смысл амплитуды перехода свободной частицы

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #426102 писал(а):

разве? Мгновенная диффузия?

Да. Снова азбучные вещи для вас оказываются удивительными открытиями.

ИгорЪ в сообщении #426102 писал(а):

Как объяснить зависимость перехода от времени?

Зависимость нуля от времени? А он разве зависит? Нуль - он и есть нуль.

Объяснить всё можно, если обратиться к более адекватным и более адекватно применённым моделям, которые отображают реальную физическую ситуацию с теми деталями, которые в вашем упрощении отброшены. Например, реальный волновой пакет, похожий на дельта-функцию (но всё же не она), расплывается быстро, но не только: он ещё и продолжает расплываться. Можно его считать размазанным по длине $L=\Delta v\,t,$ где $\Delta v\gtrsim\frac{1}{m}\hbar/\Delta x_0$ - неопределённость скоростей, ограниченная снизу соотношением неопределённостей и начальной протяжённостью пакета. А мгновенная диффузия - это следствие приближения, когда процессы диффузии и теплопередачи считаются медленными по сравнению со скоростью звука или со скоростью молекул в среде. Тогда первые фононы или первые молекулы могут пройти со скоростью порядка скорости звука через весь объём среды, и с точки зрения параболического уравнения это произойдёт мгновенно. То же и с уравнением Шрёдингера: реально скорость частицы ограничена сверху скоростью света, но уравнение этого "не чувствует", и считает граничную скорость бесконечно большой.

[ИгорЪ]

Если брать волновой пакет не в виде дельта-функции, разумеется временная зависимость есть. Непонятно как объяснить, что она появится при мгновенном расплывании дельта функции, известные формулы то говорят что она есть $P=C/T$. О мгновенной диффузии я подумаю.

Munin в сообщении #426242 писал(а):

Да. Снова азбучные вещи для вас оказываются удивительными открытиями.

Вам не даёт покоя уровень моих знаний? Или вы любуетесь своими? Призываю вас воздерживаться от таких замечаний.

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #426396 писал(а):

Вам не даёт покоя уровень моих знаний?

Сам по себе - даёт. Но вот его сочетание с вашим поведением иногда раздражает. Впрочем, в данной теме всё лучше, чем обычно. Приношу извинения за свои замечания. Инерция-с.

ИгорЪ в сообщении #426396 писал(а):

Если брать волновой пакет не в виде дельта-функции, разумеется временная зависимость есть. Непонятно как объяснить, что она появится при мгновенном расплывании дельта функции

Непонятно, как объяснить то, чего нет. Вы говорите, что зависимость есть, если брать волновой пакет не в виде дельта-функции. И тут же нарушаете это условие.

ИгорЪ в сообщении #426396 писал(а):

известные формулы то говорят что она есть $P=C/T$.

Ещё раз. Известные формулы говорят, что она есть $p=0/t=0=\mathrm{const}(t).$ Какие проблемы?

Ещё, напомню, что дельта-функция - это не "настоящая" функция, она имеет смысл только при интегрировании с чем-то. В частности, интеграл от неё по всей числовой прямой - конечен. Какие проблемы, что в результате "расплывания дельта-пакета" возникает такая функция, которая в любой точке нуль, но при интегрировании по всей числовой прямой даёт не нуль? :-) И заметьте, никакой временной зависимости, поскольку в любой момент времени она нормирована на единицу.

ИгорЪ в сообщении #426396 писал(а):

О мгновенной диффузии я подумаю.

Ето да, ето прекрасная тема, подумайте. Заодно подумайте не о физической стороне, а о математической: о характеристиках, о форме областей для корректной задачи Коши, о группе симметрий уравнений (последняя тема вам должна понравиться). Ещё с этим связано, что уравнения диффузии решаются по времени только вперёд, но не назад. Есть ещё что-то вкусное, но я не помню.

[ИгорЪ]

Munin в сообщении #426414 писал(а):

Вы говорите, что зависимость есть, если брать волновой пакет не в виде дельта-функции. И тут же нарушаете это условие.

Я не нарушаю, а рассматриваю другой случай.Берем частицу в точке ноль, её в.ф. - дельта функция. Считая её бесконечно узким волновым пакетом, наблюдаем как он мгновенно расплывается. Временной зависимости нет. А в амплитуде $<X,T|0,0>$ она есть. Как быть?
А почему у вас ноль в числителе? Может мы о разном говорим?

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #426528 писал(а):

А в амплитуде $<X,T|0,0>$ она есть. Как быть?

А откуда вы эту амплитуду взяли? Может, вы взяли не то? Я-то полагаю, что она как раз нуль. Не нуль она только в случае, если учитывать релятивистское поведение или с бесконечностями аккуратно возиться.

TeXническая деталь: угловые скобки для бра-кет принято записывать как \langle\rangle. То есть: $\langle X,T|0,0\rangle.$

[Someone]

По поводу диффузии. Решение уравнения диффузии

$$\frac{\partial u}{\partial t}=a^2\Delta u,$$

которое описывает диффузионное расплывание в однородном трёхмерном пространстве точечной единичной массы, помещённой в начале координат, имеет вид

$$u=\left(\frac 1{2a\sqrt{\pi t}}\right)^3e^{-\frac{x^2+y^2+z^2}{4a^2t}}.$$

Я не вижу здесь мгновенного расплывания в $u\equiv 0$.
Или я чего-то не понял?

[ИгорЪ]

вот Someone
написал эту амплитуду, с поправкой на мнимую единицу под корнем и в экспоненте, трехмерие и постоянную Планка вместо к. диффузии

[Munin]

Someone
Да, спасибо. Осталось выяснить, где и что я загнул.

То, что я говорил про уравнение диффузии - это тот факт, что $u(x,y,z,t)\ne 0$ в любой точке $(x,y,z)$ при любом сколь угодно малом $t>0.$

ИгорЪ
Вы всё-таки напишите, что вы имеете в виду, а то ваши словесные описания "с поправкой на пятое-десятое" всегда невнятны. Заметьте, формула Someone не имеет вида $u=C/t,$ и даже $u^2=C/t.$

[ИгорЪ]

Амплитуда перехода $\langle{x,t}|{0,0}\rangle=\left(\frac m{\sqrt{2i\pi th}}\right)e^{-i\frac{mx^2}{2ht}}$
квадрат модуля амплитуды $P=C/t$. Вопросы те же.

[Munin]

Откуда вы взяли эту амплитуду, кроме как проделали незаконные действия над выражением Someone? Нормировать кто, Пушкин будет? В формуле Someone с нормировкой всё в порядке.

[ИгорЪ]

Это известная формула амплитуды перехода св. частицы из Фейнмана,Хибса или из начала любого другого текста про интегралы по путям. Про нормировку этой амплитуды я точно не знаю, (подскажите кто знает) только могу сказать, что только в написанном виде она удовлетворяет условию зацепления или как там его называют Эйнштейна-Смолуховского?

По другому - это почти, (ступеньки$\theta(t)$ не хватает) ф-ция Грина уравнения Шредингера, или решение УШ с начальным условием в виде дельта функции. Связь с уравнениями диффузии или теплопроводности как обычно - через $it$. Нормировка в гриновском подходе - это нормировка гауссиана на единицу, т.е. в квадрат возводить не надо. Всё это см. любой талмуд по урматам.

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #426969 писал(а):

Это известная формула амплитуды перехода св. частицы из Фейнмана,Хибса или из начала любого другого текста про интегралы по путям.

Угу. НЕ НОРМИРОВАННАЯ в смысле волновой функции.

ИгорЪ в сообщении #426969 писал(а):

По другому - это почти, (ступеньки не хватает) ф-ция Грина уравнения Шредингера, или решение УШ с начальным условием в виде дельта функции.

Одна беда: это не решение УШ с начальным условием в виде дельта-функции. Пока не нормировали. Когда отнормируете - коэффициент изменится, в частности, зависимость $p=C/t$ исчезнет.

ИгорЪ в сообщении #426969 писал(а):

Нормировка в гриновском подходе - это нормировка гауссиана на единицу, т.е. в квадрат возводить не надо.

А в УШ - другая. И физический смысл известен - для другой. Вот и состыковались, так?

ИгорЪ в сообщении #426969 писал(а):

Всё это см. любой талмуд по урматам.

Назовите тот конкретный талмуд, которым пользуетесь вы. Или несколько талмудов.

[type2b]

Это хороший вопрос. Написанная формула для амплитуды верна, и с нормировкой там все в порядке. В этом можно убедиться, проверив формулу склейки, или заглянув в Фейнман-Хибс.

При реальном измерении у прибора имеется конечная точность, поэтому вероятность перехода в точку обсуждать нефизично. Пусть характерная погрешность прибора по иксу равна $\epsilon$. Тогда надо амплитуду перехода размазать по отрезочку длиной $\epsilon$, а потом уже брать квадрат модуля. При $t\rightarrow 0$ быстро осциллирующая экспонента будет забивать этот интеграл, если отрезок взят не в нуле. Можете сами с этим поиграть и увидеть, как вероятность найти частицу при малых временах спадает с расстоянием, при данном $\epsilon$.

[Munin]

type2b в сообщении #427177 писал(а):

При реальном измерении у прибора имеется конечная точность, поэтому вероятность перехода в точку обсуждать нефизично.

А как это на нормировку-то влияет?

[type2b]

Так $\psi(0,x)=\delta(x)$ тоже не нормирована: $\int (\delta(x))^2=\delta(0)$.