Лемма из топологии.

[maxmatem]

Лемма.

Пусть $X$ регулярное пространство. Тогда для всякого локально конечного покрытия $\[ \Sigma = \{ U_\alpha \} _{\alpha \in {\rm A}} \] $ существует локально конечное покрытие $\[ \Gamma = \{ V_\alpha \} _{\alpha \in {\rm A}} \]$ такое, что покрытие $\[ \{ [V_\alpha ]\} _{\alpha \in {\rm A}} \]$ вписано в покрытие$ \[ \Sigma \]$.
Попытка
Я думал взять произвольную точку точку $\[ x \in U_\alpha \]$. Тогда рассмотрим множество $\[ X\backslash U_\alpha \]$ -оно замкнуто, причём $\[ x \notin X\backslash U_\alpha \]$. Воспользуемся регулярностью пространства $X$, а именно существуют дизъюнктные окрестности точки $x$ и множества $\[ X\backslash U_\alpha \]$. .......пока идеи кончились...
Попытка 2
Или воспользоваться тем, что $\[ \Sigma \]$
локально конечно. т.е взяв $\[ \forall x \in X \]$ найдётся окрестность этой точки, такая, что $\[ U_x \cap U_\alpha = \emptyset \]$
кроме конечного числа индексов $\[ \alpha _1 ,...,\alpha _k \]$. Тогда рассмотрим семейство $\[ \{ U_\alpha _1 ,...,U_{\alpha k} \} \]$ и оно локально конечно ......и опять нет идей.

[Someone]

Собственно говоря, где это Вы такую "лемму" откопали? Она неверна, и доказать её нельзя.
Контрпример. Пусть $X$ - регулярное, но не нормальное пространство, и пусть $F_1,F_2\subset X$ - два не пересекающихся замкнутых множества, не имеющих дизъюнктных окрестностей. Положим $U_1=X\setminus F_2$, $U_2=X\setminus F_1$. Покажите, что в покрытие $\{U_1,U_2\}$ нельзя вписать локально конечное открытое покрытие с замыканиями.

[maxmatem]

Someone
Я её из книжки Виро и т.д взял.
Кстати вот скажите если нам задано регулярное пространство , где в каждое открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие. Пусть $\[ \{ U_\alpha \} \]$ произвольное покрытие пр-ва X. То почему можно утверждать, что в силу регулярности X, существует покрытие $\[ \{ V_\alpha \} \]$ такое что $\[ \{ [V_\alpha ]\} \] $ вписано в $\[ \{ U_\alpha \} \]$

-- Вт апр 05, 2011 16:47:47 --

[Someone]

maxmatem в сообщении #431515 писал(а):

в каждое открытое покрытие можно вписать локально конечное покрытие

Это определение паракомпактного пространства (если вписываемое покрытие тоже открытое).

maxmatem в сообщении #431515 писал(а):

Пусть $\[ \{ U_\alpha \} \]$ произвольное покрытие пр-ва X. То почему можно утверждать, что в силу регулярности X, существует покрытие $\[ \{ V_\alpha \} \]$ такое что $\[ \{ [V_\alpha ]\} \] $ вписано в $\[ \{ U_\alpha \} \]$

Что это за ужас такой у Вас в формулах? Вы до сих пор с \TeXом не разберётесь? Поверьте, набрать $\{U_{\alpha}\}$, чтобы получить $\{U_{\alpha}\}$, быстрее, чем набирать формулу в визуальном редакторе, а потом копировать её в сообщение. (http://dxdy.ru/topic8355.html, http://dxdy.ru/topic183.html)

Что касается вопроса, то сначала в заданное покрытие впишите какое-нибудь открытое покрытие с замыканиями (используете регулярность), а уж потом в него впишите локально конечное (используете паракомпактность).

[maxmatem]

Пусть $x\in X$. Так как $\{U_{\alpha}\}$-это покрытие $X$, то $x\in U_{\alpha}$ для некоторого $\alpha\in A$. Тогда
$\[ F_\alpha = X\backslash U_\alpha ^{} \]$

В силу регулярности $X$ имеем $\[ \exists W_x \]$
и $\[ \exists W(F_\alpha ) \]$
причём эти окрестности дизъюнктны. Но множество $F_{\alpha}$ не содержит точек прикосновения множества $W_{x}$ и значит
$\[ [W_\alpha ] \subset X\backslash F_\alpha = U_\alpha \]$
Тогда покрытие $\{W_{x}\}$ вписано в первоначальное.

[Someone]

Знак "$\setminus$" кодируется как "\setminus ".

[maxmatem]

Someone
Такое покрытие подойдёт?

[Someone]

Подойдёт.

[maxmatem]

Someone
спасибо.