анизотропное и гиперболическое пр.

[David Sunrise]

Не знаю как разложить пространство в ортогональную прямую сумму анизотропного и гиперболического,если заданна билинейная форма,и я нашел ортогональный базис...
Не могу привести даже части решения т.к даже не знаю с чего начать...вроде это как то связанно с нахождением ортогонального базиса,его я нашел...что дальше незнаю...Прошу помочь.

[Munin]

Приведите, пожалуйста, точную формулировку задачи, и из какого курса математики она взята.

[David Sunrise]

Алгебра.Нужно найти разложение $R^3$ в ортогональную прямую сумму анизотропного и гиперболического пространства с заданной невырожденной билинейной формой.

[Munin]

Что такое $R^3,$ я знаю (надеюсь). Что такое гиперболическое пространство - тоже немного (хотя был уверен, что это геометрия, а не алгебра). А что такое анизотропное пространство?

По какому учебнику (учебникам) вы этот курс алгебры изучаете?

[David Sunrise]

Ну в принципе ни по каким,так из всех по немногу, в основном по лекциям))) анизотропное подпространство(пусть будет $U$) это то на котором $b(a,c) \not=0$ (невыр билинейная форма),для любых $a,b $ из $U$,гиперболическое это такое подпространство ограничение билинейной формы на которое будет иметь вид $ \left( \begin{array}{cc} 0 & E \\ E & 0 \end{array} \right)$(где $E$ еденичная матрица),имею в виду что такой базис можно выбрать...Вот в принципе все определения...

[Xaositect]

Munin
Это теория квадратичных форм и квадратичных пространств.

David Sunrise
В действительном случае все просто. Если записать матрицу формы в ортогональном базисе, то гиперболическим плоскостям соответствую пары диагональных значений разных знаков:
$b(x,x) = 1, b(x,y) = 0, b(y,y) = -1$ => $b(x+y,x+y) = 0, b(x-y,x-y) = 0, b(x+y,x-y) = 2$.

[svv]

На анизотропное пространство остается одно измерение?

[ewert]

svv в сообщении #431139 писал(а):

На анизотропное пространство остается одно измерение?

А других и не бывает: в неодномерном случае требование $(B\vec u,\vec v)\neq0\ (\forall \vec u,\vec v\neq\vec0)$ не выполняется никогда. (При чём тут "анизотропия" -- вообще не понял.)

[Xaositect]

Ой, а на определения-то я не посмотрел. Они неправильные. Вообще-то анизотропное пространство - это когда $q(x) = b(x,x) \neq 0$ при $x\neq 0$, т.е. в действительном случае - когда форма знакоопределена.

[ewert]

Только при чём тут всё-таки анизотропия?... Нет, я, конечно, понимаю, что термины можно придумывать какие угодно; скажем, можно назвать такое подпространство табуретковвёрнутым...

[Xaositect]

ewert в сообщении #431172 писал(а):

Только при чём тут всё-таки анизотропия?...

А это я сам не понял. Однако же терминология общепринятая - изотропный элемент - это такой $x$, что $q(x) = 0$, изотропное пространство содержит изотропные элементы, а анизотропное, соответственно, не содержит.

[Munin]

David Sunrise в сообщении #431120 писал(а):

гиперболическое это такое подпространство ограничение билинейной формы на которое будет иметь вид $\left( \begin{array}{cc} 0 & E \\ E & 0 \end{array} \right)$ (где $E$ еденичная матрица),имею в виду что такой базис можно выбрать...

Это называется симплектическое пространство. А гиперболическое пространство - это пространство Лобачевского, неплоское (поэтому не являющееся линейным векторным пространством) с постоянной отрицательной кривизной.

David Sunrise в сообщении #431120 писал(а):

Ну в принципе ни по каким,так из всех по немногу, в основном по лекциям)))

Вам в начале лекций должны были дать список литературы. И к программе курса лекций должен прилагаться он же.

[Xaositect]

Munin в сообщении #431179 писал(а):

Это называется симплектическое пространство.

Нет, симплектическое - это когда $\left(\begin{matrix}0 & E\\-E& 0\end{matrix}\right)$. Это другое гиперболическое пространство.

[Munin]

Спасибо. Действительно, ошибся.

[svv]

У нас (в физике) изотропный вектор $x$ в пространстве Минковского -- тот, для которого $g(x, x)=0$. И, действительно, сумма двух изотропных векторов не будет изотропной, если они линейно независимы. Мне и в голову не пришло, что это старый знакомый.