Пожалуйста, найдите ошибку (задача на построение функции)

[Xenia1996]

Построить функцию из множества всех положительных рациональных чисел в него же, удовлетворяющую
$f(f(x))=\frac{1}{x}$ для всех положительных рациональных x.

(Оффтоп)

Любое положительное рациональное число можно представить в виде $\frac{n}{m}$, где n и m - натуральные числа. После сокращения, и числитель и знаменатель не могут оба быть чётными. Назовём число розовым, если после сокращения либо и числитель и знаменатель нечётны, либо в разложении на простые сомножители чётного числителя (знаменателя) число двоек чётно. В противном случае, назовём число фиолетовым.

Моя функция строится так:

$f(x)=1$, если $x=1$,
$f(x)=\frac{1}{0.5x}$, если $x>1$ и розовое,
$f(x)=2x$, если $x>1$ и фиолетовое,
$f(x)=\frac{1}{2x}$, если $x<1$ и розовое,
$f(x)=0.5x$, если $x<1$ и фиолетовое,

Почему я думаю, что ошиблась? Да потому, что мой знакомый студент-математик утверждает, что функцию, требуемую в условии задачи, построить нельзя.

[Sonic86]

Я эту задачу уже здесь видел

[ИСН]

Нельзя непрерывную, а так-то что ж.

[Xenia1996]

ИСН в сообщении #425707 писал(а):

Нельзя непрерывную, а так-то что ж.

Уже нашла ошибку
Если икс больше 1, но меньше 2, это не работает.

-- Пн мар 21, 2011 13:16:48 --


А если вместо x взять $|x-1|$?

-- Пн мар 21, 2011 13:35:49 --

Пишу исправленное решение:

(Оффтоп)

Назовём $x$ розовым, если после сокращения $|x-1|$ либо и числитель и знаменатель нечётны, либо в разложении на простые сомножители чётного числителя (знаменателя) число двоек чётно. В противном случае, назовём число фиолетовым.

Моя функция строится так:

$f(x)=1$, если $x=1$,
$f(x)=\frac{1}{0.5|x-1|}$, если $x>1$ и розовое,
$f(x)=2|x-1|$, если $x>1$ и фиолетовое,
$f(x)=\frac{1}{2|x-1|}$, если $x<1$ и розовое,
$f(x)=0.5|x-1|$, если $x<1$ и фиолетовое,

[Sonic86]

topic41620.html

-- Пн мар 21, 2011 16:38:55 --

topic23109.html

-- Пн мар 21, 2011 16:39:22 --

Поиск по формулам рулит! Офигенная вещь! Нашел все и сразу!

-- Пн мар 21, 2011 16:53:34 --

Xenia1996, у Вас все-таки $f(2)=2$

[Vince Diesel]

Раз нельзя построить отображение, непрерывное в стандартной норме, а здесь $\mathbb Q$, то естественно возникает вопрос, а можно ли построить отображение, непрерывное в какой-нибудь $p$-адической метрике? Но это уже олимпиадная задача, наверное)

[Sonic86]

Задача и так олимпиадная почти - с IMO:
http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=29050
тут ссылка есть