А.Л. Зельманов, В.Г. Агаков, "Элементы ОТО"

[Иван_85]

А.Л. Зельманов, В.Г. Агаков, "Элементы общей теории относительности", стр.32:
"Введем новые координаты $\tilde x^\epsilon$ таким образом, чтобы их разложение в ряд Тейлора в окрестности данной точки имело вид
$\tilde x^\epsilon=\tilde x^\epsilon_0+(\frac{\partial \tilde x^\epsilon}{\partial x^\mu})_0(x^\mu-x^\mu_0)+\frac{1}{2}(\Gamma^{\epsilon}_{\alpha \beta})_0(\frac{\partial \tilde x^\alpha}{\partial x^\mu})_0(\frac{\partial \tilde x^\beta}{\partial x^\nu})_0(x^\mu-x^\mu_0)(x^\nu-x^\nu_0)+...$
Дифференцируя $\tilde x^\epsilon$ дважды, получим равенство $(\frac{\partial^2 \tilde x^\epsilon}{\partial x^\mu \partial x^\nu})_0=(\Gamma^{\tau}_{\mu \nu})_0(\frac{\partial \tilde x^\epsilon}{\partial x^\tau})_0$ ."

Я дифференцирую:
$\frac{\partial \tilde x^\epsilon}{\partial x^\rho}=(\frac{\partial \tilde x^\epsilon}{\partial x^\rho})_0+\frac{1}{2}(\Gamma^{\epsilon}_{\alpha \beta})_0(\frac{\partial \tilde x^\alpha}{\partial x^\rho})_0(\frac{\partial \tilde x^\beta}{\partial x^\nu})_0(x^\nu-x^\nu_0)+$
$+\frac{1}{2}(\Gamma^{\epsilon}_{\alpha \beta})_0(\frac{\partial \tilde x^\alpha}{\partial x^\mu})_0(\frac{\partial \tilde x^\beta}{\partial x^\rho})_0(x^\mu-x^\mu_0)$,
$\frac{\partial^2 \tilde x^\epsilon}{\partial x^\rho \partial x^\tau}=(\Gamma^{\epsilon}_{\alpha \beta})_0(\frac{\partial \tilde x^\alpha}{\partial x^\rho})_0(\frac{\partial \tilde x^\beta}{\partial x^\tau})_0$.
И нужное равенство не получается. Подскажите ошибку.

[MeV]

Осталось только поиграть индексами:
$\frac{\partial^2 \tilde x^\epsilon}{\partial x^\mu \partial x^\nu}=(\Gamma^{\epsilon}_{\alpha \beta})_0(\frac{\partial \tilde x^\alpha}{\partial x^\mu})_0(\frac{\partial \tilde x^\beta}{\partial x^\nu})_0=(\Gamma^{\epsilon}_{\mu \nu})_0=(\Gamma^{\tau}_{\mu \nu})_0(\frac{\partial \tilde x^\epsilon}{\partial x^\tau})_0$

[Munin]

На самом деле, там написано:
"Величины $\left(\dfrac{\partial\tilde{x}^\epsilon}{\partial x^\mu}\right)_0$ можно выбрать произвольно, лишь бы они удовлетворяли условию $\det\left\lVert\left(\dfrac{\partial\tilde{x}^\epsilon}{\partial x^\mu}\right)_0\right\rVert\ne 0.$ Дифференцируя $\tilde{x}^\epsilon$ дважды, получим равенство
$\left(\dfrac{\partial^2\tilde{x}^\epsilon}{\partial x^\mu\partial x^\nu}\right)_0=\bigl(\Gamma^\tau_{\mu\nu}\bigr)_0\left(\dfrac{\partial\tilde{x}^\epsilon}{\partial x^\tau}\right)_0.\quad(3.4)$"

Я так понимаю, здесь слова "получим равенство" надо читать не в смысле "у нас получится равенство", а в смысле "добъёмся равенства". То, что вторая производная будет равна
$\bigl(\Gamma^\epsilon_{\alpha\beta}\bigr)_0\left(\dfrac{\partial\tilde{x}^\alpha}{\partial x^\mu}\right)_0\left(\dfrac{\partial\tilde{x}^\beta}{\partial x^\nu}\right)_0,$
уже ясно из предыдущего текста. Здесь же говорится, что вторые производные уже зафиксированы связью с $\Gamma^\epsilon_{\alpha\beta}$ старой системы координат, а вот первые производные можно менять ("подкручивать") так, как захочется, и в частности, так, чтобы они выражались по равенствам (3.4) через вторые производные и через $\Gamma^\tau_{\mu\nu}.$

[Иван_85]

MeV в сообщении #428567 писал(а):

Осталось только поиграть индексами:
$\frac{\partial^2 \tilde x^\epsilon}{\partial x^\mu \partial x^\nu}=(\Gamma^{\epsilon}_{\alpha \beta})_0(\frac{\partial \tilde x^\alpha}{\partial x^\mu})_0(\frac{\partial \tilde x^\beta}{\partial x^\nu})_0=(\Gamma^{\epsilon}_{\mu \nu})_0=(\Gamma^{\tau}_{\mu \nu})_0(\frac{\partial \tilde x^\epsilon}{\partial x^\tau})_0$

Что-то я не понял как это Вы так индексами поиграли. Я понимаю, если бы вместо частных производных были символы Кронекера:
$\frac{\partial^2 \tilde x^\epsilon}{\partial x^\mu \partial x^\nu}=(\Gamma^{\epsilon}_{\alpha \beta})_0 \delta ^\alpha_\mu \delta ^\beta_\nu=(\Gamma^{\epsilon}_{\mu \nu})_0=(\Gamma^{\tau}_{\mu \nu})_0 \delta ^\epsilon_\tau$.

-- Вт мар 29, 2011 17:25:31 --

Цитата:

То, что вторая производная будет равна
$\bigl(\Gamma^\epsilon_{\alpha\beta}\bigr)_0\left(\dfrac{\partial\tilde{x}^\alpha}{\partial x^\mu}\right)_0\left(\dfrac{\partial\tilde{x}^\beta}{\partial x^\nu}\right)_0,$
уже ясно из предыдущего текста.

Ога, это понятно.
И, всё же, как из $\left(\dfrac{\partial^2\tilde{x}^\epsilon}{\partial x^\mu\partial x^\nu}\right)_0=\bigl(\Gamma^\epsilon_{\alpha\beta}\bigr)_0\left(\dfrac{\partial\tilde{x}^\alpha}{\partial x^\mu}\right)_0\left(\dfrac{\partial\tilde{x}^\beta}{\partial x^\nu}\right)_0$ получить нужное равенство (3.4)?

[Утундрий]

Отрадно, что метод жив

Иван_85
А с диссертации его начинать не пробовали?

[Иван_85]

Утундрий, Вы про хронометрические инварианты?
И что, кстати, за метод?

[Утундрий]

Иван_85 в сообщении #428916 писал(а):

Вы про хронометрические инварианты?

Натюрлих. Кинеметрическая и ортометрическая ересь в разы менее концептуальна. Только ХИ, святые ХИ помогут (надеюсь) пролить свет на проблему псевдо-ТЭИ: сформулированную, но не разрешенную.

[Иван_85]

Думаете, лучше начать с Хронометрических инвариантов, а затем перейти к "Элементам ОТО"?

[Munin]

Иван_85 в сообщении #428787 писал(а):

И, всё же, как из $\left(\dfrac{\partial^2\tilde{x}^\epsilon}{\partial x^\mu\partial x^\nu}\right)_0=\bigl(\Gamma^\epsilon_{\alpha\beta}\bigr)_0\left(\dfrac{\partial\tilde{x}^\alpha}{\partial x^\mu}\right)_0\left(\dfrac{\partial\tilde{x}^\beta}{\partial x^\nu}\right)_0$ получить нужное равенство (3.4)?

Никак. (Из этой формулы, а вообще - можно.)

Ещё раз. В книге сказано (приведу кусок целиком):

Цитата:

$\left(\dfrac{\partial^2\tilde{x}^\epsilon}{\partial x^\mu\partial x^\nu}\right)_0=\bigl(\Gamma^\tau_{\mu\nu}\bigr)_0\left(\dfrac{\partial\tilde{x}^\epsilon}{\partial x^\tau}\right)_0.\quad(3.4)$
...
Естественно возникает вопрос: всегда ли можно найти систему координат, в которой выполняется (3.4) в данной точке, т.е. систему координат $\tilde{S},$ геодезическую в данной точке?

Пусть формулы преобразования координат при переходе от системы координат $S\{x^\alpha\}$ к системе $\tilde{S}\{\tilde{x}^\beta\}$ выражаются аналитическими функциями, тогда координаты $\tilde{x}^\epsilon$ системы $\tilde{S}$ в окрестности нашей точки можно разложить в ряд Тейлора:
$\tilde{x}^\epsilon=\tilde{x}^\epsilon_0+\left(\dfrac{\partial\tilde{x}^\epsilon}{\partial x^\mu}\right)_0(x^\mu-x^\mu_0)+{}$
${}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\partial^2\tilde{x}^\epsilon}{\partial x^\mu\partial x^\nu}\right)_0(x^\mu-x^\mu_0)(x^\nu-x^\nu_0)+\ldots\quad(\text{разложение 1})$
Введем новые координаты $\tilde{x}^\epsilon$ таким образом, чтобы их разложение в ряд Тейлора в окрестности данной точки имело вид
$\tilde{x}^\epsilon=\tilde{x}^\epsilon_0+\left(\dfrac{\partial\tilde{x}^\epsilon}{\partial x^\mu}\right)_0(x^\mu-x^\mu_0)+{}$
${}+\dfrac{1}{2}\bigl(\Gamma^\epsilon_{\alpha\beta}\bigr)_0\left(\dfrac{\partial\tilde{x}^\alpha}{\partial x^\mu}\right)_0\left(\dfrac{\partial\tilde{x}^\beta}{\partial x^\nu}\right)_0(x^\mu-x^\mu_0)(x^\nu-x^\nu_0)+\ldots\quad(\text{разложение 2})$
Величины $\left(\dfrac{\partial\tilde{x}^\epsilon}{\partial x^\mu}\right)_0$ можно выбрать произвольно, лишь бы они удовлетворяли условию $\det\left\lVert\left(\dfrac{\partial\tilde{x}^\epsilon}{\partial x^\mu}\right)_0\right\rVert\ne 0.$ Дифференцируя $\tilde{x}^\epsilon$ дважды, получим равенство (3.4); следовательно, в выбранной системе координат $\tilde{S}\{\tilde{x}^\alpha\}$ в данной точке $\bigl(\tilde{\Gamma}^\tau_{\mu\nu}\bigr)_0=0.$ Таким образом, всегда можно найти систему координат, геодезическую в данной точке.

Теперь, как я это читаю.
0. В начале у нас есть заданное многообразие и система координат $x^\alpha,$ и таким образом, известны функции $\Gamma^\epsilon_{\alpha\beta},$ поскольку они описывают многообразие только в старой системе координат.
1. Мы ищем произвольные функции $\tilde{x}^\epsilon.$ Поскольку они произвольные функции, у нас много степеней свободы для их выбора.
2. Мы раскладываем $\tilde{x}^\epsilon$ в ряд Тейлора. Таким образом, дальше мы ищем коэффициенты этого ряда Тейлора. Они искомые, и пока никак не определены, ничем не фиксированы. Эта точка соответствует формуле (разложение 1). Здесь все коэффициенты $\tilde{x}^\epsilon_0,$ $\left(\dfrac{\partial\tilde{x}^\epsilon}{\partial x^\mu}\right)_0,$ $\left(\dfrac{\partial^2\tilde{x}^\epsilon}{\partial x^\mu\partial x^\nu}\right)_0$ - искомые неизвестные неопределённые величины.
3. Чтобы начать определять $\tilde{x}^\epsilon,$ мы начинаем со вторых производных. Формуле (разложение 1) мы сопоставляем формулу (разложение 2), то есть по сути записываем
(разложение 1)=(разложение 2).
При этом у нас нулевые и первые производные никак не фиксируются, а вторые производные выражаются через известные $\Gamma^\epsilon_{\alpha\beta}$ и через первые производные.
4. И наконец, чтобы зафиксировать ещё и первые производные, их можно выразить через вторые (и опять через известные $\Gamma^\tau_{\mu\nu}$). Это выражено в той фразе, которая вас смутила, с неудачным словом "получим". Теперь у нас зафиксированы и вторые, и первые производные, и можно считать, что система координат введена.
5. Наконец, глядя на то, что собой представляет эта новая система координат, в ней вычисляются уже новые $\bigl(\tilde{\Gamma}^\tau_{\mu\nu}\bigr)_0,$ и выясняется, что они нули. Цель достигнута.

Шаги 3, 4 сформулированы тоже, может быть, не слишком удачно. Другой взгляд на них может быть такой:
2'. Мы имеем неизвестные величины: первые производные и вторые производные.
3'. Мы накладываем на них одно условие, связывающее первые и вторые производные. Это как раз
$\left(\dfrac{\partial^2\tilde{x}^\epsilon}{\partial x^\mu\partial x^\nu}\right)_0=\bigl(\Gamma^\epsilon_{\alpha\beta}\bigr)_0\left(\dfrac{\partial\tilde{x}^\alpha}{\partial x^\mu}\right)_0\left(\dfrac{\partial\tilde{x}^\beta}{\partial x^\nu}\right)_0,$
которое явно в книге не выписано, а выражено неявно в виде сопоставления (разложение 1)=(разложение 2). Одного условия недостаточно, чтобы найти эти величины, но мы его запомним.
4'. Мы накладываем на них второе условие, связывающее первые и вторые производные, а именно само (3.4). Теперь мы имеем систему уравнений, в которых две величины связаны двумя условиями, и теперь она разрешима (полагаем, что условия разрешимости удовлетворены). Решив эту систему, считаем первые и вторые производные известными, и обсуждаем дальше уже их конкретные значения.

Надеюсь, такое прочтение соответствует тому, что сказали авторы, и позволит пройти через это место. С другой стороны, в конце концов, можно не затыкаться на одном учебнике, а посмотреть другие.

[Утундрий]

Иван_85 в сообщении #428920 писал(а):

Думаете, лучше начать с Хронометрических инвариантов, а затем перейти к "Элементам ОТО"?

Думаю, лучше начать с ХИ в любом случае. Безразлично, - по диссертации 44-го года или по "Элементам".И там и там примерно одно и то же изложено, разве что в "Элементах" чуть понятнее, зато в диссертации гораздо подробнее (почти не встречаются слова "можно показать"). ХИ - это генеральная и самая мощная идея Зельманова, с ней непременно нужно ознакомиться и ею же в принципе вполне можно и ограничиться.

[Иван_85]

Munin, спасибо, разжевали.

[Munin]

Ффух, теперь можно и о Большом театре поговорить...

Утундрий
Так что такое эти "хронометрические инварианты"?

[Утундрий]

Цитата:

Так что такое эти "хронометрические инварианты"?

Коротко говоря, определенные огрызки полных тензоров, инвариантные относительно специальной подгруппы полной группы преобразований, сохраняющей некоторую времениподобную конгруэнцию.

[Munin]

Что такое времениподобная конгруэнция?

[Утундрий]

Munin в сообщении #431961 писал(а):

Что такое времениподобная конгруэнция?

Это такой пучёк мировых линий некоторых наблюдателей, плотно и без самопересечений заполняющий четырехмерное пространство-время. Термин "конгруэнция" заимствован мною из МТУ, где он был употреблен в похожем смысле. Правда там они рассматривали в основном изотропные конгруэнции. У Зельманова же речь идет просто о некоторых временных линиях $\[x^i = const\]$ некоторой системы координат, которая "реализуема реальными телами" в смысле ЛЛ (т.е. удовлетворяет приведенным в том же ЛЛ сигнатурным условиям: положительности $\[g_{oo} \]$ и положительной определенности $\[\gamma _{ik} \]$). Каждой такой конгруэнции Зельманов сопоставляет систему отсчёта, состоящую из вышеупомянутых наблюдателей, вдоль конгруенции движущихся и резонно замечает, что переход к некоторым другим координатам, в которых наблюдатели по-прежнему покоятся по большому ситуации не меняет и интересно бы рассмотреть величины, относительно данного перехода инвариантные - в них-то вся физика и должна заключаться...

Хронометрическим инвариантом он называет величины, инвариантные относительно преобразования:

$$\[ \left\{ \begin{gathered} x^{\tilde o} = x^{\tilde o} \left( {x^o ,x^i } \right) \hfill \\ x^{\tilde i} = x^i \hfill \\ \end{gathered} \right. \]$$

Среди этих Х.И. оказывается во-первых сам $\[\gamma _{ik} \]$, что уже приятно, во-вторых - некий 3-вектор и некий 3-антисимметричный тензор второго ранга, смысл которых проще всего усматривается из расщепленного уравнения геодезических: они попросту оказываются ускорением инерции и кориолисовым вращением...

Вообще, рассмотрение Х.И. некоторого 4-тензора дает вполне приятный и регулярный метод его 3+1 расщепления.

Собственно, подробно об этом можно почитать в упомянутых выше "Элементах..." и диссертации 44-го года. Обе книжки имеются в свободном доступе, так что - было бы желание...

P.S. Хотя должен отметить, что читаются они нелегко. я, помнится, их основательно перерабатывал по ходу: "цэ" выбрасывал без жалости, производные запятыми заменял, другие обозначения вводил, менял последовательность вывода формул на (как мне казалось) более короткую и т.п. Объем конспекта получился немаленький, но и удовольствия от сего процесса я получил массу

P.P.S. Все использованные в данном сообщении немногочисленные буквицы соответствуют обозначениям ЛЛ2.