для комплексных, так и для двойных чисел без многозначности, а главное - в естественном ее расширении на аналогичную интерпретацию бикомплексных чисел.

-- Ср апр 06, 2011 09:26:48 --

Someone в сообщении #431413 писал(а):

Не следует. Более того, даже после Ваших разъяснений я вынужден просить всё-таки написать явные формулы, выражающие отрезки через числа и наоборот. Почему Вы не хотите это сделать? Если у Вас проблемы с написанием формул, разберите, как написаны формулы в моём сообщении. Этого должно хватить.

lavex чуть ниже Вашего поста уже выписал. Свою ошибку я увидал. За что разрешите всем участникам разговора выразить искреннюю признательность. Одной прямой с отрезками, похоже, не обойтись. Возможный путь убрать противоречия вижу в более тщательном разборе ситуации с аналогичной интерпретацией бикомплексных чисел. При этом вполне допускаю бесперспективность и этой затеи. Но если она все же выгорит, то должна все расставить по местам и для комплексных с двойными числами представляемыми в виде отрезков на прямой (вернее, прямых).

[lavex]

Time в сообщении #431705 писал(а):

Половина двойных чисел должна отражаться на отрезки с мнимыми длинами.

Вы знаете, похоже все комплексные (или мнимо комплексные) числа должны отражаться на отрезки с мнимыми длинами. Поиграем немного. Следите, что называется, за руками
Возьмём уравнение (**), но перепишем его эквивалентным (возможно, не совсем строго) образом для комплексных чисел, а именно:
$r^2+i^2ar+\frac{(ib)^2}{4}=0$
Затем решим его, аналогично:
$r_{1,2}=\frac{-(i^2a) \pm \sqrt{(i^2a)^2-(ib)^2}}{2}$
А теперь аналогично вычислим разность:
$r_1-r_2=\sqrt{(i^2a)^2-(ib)^2}=\sqrt{(i^2a+ib)(i^2a-ib)}=i\sqrt{(ia+b)(ia-b)}$
А теперь можно задаться вопросом, что же получилось? Я это называю мнимым значением мнимой нормы. Нормы чего? Мнимо комплексных чисел! Название проистекает из того, что если умножить комплексное число и, что самое главное, сопряжённое к нему на $i$, тогда получим именно такие числа! Само комплексное число перейдёт в сопряжённое мнимо комплексное, а сопряжённое - в собственно мнимо комплексное число. Это, на мой взгляд, правильная алгебраическая интерпретация поворота Вика.
Чем такие числа примечательны? Тем, что их норма всегда мнимая. Таким образом, такую норму я называю, чтобы подчеркнуть соответствие, действительным значением мнимой нормы. А то, во что у меня оказалась преобразована обычная комплексная норма - мнимым значением мнимой нормы, которое тождественно равно действительной норме комплексных чисел.
Но! Все вектора комплексной плоскости имеют как действительную (в комплексном представлении), так и мнимую (в мнимо комплексном представлении) норму. Просто мы меняем точку зрения на комплексную плоскость, вектор ${i}$ называя действительным, а вектор ${1} $ - мнимым. В таком представлении числа ($ia+b$) все вектора на комплексной плоскости будут иметь мнимую длину!
А теперь, имея это ввиду, можно вернуться к вопросу о симметрии представления двойных и комплексных чисел на множестве отрезков прямой, да и на плоскости тоже...
Кроме того, весьма интересен вопрос реинтерпретации всего анализа на комплексной плоскости, как на плоскости мнимо комплексных чисел...

[Time]

Может попробуете тоже самое сказать в терминах бикомплексных чисел? Не знаю как другие, а я не понял, что такое в Вашем изложении мнимые комплексные числа. По бикомплексным есть хоть какие-то работы с описанием свойств, а "Ваши" мнимо-комплексные числа пока остаются вещью в себе.

[lavex]

Time в сообщении #431927 писал(а):

Не знаю как другие, а я не понял, что такое в Вашем изложении мнимые комплексные числа. По бикомплексным есть хоть какие-то работы с описанием свойств, а "Ваши" мнимо-комплексные числа пока остаются вещью в себе.

Охотно готов пояснить. Мнимо комплексные числа получились из преобразованного выражения для нормы комплексного числа, если "убрать" множитель $i$. Итак:
Мнимое комплексное число: $ai+b$. Сопряжённое мнимое комплексное число: $ai-b$. Норма:
$|ai+b|=\sqrt{(ai+b)(ai-b)}=\sqrt{(ai)^2-b^2}=\sqrt{-a^2-b^2}=\sqrt{(-1)(a^2+b^2)}=i\sqrt{a^2+b^2}$
Собственно эту норму я и назвал в предыдущем сообщении "действительным значением мнимой нормы", т. к. нет множителя $i$ перед корнем $\sqrt{-a^2-b^2}$. А обычная действительная норма комплексного числа, таким образом, оказывается "мнимым значением мнимой нормы" или дважды мнимой нормой, если смотреть со стороны мнимых комплексных чисел.
Получение таких чисел поворотом Вика:
$i(a-bi)=ai+b$ - сопряжённое комплексное число становится мнимым комплексным числом;
$i(a+bi)=ai-b$ - собственно комплексное число становится сопряжённым мнимым комплексным числом.
Совершив этот поворот, мы поменяли точку зрения на оси координат на комплексной плоскости: вектор $i$ стал "действительным", а вектор $1$ стал "мнимым". Мы "остались в той же точке", повернув координатные оси или, наоборот, мы "переназначили" оси, и, таким образом, вещественная часть числа оказалась "мнимой", а мнимая - "вещественной".
Но, поскольку величины интервалов поменялись кардинально - стали мнимымыми, мы не можем говорить о существовании одной комплексной плоскости, их две: первая - привычная для всех, вторая индуцируется мнимыми коомплексными числами. Если их изображать, они кажутся одной и той же, однако правильнее, на мой взгляд, говорить о точке ветвления в нуле - она принадлежит обеим плоскостям. По одной ветви идут все, о существовании второй, насколько я могу предполагать, до сегодняшнего дня мало кто подозревал, а может, и вовсе никто... Если об этом где-то уже упоминалось, буду очень благодарен за ссылки.

-- Чт апр 07, 2011 00:11:43 --

Time в сообщении #431927 писал(а):

Может попробуете тоже самое сказать в терминах бикомплексных чисел?

Попробую, только, может быть, завтра. Тут думать надо, как из бикомплексных чисел получить мнимую норму, вид которой приведён выше... А на комплексной плоскости наоборот, такие числа получить легко: общепринято называть сопряжённым вектором, вектор, отражённый от действительной оси. А мнимые комплексные числа получаются, если мы комплексный вектор "отразим" от мнимой оси. То есть уже отмечавшаяся Вами анизотропия комплексной плоскости как раз в этом и проявляется. Одно "отражение" числа соответствует алгебре комплексных чисел, если же мы вектор, который задаёт коплексное число, отразим от мнимой оси, получим алгебру (?) мнимых комплексных чисел. То есть эти две оси - действительная и мнимая - и вправду неравноправны... Взяв "базой" мнимую ось, получаем совершенно другую (из-за мнимого значения нормы) алгебру. Впрочем, на строгости данного вывода (что алгебра другая) я не настаиваю, пусть специалисты рассудят...

[Time]

Нет, так не пойдет. Сопряженное выбирается не по Вашему желанию или из принципа похожести, а из требования что бы произведение некоего гиперчисла на вполне определенное давало чисто действительную величину. Покажите, что в Вашем случае "сопряженного" это выполняется. Все остальное - потом..