Стандартная задача на мощность

[Профессор Снэйп]

caxap в сообщении #427988 писал(а):

В каждом промежутке скачка (между непрерывными участками) возьмём рациональную точку.

Вот это место вызывает удивление.

Padawan совершенно правильно замечал, монотонная функция может быть разрывна, к примеру, в каждой рациональной точке. Или, допустим, на множестве точек $\{ \sqrt{2} + q : q \in \mathbb{Q} \}$. Какие Вы там "промежутки скачка" и "непрерывные участки" искать собираетесь?

[caxap]

Профессор Снэйп
ОК, извиняюсь, беру ту часть доказательства назад.

(Вопрос)

Профессор Снэйп в сообщении #427999 писал(а):

монотонная функция может быть разрывна, к примеру, в каждой рациональной точке.

А можно пример такой функции, чтобы "пощупать"? (Как я понимаю, скачок в каждой т.р. должен быть всё таки ненулевой, иначе какой же это скачок. А других вариантов разрыва кроме скачка, как я понимаю, не может быть.)

[Профессор Снэйп]

caxap в сообщении #428004 писал(а):

А можно пример такой функции, чтобы "пощупать"?

Пусть $\mathbb{Q} = \{ q_0, q_1, q_2, \ldots \}$ --- перечисление множества рациональных чисел без повторений. Полагаем

$$ f(x) = \sum_{i : q_i < x } \dfrac{1}{2^i} $$

для всех $x \in \mathbb{R}$.

-- Вс мар 27, 2011 16:40:12 --

P. S. Вот ведь придумали Сахар с Падаваном проблему на пустом месте

-- Вс мар 27, 2011 16:58:38 --

Давайте я попробую найденное, уже, в общем-то, решение изложить чуть аккуратнее. Напомню, что $X^Y$ обозначает множество всех функций из $Y$ в $X$.

1) Если функция $f$ монотонна, то множество её точек разрыва не более чем счётно. Действительно, сопоставим каждой точке разрыва $x$ какое-нибудь рациональное число $q_x$ из интервала $(\lim_{y \to x -0} f(y), \lim_{y \to x + 0} f(y) )$. Получим инъекцию из множества точек разрыва $f$ в множество рациональных чисел.

2) Пусть $M$ --- множество не более чем счётных подмножеств действительной прямой. Тогда $M$ континуально. В самом деле, каждый элемент $M$, за исключением пустого множества, является областью значений некоторой функции из $\mathbb{N}$ в $\mathbb{R}$, а функций из $\mathbb{N}$ в $\mathbb{R}$ ---континуум.

3) Пусть для $m \in M$ $F_m$ обозначает множество всех монотонных функций, у которых множество точек разрыва совпадает с $m$. Тогда множество $F_m$ не более чем континуально. Действительно, если каждой функции $f \in F_m$ сопоставить её ограничение на $\mathbb{Q} \cup m$, то получится инъекция из $F_m$ в континуальное множество $\mathbb{R}^{\mathbb{Q} \cup m }$.

4) Множество всех монотонных функций равно $\bigcup_{m \in M} F_m$ и имеет мощность не больше континуума, как континуальное объединение не более чем континуальных множеств. То, что монотонных функций не меньше континуума, очевидно.

[Профессор Снэйп]

Не только про мощность, но всё равно близко к теме.

Частичную функцию $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ (то есть функцию из $M$ в $\mathbb{R}$ для некоторого $M \subseteq \mathbb{R}^n$) назовём почти непрерывной, если она определена на открытом множестве и непрерывна на своей области определения.

1 (довольно просто). Доказать, что существует ровно континуум почти непрерывных функций.

2 (уже интереснее). Существует ли почти непрерывная функция $\varphi : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ такая, что любая почти непрерывная функция $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ имеет вид $f(y) = \varphi(x_0,y)$ для некоторого $x_0 \in \mathbb{R}$?

3 (совсем просто). Показать, что если почти непрерывность заменить на обычную непрерывность (другими словами, требовать от непрерывных функций, чтобы они были всюду определены), то ответ на вопрос предыдущего пункта отрицателен.

4 (вроде классический вопрос и есть даже какая-то недетская теория по его поводу). Пусть $f$ --- всюду определённая (но не обязательно непрерывная) функция из $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$. Какими свойствами должно обладать множество точек разрыва функции $f$?

[Padawan]

4. $F_\sigma$ -- объединение счетного числа замкнутых.

[Профессор Снэйп]

Padawan в сообщении #433060 писал(а):

4. $F_\sigma$ -- объединение счетного числа замкнутых.

А как доказывается?

[Null]

Ну в одну сторону просто оно объединение $F_n=\{x|\forall \epsilon>0\exists y:|x-y|<\epsilon,|f(x)-f(y)|>\frac{1}{n}\}$

[Профессор Снэйп]

А почему $F_n$ замкнуто?

[Хорхе]

Ну там строгое неравенство на нестрогое надо поменять, а так вроде замкнуто. Брехня.

Вот так точно замкнуто:
$F_n = \{x\mid \forall \varepsilon>0\ \exists x',x''\in B(x,\varepsilon): |f(x')-f(x'')|\ge 1/n\}$.

[Null]

Да у меня неправильно было, контрпример строился.