является ли функция характеристической

[profrotter]

--mS-- в сообщении #309511 писал(а):

Padawan в сообщении #309508 писал(а):

Обратное преобразование Фурье посчитать

В надежде получить что? Бьюсь об заклад, что не плотность, ибо её тут быть не может.

Upd: обычно с гауссовской сворачивают, финитность вряд ли сильно нужна. А дальше?

Надеюсь всё же, что благодаря моей неосведомлённости, вы теперь сможете преодолеть мышление штампами и увидеть досадное недоразумение в приведённой цитате.
Главное не изучить тервер а понять, что изучено.
Благодарю за интересную беседу.

[--mS--]

profrotter в сообщении #424025 писал(а):

Надеюсь всё же, что благодаря моей неосведомлённости, вы теперь сможете преодолеть мышление штампами и увидеть досадное недоразумение в приведённой цитате.

Вы можете сколько угодно называть дельта-функцию плотностью. Однако студент-математик, изучающий теорию вероятностей, находится в иной системе понятий. В которой чётко разграничены дискретные и абсолютно непрерывные по мере Лебега распределения. И тому есть множество причин, излагать которые не вижу смысла.

Кстати, Вы только что ратовали за то, что студент не должен знать ничего про равномерную непрерывность, а теперь предлагаете ему дельта-функции? Адекватно, ничего не скажу.

[profrotter]

--mS-- в сообщении #424093 писал(а):

Кстати, Вы только что ратовали за то, что студент не должен знать ничего про равномерную непрерывность, а теперь предлагаете ему дельта-функции? Адекватно, ничего не скажу.

Я рад снова видеть вас в теме с готовностью дискутировать безотносительно характеристик, касаемых меня лично. Мне с вами интересно. Студент должен знать всё о чём его могут спросить, но прежде всего он должен овладевать системой понятий, их характеризацией и взаимосвязями между ними и не должен быть ограничен узким кругом того раздела дисциплины, которую он изучает в данный момент и не должен также представлять собою ходячий справочник, который постоянно помнит большое кличество функций не удовлетворяющих тому или иному условию.
В исходной задаче требовалось установить является ли заданнная функция ХФ какой-либо случайной величины. Такую задачу студент получает, когда вводится понятие ХФ. И целью решения подобных задач является закрепление понимания взаимосвязи ХФ и ПРВ, а также закрепления знаний о свойствах ХФ.
Показать, что заданная функция является ХФ можно двумя способами: либо следует отыскать соответствующую ей по Фурье функцию и проверить, что она удовлетворяет условию нормировки и положительна, либо доказать неотрицательную определённость заданной функции и сослаться на теорему Бохнера-Хинчина. При этом использование теорем о представлении СВ в виде линейной комбинации других СВ Радемахера никак не способствует пониманию основных свойств ХФ, более того, как я выше указал ваше решение содержит завуалированный ряд Фурье, то есть фактически соответствует первому способу.
Когда требуется показать, что заданная функция не может являться ХФ какой-либо СВ, то достаточно установить невыполнение одного из свойств ХФ: единичное значение в нуле, ограниченность по модулю единицей,получение корректных значений для моментов ПРВ, равномерную непрерывность. Проверка корректности значений моментов, вычисляемых через заданную функцию является математически-равноправной проверке равномерной непрерывности в том смысле, что невыполнение любого из этих свойств может служить одинаковым основанием для признания непригодности заданной функции. Однако, проверка корректности значений моментов является формализованной: дифференцируй и проверяй. Равномерную непрерывность, в общем случае, приходится доказывать, что ставит успех решения задачи в зависимость от творческого потенциала студента, от его способности "догадываться".
В рамках обсуждения "построения" СВ предлагаю рассмотреть простую задачу: построим СВ с ХФ вида:

$$\theta(t)=\sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty}\theta_0(t-nT),$$

где $\theta_0(t)=1-2\frac {|t|} \tau, |t|\leqslant \frac \tau 2.$

Я раскладываю заданную ХФ в ряд Фурье:

$$\theta(t)=\frac \tau {2T}+\sum\limits_{k=1}^{+\infty} \frac \tau T sinc^2(\frac {\pi kT} {2T})cos(\frac {2\pi k\tau} T t),$$

откуда получаю закон распределения СВ: $P_0=\frac \tau {2T}; P_{\pm k}=\frac \tau {2T} sinc^2(\frac {\pi kT} {2T}); x_0=0; x_{\pm k}=\pm \frac {2\pi k} T.$
Как построите СВ вы?

[--mS--]

profrotter в сообщении #424337 писал(а):

Я рад снова видеть вас в теме с готовностью дискутировать безотносительно характеристик, касаемых меня лично. Мне с вами интересно.

Увы, не могу ответить тем же. Далее - без меня.

profrotter в сообщении #424337 писал(а):

Студент должен знать всё о чём его могут спросить, но прежде всего он должен овладевать системой понятий, их характеризацией и взаимосвязями между ними и не должен быть ограничен узким кругом того раздела дисциплины, которую он изучает в данный момент и не должен также представлять собою ходячий справочник, который постоянно помнит большое кличество функций не удовлетворяющих тому или иному условию.

Совершенно справедливо. Однако новое знание, изучая дисциплину, нужно получать. А Вы требуете, чтобы вместо этого студент обходился только полученными ранее знаниями. Ваши методы - то же самое, что доказывать в рамках ТВ теорему Вейерштрасса о приближении непрерывной на отрезке функции полиномами средствами матанализа. Для теоремы результат один и тот же, для студента - кусок тервера прошёл мимо.

profrotter в сообщении #424337 писал(а):

Такую задачу студент получает, когда вводится понятие ХФ. И целью решения подобных задач является закрепление понимания взаимосвязи ХФ и ПРВ, а также закрепления знаний о свойствах ХФ.

Очень узкий взгляд на случайные величины. Такое ощущение, что изолированная случайная величина - это наше всё. Увы. Одна с.в. редко когда бывает интересна. Обычно их бывает много, они как-то взаимосвязаны, какие-то преобразования их всё время приходится делать, и боьшинство утверждений ТВ - это как раз утверждения НЕ про одну-единственную, уникальную с.в.

profrotter в сообщении #424337 писал(а):

Показать, что заданная функция является ХФ можно двумя способами: либо следует отыскать соответствующую ей по Фурье функцию и проверить, что она удовлетворяет условию нормировки и положительна, либо доказать неотрицательную определённость заданной функции и сослаться на теорему Бохнера-Хинчина.

Крайне узкий взгляд. См. две страницы дискуссии. Вы сами-то можете сравнить хотя бы по объёму своё решение и моё? Какой смысл проявлять такую упёртость, мне не понятно. Ну овладели Вы рядами Фурье, но свет клином-то на них не сходится, попробуйте и другие методы изучить! Вдруг да выяснится, что кувалда - не самый подходящий инструмент для забивания гвоздей?

profrotter в сообщении #424337 писал(а):

Как построите СВ вы?

А зачем здесь строить СВ? То, что эта функция - х.ф., доказывается примерно так, как Вы это и сделали. См., например, 2-й том Феллера, пример (в) п.2а параграфа 2 гл. XV.