Построить функцию из множества всех положительных рациональных чисел в него же, удовлетворяющую
![$f(f(x))=\frac{1}{x}$ $f(f(x))=\frac{1}{x}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/0/c707b95179004a0f7128a25e20615aa982.png)
для всех положительных рациональных x.
(Оффтоп)
Любое положительное рациональное число можно представить в виде
![$\frac{n}{m}$ $\frac{n}{m}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/a/4/0a4e11d55ae109d040fb063a985deed782.png)
, где n и m - натуральные числа. После сокращения, и числитель и знаменатель не могут оба быть чётными. Назовём число розовым, если после сокращения либо и числитель и знаменатель нечётны, либо в разложении на простые сомножители чётного числителя (знаменателя) число двоек чётно. В противном случае, назовём число фиолетовым.
Моя функция строится так:
![$f(x)=1$ $f(x)=1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/d/91d51c842e23ec24be6f445cee32610982.png)
, если
![$x=1$ $x=1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/4/1/f41f51aeb9528548f1409a3a0ec6164082.png)
,
![$f(x)=\frac{1}{0.5x}$ $f(x)=\frac{1}{0.5x}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/6/5062508ba70f4b1d2861a3ef8eb76ace82.png)
, если
![$x>1$ $x>1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/c/4dc5e20efc61b4c5b91f5cccf54d554682.png)
и розовое,
![$f(x)=2x$ $f(x)=2x$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/3/0c35965ecc2e255bfdce5471c3f9225b82.png)
, если
![$x>1$ $x>1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/c/4dc5e20efc61b4c5b91f5cccf54d554682.png)
и фиолетовое,
![$f(x)=\frac{1}{2x}$ $f(x)=\frac{1}{2x}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/6/e/96ece6fab7c414c5850791f75c735b5582.png)
, если
![$x<1$ $x<1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/7/df70556ac812c1599d4d25d1e9b9c53082.png)
и розовое,
![$f(x)=0.5x$ $f(x)=0.5x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/5/9550a21f2dc561f578b38556137315de82.png)
, если
![$x<1$ $x<1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/f/7/df70556ac812c1599d4d25d1e9b9c53082.png)
и фиолетовое,
Почему я думаю, что ошиблась? Да потому, что мой знакомый студент-математик утверждает, что функцию, требуемую в условии задачи, построить нельзя.