2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 
Сообщение28.03.2011, 13:55 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ИСН в сообщении #428388 писал(а):
C кубическим уравнением некоторые проблемы.

Нет там никаких проблем:

$\sin x=s,\qquad 8s^3-4s+1=(4s^2+2s-1)(2s-1)=0,\qquad s_1=\dfrac{1}{2},\ \ s_2=\dfrac{\sqrt5-1}{4}.$

Техническая проблема разве что с подстановкой в исходную функцию $4\sin x+\cos4x$: надо убедиться в том, что оба значения функции попадают в промежуток $[1;5]$, а фактически -- что оба больше единицы (поскольку оценка сверху тривиальна). Ну для половинки это вполне очевидно, а для скверного второго корня достаточно заметить, что на участке от нуля до него функция заведомо возрастает (ибо второй корень лежит левее половинки).

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2011, 14:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
ewert в сообщении #428395 писал(а):
Нет там никаких проблем

У Вас нет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2011, 14:15 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну хорошо, вернёмся к

bot в сообщении #427897 писал(а):
Синус - это тот же косинус, только сдвинутый, а разность косинусов известно как в произведение раскладывается.

$\cos x-\sin4x=0,\qquad\sin(\frac{\pi}2-x)-\sin4x=0,\qquad2\sin(\frac{\pi}4-\frac{5x}2)\cdot\cos(\frac{\pi}4+\frac{3x}2)=0;$

$x_1=\frac{\pi}{10},\ \ x_2=\frac{\pi}6.$

Остальные корни можно даже и не рассматривать: эти уже лежат внутри требуемого промежутка, а мы уже знаем, что больше там корней производных быть и не может, т.к. уравнение на синус -- кубическое и третий его корень может быть только отрицательным (раз уж есть два положительных). Дальнейшая логика -- та же, что и в предыдущем сообщении.

 Профиль  
                  
 
 Re: max и min функции
Сообщение28.03.2011, 16:16 
Заблокирован


07/02/11

867
viktorija478 в сообщении #427857 писал(а):
Наити максимальное и минимальное значение функции:

$y=4\sin x+\cos 4x$ на отрезке $[0;\pi/2]$

Я произвела $y'=4(\cos x-\sin 4x)$
затем, приравняла к 0.
Получилось $\sin 4x=\cos x$
берём точку $\pi/4$
$y(\pi/4)=2 \sqrt 2=2.29$
$y(0)=1$
$y(\pi/2)=4$

А дальше как? Или я вообще неправильно сделала?


Правильно до сих пор:
$sin4x=cosx$.
Дальше так:
$cos\left(\frac{\pi}2-4x\right)=cosx$;
что равносильно объединению уравнений: $(x+\frac{\pi}2-4x)=2{\pi}k$, $k$ принадлежит $Z$; $(x-\frac{\pi}2+4x=2\pi}n$, $n$ принадлежит $Z$.
Дополнительное условие: $x$ принадлежит отрезку $[0;\frac{\pi}2]$.
Переход к функции косинуса (а не синуса) потому, что уравнение так решается проще.
Далее: $3x=\frac{\pi}2-2{\pi}k=\frac{\pi}2+2{\pi}k'$; $5x=\frac{\pi}2+2{\pi}n$.
На указанном отрезке три решения: $x=\frac{\pi}6$; $x=\frac{\pi}{10}$; $x=\frac{\pi}2$.
Надо найти значения функции в этих точках и ещё найти значение функции в точке $x=0$, из них надо выбрать максимальное и минимальное значения.
Могут возникнуть затруднения с точным вычислением $cos\frac{\pi}{10}$, но думаю, Вы справитесь с этим.

 Профиль  
                  
 
 Re: max и min функции
Сообщение28.03.2011, 16:39 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
spaits в сообщении #428430 писал(а):
На указанном отрезке три решения: $x=\frac{\pi}6$; $x=\frac{\pi}{10}$; $x=\frac{\pi}2$.

Не три, а два: кому интересен конец промежутка, когда он и без того входит в набор подозрительных точек.

spaits в сообщении #428430 писал(а):
Могут возникнуть затруднения с точным вычислением $cos\frac{\pi}{10}$,

Не могут, а непременно возникнут. Вот тут-то и понадобилось бы пресловутое кубическое уравнение для синуса, полученное приравниванием производной к нулю (ибо прибегать к куркулятору -- откровенно неспортивно, а значения функции в этих стационарных точках довольно близки --1.54 и 1.5, что ли). К счастью, для предложенной задачки (когда требуется найти не локальные максимумы и минимумы, а лишь глобальные на заданном отрезке) всё это не имеет никакого значения --всё решается гораздо более грубыми соображениями.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2011, 16:52 
Заблокирован


07/02/11

867
ewert в сообщении #428437 писал(а):
Не три, а два: кому интересен конец промежутка, когда он и без того входит в набор подозрительных точек.

Я имела ввиду - три решения уравнения $y'=0$, на этом промежутке три точки экстремума. И надо проверить второй конец интервала. Всего четыре точки надо проверить.
А $sin\frac{\pi}{10}$ можно вычислить без калькулятора.
Конечно, Ваше доказательство, что третий корень кубического уравнения не входит в интервал, красивое, но Вы забыли, чему равен период данной функции.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2011, 17:19 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
spaits в сообщении #428439 писал(а):
но Вы забыли, чему равен период данной функции.

нет, этого я, разумеется, не забывал; другое дело, что моё рассуждение было довольно пижонским.

По зрелому размышлению -- присоединиться, наверное, следует всё-таки именно к bot'у. Находим все решения внутри заданного промежутка от нуля до пи пополам (в сугубо тригонометрической форме), и оказывается (после совсем небольших мучений), что их там ровно два -- пи на десять и пи на шесть. Значения функции на концах -- это единица и пять; остаётся лишь выяснить, не выскакивает ли значение функции хоть в одной из этих двух стационарных точек за пределы отрезка от нуля до пяти. С пи на десять всё ясно: на промежутке от нуля до пи на десять функция может лишь возрастать (просто потому, что её производная в нуле равна плюс единице) и, следовательно, значение в пи на десять никак не меньше единицы, но и откровенно не больше пятёрки (которая есть глобальный максимум на вообще всей оси). С пи на шесть -- тут требуется уже явный счёт, но он и очевиден.

------------------------------------------------------------
Да, кстати, а как полезно подходить к таким задачкам. Просто прикинуть график функции, сложив мысленно по точкам. Ведь видно же, что учетверённый синус как-то так заметно более-менее забивает меленький, хоть и частый косинус. На эти эвристические соображения и стоит ориентироваться.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2011, 18:02 
Заблокирован


07/02/11

867
ewert в сообщении #428447 писал(а):
и откровенно не больше пятёрки (которая есть глобальный максимум на вообще всей оси).

Глобальный максимум $4$.

-- Пн мар 28, 2011 16:03:08 --

На отрезке.

-- Пн мар 28, 2011 16:07:34 --

А глобальный максимум на всей оси $\sqrt{17}$.

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение28.03.2011, 18:27 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
spaits в сообщении #428464 писал(а):
ewert в сообщении #428447 писал(а):
и откровенно не больше пятёрки (которая есть глобальный максимум на вообще всей оси).

Глобальный максимум $4$.

Да пятёрка, ессно. $4\sin\frac{\pi}2+\cos\frac{4\pi}2$. Да просто график-то нарисуйте. В любом пакете.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2011, 19:59 
Заблокирован


07/02/11

867
ewert в сообщении #428472 писал(а):
Да пятёрка, ессно. .

Вы правы.

-- Пн мар 28, 2011 18:31:19 --

ewert в сообщении #428437 писал(а):
spaits в сообщении #428430 писал(а):
Могут возникнуть затруднения с точным вычислением ,

Не могут, а непременно возникнут.

$sin\frac{\pi}{10}=cos\frac{4\pi}{10}=\frac{\sqrt5-1}4$ из геометрии; $\frac{\pi}{10}=18$ градусам; $\frac{\pi}{10}+\frac{4\pi}{10}=\frac{\pi}2$.
$y(x)=4sinx+cos4x;  y(\frac{\(\pi}{10})=\frac{5(\sqrt5-1)}4\approx1{,}545085$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение28.03.2011, 20:40 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
Ох, а зачем такая большая точность? $\sin\frac\pi{10}\approx\frac\pi{10}$, и дело с концом.

 Профиль  
                  
 
 Re:
Сообщение28.03.2011, 21:18 
Заблокирован


07/02/11

867
Joker_vD в сообщении #428512 писал(а):
Ох, а зачем такая большая точность? $\sin\frac\pi{10}\approx\frac\pi{10}$, и дело с концом.

В данном случае большая точность не нужна.
$y(0)=1$ - наименьшее значение функции на отрезке;
$y(\frac{\pi}{10})=\frac{\sqrt5-1}4\approx1,545$
или, если принять $sin\frac{\pi}{10}=\frac{\pi}{10}$, то $y(\frac{\pi}{10})\approx\frac{\pi}2\approx1{,}571$;
$y(\frac{\pi}6)=1{,}5$;
$y(\frac{\pi}2)=5$ - наибольшее значение функции на отрезке.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2011, 18:13 


26/03/11
18
Спасибо всем огромное!
У меня на тоже самое задание ещё один пример. Я попыталась его решить, буду очень рада, если Вы проверите. Просто я не уверена.

$y=1/sinx$ на отрезке $\pi/2 ; 3\pi/2$
Я произвела $y'=-cosx/(sinx)^2$


$\ cosx=0$ => $x=\pi/2+\pi*n$
На заданном отрезке $x=\pi/2; x=3\pi/2$
$y(\pi/2)=1;$
$y(3\pi/2)=-1;$ наименьшее значение
Но есть ещё одна критическая точка $\ sinx=0$ => $x=\pi$
$y(\pi)=∞$ наибольшее значение



Правильно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2011, 18:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/03/10
595
Одесса, Украина
А Вы уверены, что Ваша функция определена в точке $x=\pi$?
Что Вы знаете о точках разрыва?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение29.03.2011, 18:23 
Заблокирован по собственному желанию
Аватара пользователя


18/05/09
3612
spaits,

Вы много пишете; ну научитесь же тригонометрию грамотно и красиво писать: \sin x, \tg x: палка перед и пробел после имени функции. \ln x так же будет.

-- 29 мар 2011, 19:24 --

viktorija478, Вы тоже присоединяйтесь.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 35 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group