Функциональное уравнение

[id]

Копался в старых черновиках, нашлось уравнение, которое, видимо, откуда-то переписал но так и не начал решать. Вот:

Пусть $f: \mathbb{Q}^+ \to \mathbb{Q}^+$ ( $\mathbb{Q}^+$ положительные рациональные числа ).
При этом $\forall x,y \in \mathbb{Q}^+$ $f(xf(y)) = \frac {f(x)} y$
Построить такую $f$ ( ну или еще лучше решить это уравнение ).

Соображения:
Пусть $y=1$. Тогда $f(xf(1)) = f(x)$.
Далее, пусть $x=1$. Тогда $f(f(y)) = \frac {f(1)} y \Rightarrow f(1) \equiv yf(f(y))$
Подставляем в первое, получаем $f(xyf(f(y))) = f(x) = \frac {f(xy)} {f(y)} \Rightarrow f(xy) = f(x)f(y)$.
Совершенно просто устанавливается, что $f(f(y)) = \frac 1 y$.

Более того, исходное уравнение $\forall x,y \in \mathbb{Q}^+$ $f(xf(y)) = \frac {f(x)} y$ эквивалентно системе уравнений $\forall x,y \in \mathbb{Q}^+$
1) $f(xy) = f(x)f(y)$
2) $f(f(y)) = \frac 1 y$

Последнее выглядит в некотором смысле лучше, чем исходное, но ответа по-прежнему не дает. В каком направлении подумать? Никаких ограничений на $f$, помимо указанных, нет.

[Pyphagor]

По-моему, второе дает биективность $f$. Тогда $f$ автоморфизм. Может оттуда что-нибудь извлечь можно. Хотя, наверное, вряд ли.

[Sonic86]

id, Вы это уравнение уже почти решили.
Если функция $f$ мультипликативна, то достаточно определить ее значения на простых числах, а на остальных значения будут находиться по мультипликативности. После этого определения условие мультипликативности Вы удовлетворили - его можно не рассматривать.
Второе условие Вы и сами сможете - надо показать, что функция переводит простые числа в простые числа в степени $\pm 1$, а затем еще разбить множество простых на 2 класса: $f$ будет отображать числа одного класса в числа другого класса, причем в одну сторону степень простого будет сохраняться, а в другую - инвертироваться.
Функций будет очень много, все, видимо, некрасивые (ну непрерывными их сделать не получится...)

[id]

Хм. Насчет мультипликативности понятно. Образ простого числа - непременно простое число в степени $\pm 1$? Если так, то да, оставшаяся часть тоже понятна, однако сам этот момент пока еще не вывел.

-- Вс май 31, 2009 02:44:14 --

Pyphagor
Автоморфизм, да. Из второго условия легко находится сюръективность, да и инъективность тоже.

[id]

Задачка, кстати, с одной IMO, если кому-то интересно.

P.S. Все-таки, действительно ли "Образ простого числа - непременно простое число в степени $\pm 1$"? Оно, наверно, очевидно, но что-то не доказывается.