Компакт в матанализе

[Padawan]

ewert
В пространстве $\mathbb Q$ возьмите интеравл $(0,1)$. Он предкомпактен, но не относительно компактен. А вот в полном пространстве, замкнутое множество само является полным пространством, поэтому пополнение множества совпадет с его замыканием в этом пространстве.

[ewert]

Padawan в сообщении #429529 писал(а):

ewert
В пространстве $\mathbb Q$ возьмите интеравл $(0,1)$. Он предкомпактен, но не относительно компактен.

Ну поскольку, как Вы же и отмечали, вариантов определений чёрт знает сколько -- я просто не понимаю, что имеется в виду. В каком в точности смысле этот интервал предкомпактен -- и в каком не относительно компактен?...

Во всяком случае, если его замкнуть (т.е. добавить границы), то компактным он от этого не станет. Ни в смысле покрытий, ни в секвенциальном.

[Padawan]

Пополнение метрического пространства $\mathbb Q\cap (0,1)$ (с метрикой $\pho(x,y)=|x-y|$) есть метрическое пространство, изометричное отрезку $[0,1]$, т.е. компактно. Поэтому множество $\mathbb Q\cap (0,1)$ предкомпактно. Замыкание еэтого множества в пространстве $\mathbb Q$ есть $\mathbb Q\cap [0,1]$, т.е. не компактно. Поэтому множество $\mathbb Q\cap (0,1)$ не является относительно компактным в пространстве $\mathbb Q$.

[ewert]

Padawan в сообщении #429541 писал(а):

Пополнение метрического пространства ... Замыкание еэтого множества

Ну надо выбрать всё-таки что-то одно -- или рассматривать этот промежуток как самостоятельное пространство, или как подмножество. Пополнять подмножество -- бессмысленно.

Я на всякий случай напомню, с чего всё началось:

ewert в сообщении #429479 писал(а):

Padawan в сообщении #429474 писал(а):

Относительно компактное подмножество топологического пространства -- замыкание компактно.Предкомпактное метрическое пространство ( в частности, подмножество метрического пространства) -- пополнение компактно.

Это одно и то же -- там, где пересекается. Т.е. на подмножествах метрического пространства.

Я ведь специально оговорил, что речь именно о подмножествах (возможно, совпадающих с самим пространством). Именно потому, что пополнение и замыкание -- это принципиально разные понятия.

[Padawan]

Подмножество метрического пространство само является метрическим пространством, поэтому его можно пополнить.

[ewert]

Padawan в сообщении #429550 писал(а):

Подмножество метрического пространство само является метрическим пространством, поэтому его можно пополнить.

Нельзя по сугубо формальным причинам -- просто потому, что понятие пополнения к подмножеству не применимо. До тех пор, пока оно рассматривается именно как подмножество. Надо выбрать что-то одно: или рассматривать его как подмножество -- или как самостоятельное пространство, но тогда про объемлющее пространство следует забыть, оно уже никакого отношения к делу иметь не будет.

[Padawan]

Подмножество метрического пространства называется предкомпактным, если оно предкомпактно, как метрическое пространство, т.е. его пополнение компактно. Равносильно - из любой последовательности можно извлечь фундаментальную подпоследовательность, равносильно - если оно вполне ограничено.

[ewert]

Padawan в сообщении #429556 писал(а):

Подмножество метрического пространства называется предкомпактным, если оно предкомпактно, как метрическое пространство, т.е. его пополнение компактно.

Ну, знаете, красиво жить не запретишь, и выдумывать можно разные определения, но это какая-то нелепость. Во-первых, почему бы не сказать прямым текстом: "если оно предкомпактно в пополнении пространства". Во-вторых, зачем об этом вообще говорить, если мы всё равно тем самым собираемся работать только в пополненном пространстве. Какая от такого определения польза для сельского-то хозяйства?

[Padawan]

ewert в сообщении #429567 писал(а):

"если оно предкомпактно в пополнении пространства"

можно и так

[Padawan]

Просто замыкание множества в пополнении пространства -- это и есть пополнение множества.

[Oleg Zubelevich]

что-то я не понял

Padawan в сообщении #429483 писал(а):

Это Вы сформулировали критерий предкомпактности -- множество предкомпактно тогда и только тогда, когда оно вполне ограничено.

читаем Эдвардса:

[ewert]

Padawan в сообщении #429885 писал(а):

Просто замыкание множества в пополнении пространства -- это и есть пополнение множества.

Конечно. Но это не отменяет нелепости применения к подмножеству термина "пополнение", предназначенного именно для пространств.

Oleg Zubelevich в сообщении #430036 писал(а):

читаем Эдвардса:

Зачем?... Кто такой вообще Эдвардс?... Почему надо читать специально его?...

[Padawan]

Знаю. А вот, например, Шефер пишет: "отделимое равномерное пространство называется предкомпактным, если его пополнение компактно".
Бурбаки в "Общая топология. Основные структуры" Глава II $\S 4$, п.2.
Определение 2. Равномерное пространство $X$ называется предкомпактным, если его отделимое пополнение $\hat X$ компактно. Множество $A$ в равномерном пространстве $X$ называется предкомпактным, если равномерное подпространство $A$ пространства $X$ предкомпактно.
Сразу же после определение текст (привожу для ewert-a)
"Таким образом, чтобы множество $A$ в равномерном пространстве $X$ было предкомпактным, необходимо и достаточно, чтобы замыкание в $\hat X$ множества $i(A)$, где $i\colon X\to \hat X$ -- каноническое отображение, было компактным"
и дана ссылка на место, где доказано, что замыкание $i(A)$ в $\hat X$ это и есть (с точностью, до изоморфизма, понятное дело) пополнение $A$.

-- Пт апр 01, 2011 21:49:05 --

Келли в "Общей топологии" даёт определение как у Эдвардса, только он наоборот пишет "называется вполне ограниченным (или предкомпактным), если..." и приводит теорему
Т е о р е м а. Равномерное пространство $(X,\mathfrak U)$ вполне ограничено в том и только в том случае, когда каждая направленность в $X$ содержит поднаправленность Коши.
Следовательно, равномерное пространство бикомпактно в том и только в том случае, когда оно вполне ограничено и полно.

-- Пт апр 01, 2011 21:52:02 --

В общем, есть как минимум три равносильных определения предкомпактности:
1) через вполне ограниченность
2) через направленности Коши
3) через пополнение (ну или замыкание в пополнении, если ewert-у так больше нравится)

[Fantast2154]

alex1910 в сообщении #429103 писал(а):

2. Не понимаю, почему никто до сих пор не дал стандартного определения компактности: множество компактно, если из любого открытого покрытия можно выделить конечное подпокрытие.

Постоянно встречаю не полное определение компакта. Т.к
Критерий компактности: ( следующие условия для множества Х в Rn равносильны)
(1) оно замкнуто и ограничено;
(2) из всякой последовательности его точек можно извлечь под-
последовательность, сходящуюся к некоторой его точке;
(3) из всякого его покрытия открытыми множествами можно
извлечь конечное подпокрытие.

[lyuk]

Мне кажется, что правильнее и логичнее отталкавиться от тех определений понятий, которые даются в наиболее общей ситуации.

Например, для топологического пространства $X$ множество $A\subseteq X$ называется компактным в $X$, если из любого открытого покрытия множества $A$ можна выделить открытое подпокрытие. И, соответственно, топологическое пространство $X$ называется компактным, если оно компактно в себе.

Множество $A$ в топологическом пространстве $X$ называется относительно компактным в $X$, если его замыкание в $X$ компактно.

Понятие предкомпатного множества вводится для равномерного пространства. Множество $A\subseteq X$ называется предкомпактным в равномерном пространстве $X$, если для любого окружения $U$ существует конечное множество $P\subseteq X$ такое, что для любого $a\in A$ существует $p\in P$ такое, что $(a,p)\in U$.

Различные характеризации этих понятий, которые имеют место зачастую при дополнительных условиях дают возможность определять эти понятия в некоторых классах пространств по другому. Но попытки перенести такие определения на более общий случай приводят к неправильным определениям. Например, неправильно для топологического пространства предкомпактным множеством называть множество, замыкание которого компактно. Это не стыкуется: с определением предкомпактного множества в равномерном пространстве, совпадает с определением относительно компактного множества, которое есть общепринятым в научной среде.