max и min функции

[ewert]

ИСН в сообщении #428388 писал(а):

C кубическим уравнением некоторые проблемы.

Нет там никаких проблем:

$\sin x=s,\qquad 8s^3-4s+1=(4s^2+2s-1)(2s-1)=0,\qquad s_1=\dfrac{1}{2},\ \ s_2=\dfrac{\sqrt5-1}{4}.$

Техническая проблема разве что с подстановкой в исходную функцию $4\sin x+\cos4x$: надо убедиться в том, что оба значения функции попадают в промежуток $[1;5]$, а фактически -- что оба больше единицы (поскольку оценка сверху тривиальна). Ну для половинки это вполне очевидно, а для скверного второго корня достаточно заметить, что на участке от нуля до него функция заведомо возрастает (ибо второй корень лежит левее половинки).

[ИСН]

ewert в сообщении #428395 писал(а):

Нет там никаких проблем

У Вас нет.

[ewert]

Ну хорошо, вернёмся к

bot в сообщении #427897 писал(а):

Синус - это тот же косинус, только сдвинутый, а разность косинусов известно как в произведение раскладывается.

$\cos x-\sin4x=0,\qquad\sin(\frac{\pi}2-x)-\sin4x=0,\qquad2\sin(\frac{\pi}4-\frac{5x}2)\cdot\cos(\frac{\pi}4+\frac{3x}2)=0;$

$x_1=\frac{\pi}{10},\ \ x_2=\frac{\pi}6.$

Остальные корни можно даже и не рассматривать: эти уже лежат внутри требуемого промежутка, а мы уже знаем, что больше там корней производных быть и не может, т.к. уравнение на синус -- кубическое и третий его корень может быть только отрицательным (раз уж есть два положительных). Дальнейшая логика -- та же, что и в предыдущем сообщении.

[spaits]

viktorija478 в сообщении #427857 писал(а):

Наити максимальное и минимальное значение функции:

$y=4\sin x+\cos 4x$ на отрезке $[0;\pi/2]$

Я произвела $y'=4(\cos x-\sin 4x)$
затем, приравняла к 0.
Получилось $\sin 4x=\cos x$
берём точку $\pi/4$
$y(\pi/4)=2 \sqrt 2=2.29$
$y(0)=1$
$y(\pi/2)=4$

А дальше как? Или я вообще неправильно сделала?

Правильно до сих пор:
$sin4x=cosx$.
Дальше так:
$cos\left(\frac{\pi}2-4x\right)=cosx$;
что равносильно объединению уравнений: $(x+\frac{\pi}2-4x)=2{\pi}k$, $k$ принадлежит $Z$; $(x-\frac{\pi}2+4x=2\pi}n$, $n$ принадлежит $Z$.
Дополнительное условие: $x$ принадлежит отрезку $[0;\frac{\pi}2]$.
Переход к функции косинуса (а не синуса) потому, что уравнение так решается проще.
Далее: $3x=\frac{\pi}2-2{\pi}k=\frac{\pi}2+2{\pi}k'$; $5x=\frac{\pi}2+2{\pi}n$.
На указанном отрезке три решения: $x=\frac{\pi}6$; $x=\frac{\pi}{10}$; $x=\frac{\pi}2$.
Надо найти значения функции в этих точках и ещё найти значение функции в точке $x=0$, из них надо выбрать максимальное и минимальное значения.
Могут возникнуть затруднения с точным вычислением $cos\frac{\pi}{10}$, но думаю, Вы справитесь с этим.

[ewert]

spaits в сообщении #428430 писал(а):

На указанном отрезке три решения: $x=\frac{\pi}6$; $x=\frac{\pi}{10}$; $x=\frac{\pi}2$.

Не три, а два: кому интересен конец промежутка, когда он и без того входит в набор подозрительных точек.

spaits в сообщении #428430 писал(а):

Могут возникнуть затруднения с точным вычислением $cos\frac{\pi}{10}$,

Не могут, а непременно возникнут. Вот тут-то и понадобилось бы пресловутое кубическое уравнение для синуса, полученное приравниванием производной к нулю (ибо прибегать к куркулятору -- откровенно неспортивно, а значения функции в этих стационарных точках довольно близки --1.54 и 1.5, что ли). К счастью, для предложенной задачки (когда требуется найти не локальные максимумы и минимумы, а лишь глобальные на заданном отрезке) всё это не имеет никакого значения --всё решается гораздо более грубыми соображениями.

[spaits]

ewert в сообщении #428437 писал(а):

Не три, а два: кому интересен конец промежутка, когда он и без того входит в набор подозрительных точек.

Я имела ввиду - три решения уравнения $y'=0$, на этом промежутке три точки экстремума. И надо проверить второй конец интервала. Всего четыре точки надо проверить.
А $sin\frac{\pi}{10}$ можно вычислить без калькулятора.
Конечно, Ваше доказательство, что третий корень кубического уравнения не входит в интервал, красивое, но Вы забыли, чему равен период данной функции.

[ewert]

spaits в сообщении #428439 писал(а):

но Вы забыли, чему равен период данной функции.

нет, этого я, разумеется, не забывал; другое дело, что моё рассуждение было довольно пижонским.

По зрелому размышлению -- присоединиться, наверное, следует всё-таки именно к bot'у. Находим все решения внутри заданного промежутка от нуля до пи пополам (в сугубо тригонометрической форме), и оказывается (после совсем небольших мучений), что их там ровно два -- пи на десять и пи на шесть. Значения функции на концах -- это единица и пять; остаётся лишь выяснить, не выскакивает ли значение функции хоть в одной из этих двух стационарных точек за пределы отрезка от нуля до пяти. С пи на десять всё ясно: на промежутке от нуля до пи на десять функция может лишь возрастать (просто потому, что её производная в нуле равна плюс единице) и, следовательно, значение в пи на десять никак не меньше единицы, но и откровенно не больше пятёрки (которая есть глобальный максимум на вообще всей оси). С пи на шесть -- тут требуется уже явный счёт, но он и очевиден.

------------------------------------------------------------
Да, кстати, а как полезно подходить к таким задачкам. Просто прикинуть график функции, сложив мысленно по точкам. Ведь видно же, что учетверённый синус как-то так заметно более-менее забивает меленький, хоть и частый косинус. На эти эвристические соображения и стоит ориентироваться.

[spaits]

ewert в сообщении #428447 писал(а):

и откровенно не больше пятёрки (которая есть глобальный максимум на вообще всей оси).

Глобальный максимум $4$.

-- Пн мар 28, 2011 16:03:08 --

На отрезке.

-- Пн мар 28, 2011 16:07:34 --

А глобальный максимум на всей оси $\sqrt{17}$.

[ewert]

spaits в сообщении #428464 писал(а):

ewert в сообщении #428447 писал(а):

и откровенно не больше пятёрки (которая есть глобальный максимум на вообще всей оси).

Глобальный максимум $4$.

Да пятёрка, ессно. $4\sin\frac{\pi}2+\cos\frac{4\pi}2$. Да просто график-то нарисуйте. В любом пакете.

[spaits]

ewert в сообщении #428472 писал(а):

Да пятёрка, ессно. .

Вы правы.

-- Пн мар 28, 2011 18:31:19 --

ewert в сообщении #428437 писал(а):

spaits в сообщении #428430 писал(а):
Могут возникнуть затруднения с точным вычислением ,

Не могут, а непременно возникнут.

$sin\frac{\pi}{10}=cos\frac{4\pi}{10}=\frac{\sqrt5-1}4$ из геометрии; $\frac{\pi}{10}=18$ градусам; $\frac{\pi}{10}+\frac{4\pi}{10}=\frac{\pi}2$.
$y(x)=4sinx+cos4x; y(\frac{\(\pi}{10})=\frac{5(\sqrt5-1)}4\approx1{,}545085$.

[Joker_vD]

Ох, а зачем такая большая точность? $\sin\frac\pi{10}\approx\frac\pi{10}$, и дело с концом.

[spaits]

Joker_vD в сообщении #428512 писал(а):

Ох, а зачем такая большая точность? $\sin\frac\pi{10}\approx\frac\pi{10}$, и дело с концом.

В данном случае большая точность не нужна.
$y(0)=1$ - наименьшее значение функции на отрезке;
$y(\frac{\pi}{10})=\frac{\sqrt5-1}4\approx1,545$
или, если принять $sin\frac{\pi}{10}=\frac{\pi}{10}$, то $y(\frac{\pi}{10})\approx\frac{\pi}2\approx1{,}571$;
$y(\frac{\pi}6)=1{,}5$;
$y(\frac{\pi}2)=5$ - наибольшее значение функции на отрезке.

[viktorija478]

Спасибо всем огромное!
У меня на тоже самое задание ещё один пример. Я попыталась его решить, буду очень рада, если Вы проверите. Просто я не уверена.

$y=1/sinx$ на отрезке $\pi/2 ; 3\pi/2$
Я произвела $y'=-cosx/(sinx)^2$


$\ cosx=0$ => $x=\pi/2+\pi*n$
На заданном отрезке $x=\pi/2; x=3\pi/2$
$y(\pi/2)=1;$
$y(3\pi/2)=-1;$ наименьшее значение
Но есть ещё одна критическая точка $\ sinx=0$ => $x=\pi$
$y(\pi)=∞$ наибольшее значение



Правильно?

[Tlalok]

А Вы уверены, что Ваша функция определена в точке $x=\pi$?
Что Вы знаете о точках разрыва?

[AKM]

spaits,

Вы много пишете; ну научитесь же тригонометрию грамотно и красиво писать: \sin x, \tg x: палка перед и пробел после имени функции. \ln x так же будет.

-- 29 мар 2011, 19:24 --

viktorija478, Вы тоже присоединяйтесь.