смысл амплитуды перехода свободной частицы

[Munin]

Верно. Надо же. А как её нормировать правильно?

[type2b]

Думаю, как волновую функцию непрерывного спектра, $\langle\psi_a|\psi_b\rangle=\delta(a-b)$, т.е. в данном случае, например, так

$$\langle \psi_{x_1}|\psi_{x_2}\rangle=\int{\rm d}x\frac{1}{\sqrt{2}}\delta(x-x_1)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\delta(x-x_2)=\delta(x_1-x_2)\,.$$

Но это всё не физика. По физике надо свернуть $G(x,y)$ по $y$ с нормированной волновой функцией, локализованной в малой области вблизи нуля.
Но тот факт, что начальное состояние не нормировано, не отменяет парадокса, что частицу при любом $t>0$ с равной вероятностью можно обнаружить в любой точке $x$. Как это лечится, я и пытался объяснить.

[Munin]

type2b в сообщении #427286 писал(а):

Но тот факт, что начальное состояние не нормировано, не отменяет парадокса, что частицу при любом $t>0$ с равной вероятностью можно обнаружить в любой точке $x$.

Топикстартера, как я понял, волнует уже не это, а убывающий характер этой вероятности. То есть, деваться ей некуда, но величина меняется.

[ИгорЪ]

Munin. Я ошибся с корнем, $\langle{x,t}|{0,0}\rangle=\left(\frac {\sqrt{m}}{\sqrt{2i\pi th}}\right)e^{-i\frac{mx^2}{2ht}}$, тогда при устремлении времени к нулю как раз будет дельта функция - начальное состояние. Разумеется ненормируемое. (насколько это страшно я не понимаю). Начальный пакет в виде дельта функции расплывается не мгновенно, и как раз дает временную зависимость.
type2b. Сомневаюсь в правильности и даже возможности вычисления квадрата дельта функции.

P.S. Похоже мои вопросы связаны с ненормируемостью, а значит с другим способом придания физ.смысла, чем в нормируемом случае.

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #427660 писал(а):

type2b. Сомневаюсь в правильности и даже возможности вычисления квадрата дельта функции.

Просто он зависит от того, в каком смысле его воспринимать и вычислять.

А вот про "физический смысл ненормируемого случая" как раз type2b расспрашивайте.

-- 26.03.2011 18:53:40 --

type2b в сообщении #427286 писал(а):

Думаю, как волновую функцию непрерывного спектра, $\langle\psi_a|\psi_b\rangle=\delta(a-b)$, т.е. в данном случае, например, так

$$\langle \psi_{x_1}|\psi_{x_2}\rangle=\int{\rm d}x\frac{1}{\sqrt{2}}\delta(x-x_1)\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}\delta(x-x_2)=\delta(x_1-x_2)\,.$$

Поскольку у вас всё равно дельта-функцией осталась амплитуда, а не плотность вероятности, получается, в этом формализме нормировка $\int\psi^*\psi\,dV=1$ вообще недостижима? Или всё-таки как-то выкручиваются? Типа $\langle x_1|x_2\rangle=\sqrt{\delta(x_1-x_2)}$...

[obar]

ИгорЪ в сообщении #427660 писал(а):

Похоже мои вопросы связаны с ненормируемостью, а значит с другим способом придания физ.смысла, чем в нормируемом случае

Странно, с книгой Фйнмана и Хигса вы знакомы, а задачу 3.1 к параграфу не заметили? Тогда посмотрите, там есть комментарии и указания. Решение не представляет сложности.

[ИгорЪ]

obar
Спасибо, посмотрел и ...ничего не понял. Ясно , что по принципу неопределенности локализованная в начальный момент частица имеет равновероятные импульсы выхода. Но о каком способе нормировки и что есть относительная вероятность автор не говорит, или я не вижу? Между тем именно из этих понятий предлагается всё получить. Формула 3.6 вообще загадка -домножили на $dx$ с двух сторон...Подумаю.

[egor20]

Ни корень квадратный, ни квадрат от дельта-функции не вычисляются (Рихтмайер т.1)

[obar]

Это у математиков не вычисляется. Физики могут делать все, что приводит к разумным результатам (Дирак $\delta$-функцию и в степень возводил и в ряд Маклорена раскладывал). Возведение $\delta$-функции в квадрат -- стандартная процедура в теории рассеяния. Наверное не случайно и сама $\delta$-функция -- изобретение физиков.

[Munin]

obar
Ну и где прочитать про такие техники?

[obar]

В общем случае амплитуда перехода из начального состояния $i$ в конечное $f$ дается выражением

$$ S_{if}=-2\pi i T_{if}\delta(E_f-E_i). $$

Для вычисления вероятности перехода нужно вычислить $|S_{if}|^2\sim\infty$. О том, как понимается эта бесконечность и как от нее переходят к конечной величине (вероятности перехода в единицу времени) можно прочитать в любом учебник по КМ (например, Давыдов "КМ" или ЛЛ, т4).

[myhand]

obar в сообщении #447090 писал(а):

О том, как понимается эта бесконечность и как от нее переходят к конечной величине (вероятности перехода в единицу времени) можно прочитать в любом учебник по КМ

Никаким квадратом дельта-функции там не пахнет, в математическом смысле (т.е. неким произведением обобщенных функций). Это просто договоренность об определенном предельном переходе.