является ли функция характеристической

[profrotter]

Плотность распределения вероятности и характеристическая функция являются парой преобразований Фурье:

$$\theta(t)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-jxt}dx.$$

Отсюда первая и простейшая проверка основана на условии нормировки: значение характеристической функции в нуле должно быть равно единице -

$$\theta(0)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1.$$

[--mS--]

profrotter в сообщении #423173 писал(а):

Отсюда первая и простейшая проверка основана на условии нормировки: значение характеристической функции в нуле должно быть равно единице

А это к чему? Уж функции, которые в нуле не равны единице, студентам в качестве кандидатов в характеристические функции точно не подсовывают за полной тривиальностью проверки.

[profrotter]

--mS-- в сообщении #423404 писал(а):

profrotter в сообщении #423173 писал(а):

Отсюда первая и простейшая проверка основана на условии нормировки: значение характеристической функции в нуле должно быть равно единице

А это к чему? Уж функции, которые в нуле не равны единице, студентам в качестве кандидатов в характеристические функции точно не подсовывают за полной тривиальностью проверки.

Грешен - не досмотрел, что заданная функция в нуле итак равна единице, кроме того действительная и чётная. Мне на скорую руку показалось, что она равна 4/5

Тогда, предполагаю, тут следует определить первый начальный момент ПРВ (он выражается через производную ХФ). Если он комплексный, то заданная функция не является характеристической функцией действительной СВ. Если действительный, то определить второй начальный момент и найти второй центральный момент ПРВ. Если он получится комплексным или отрицательным - не является ХФ. Если положителен - думать дальше.
$n$-й начальный момент ПРВ определяется по формуле:

$$m_n=\frac 1{i^n} \frac {d^n\theta} {dt^n}(0).$$

Получается, что у действительной ХФ первая производная в нуле должна быть равна нулю, и первый начальный момент ПРВ тоже равен нулю. Тогда второй центральный момент равен второму начальному моменту, а вторая производная действительной ХФ в нуле должна быть отрицательна. Конечно, это простые проверки, которые лишь иногда помогут установить, что рассматриваемая функция не может являться ХФ.

[--mS--]

profrotter в сообщении #423460 писал(а):

Тогда, предполагаю, тут следует определить первый начальный момент ПРВ (он выражается через производную ХФ). Если он комплексный, то заданная функция не является характеристической функцией действительной СВ.
...
Конечно, это простые проверки, которые лишь иногда помогут установить, что рассматриваемая функция не может являться ХФ.

Указанная функция (где 4, 5 и косинус, а то тут ещё одна была на предыдущей странице) с очевидностью является характеристической. Как это доказать, изложено в начале темы.

[profrotter]

--mS-- в сообщении #423475 писал(а):

profrotter в сообщении #423460 писал(а):

Тогда, предполагаю, тут следует определить первый начальный момент ПРВ (он выражается через производную ХФ). Если он комплексный, то заданная функция не является характеристической функцией действительной СВ.
...
Конечно, это простые проверки, которые лишь иногда помогут установить, что рассматриваемая функция не может являться ХФ.

Указанная функция (где 4, 5 и косинус, а то тут ещё одна была на предыдущей странице) с очевидностью является характеристической. Как это доказать, изложено в начале темы.

Осталось теперь с такой же "очевидностью" разложить в ряд по степеням косинуса.
И не понятно тогда, что вы имели в виду, когда говорили, что "студент должен учиться строить случайную величину с заданной ХФ"?

-- Ср мар 16, 2011 12:31:08 --

Да, кстати, касаемо $cos(t^2)$: там вторая производная в нуле равна нулю - не является ХФ.

[--mS--]

profrotter в сообщении #423480 писал(а):

Осталось теперь с такой же "очевидностью" разложить в ряд по степеням косинуса.

А что там раскладывать? Делим числитель и знаменатель на пять и используем формулу суммы геометрической прогрессии $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\ldots$. Всё.

profrotter в сообщении #423480 писал(а):

И не понятно тогда, что вы имели в виду, когда говорили, что "студент должен учиться строить случайную величину с заданной ХФ"?

Ни разу такого не утверждалось. Утверждалось, что студент должен овладеть стандартными приёмами, к числу которых относится в т.ч. и построение случайной величины с данной конкретной х.ф.

Ну например, пусть $\varphi(t)=\cos(t)$. Можете построить случайную величину с данной х.ф.?
А с характеристической функцией $\cos^2(t)$? $\cos^{25}(t)$? $\frac{1}{2}\cos^2(t)+\frac{1}{2}\cos^{25}(t)$? Ну и т.д.

profrotter в сообщении #423480 писал(а):

Да, кстати, касаемо $cos(t^2)$: там вторая производная в нуле равна нулю - не является ХФ.

Каноническим решением в этой задаче считается изложенное выше RIP. Функция не равномерно непрерывна, а должна быть. Остальные методы тоже возможны, но это - поиск нарушенных свойств наудачу, а отсутствие равномерной непрерывности этой функции студенту должно быть видно.

[profrotter]

--mS-- в сообщении #423582 писал(а):

А что там раскладывать? Делим числитель и знаменатель на пять и используем формулу суммы геометрической прогрессии $\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\ldots$. Всё.

А теперь каждую степень косинуса раскладываем:

$$cos^n(t)=\frac 1 {2^n}\sum\limits_{k=0}^nC_n^kcos((n-2k)t)\verb

где $C_n^k$ - количество сочетаний и всё приводим к ряду Фурье. Берём обратное преобразование Фурье с учётом свойства линейности, при этом для каждого косинуса

$$\frac 1 2 (\delta(x-(n-2k))+\delta(x+(n-2k)))\leftrightarrow cos((n-2k)t)\verb

О чём выше и писал Padawan.

--mS-- в сообщении #423582 писал(а):

Ну например, пусть $\varphi(t)=\cos(t)$. Можете построить случайную величину с данной х.ф.?
А с характеристической функцией $\cos^2(t)$? $\cos^{25}(t)$? $\frac{1}{2}\cos^2(t)+\frac{1}{2}\cos^{25}(t)$? Ну и т.д.

Если под построением случайной величины вы понимаете поиск ПРВ по заданной ХФ, то для $\cos^n(t)$ с учётом свойства линейности преобразования Фурье, разложения (1) и пары Фурье (2) получаем ПРВ:

$$f(x)=\frac 1 {2^{n+1}}\sum\limits_{k=0}^nC_n^k (\delta(x-(n-2k))+\delta(x+(n-2k))),$$

которая соответствует дискретной СВ, принимающей значения $\pm(n-2k), k=0,...,n$ с вероятностями $P_k=\frac 1 {2^{n+1}}C_n^k $ При чётном $n$ отдельно для $P_{\frac n 2}=\frac 1 {2^n}C_n^{\frac n 2}$.

(Оффтоп)

1. Надеюсь условие нормировки тут выполнено.
2.Может я тут где и ошибаюсь при определении вероятностей, но думаю не существенно, прошу заранее простить ибо недостаток времени.

--mS-- в сообщении #423582 писал(а):

Каноническим решением в этой задаче считается изложенное выше RIP. Функция не равномерно непрерывна, а должна быть. Остальные методы тоже возможны, но это - поиск нарушенных свойств наудачу, а отсутствие равномерной непрерывности этой функции студенту должно быть видно.

Отсутствие равномерной сходимости студенту потребуется доказать. Всякое каноническое решение, как известно, сравнимо с убиением комара лопатой. Пытливый ум сначала пробует возможные простые проверки и уж потом потом берёт в руки лопату.

[profrotter]

--mS--, а вы можете доказать, что $cos(t^2)$ не является равномерно непрерывной на $\mathbb R$?

[--mS--]

Я не знаю, чем Вы занимались выше. Я бы назвала это всё вырезанием гланд автогеном через...

Зачем вообще со степенью косинуса что-либо делать, раскладывать куда-то и т.п.? Чтобы из теории вероятностей матанализ сделать?
1) Натуральная степень любой характеристической функции есть х.ф. суммы соответствующего числа независимых и одинаково распределённых с.в. с данной х.ф.
2) Выпуклая линейная комбинация х.ф. есть х.ф. "смеси" слагаемых: если $\varphi_k(t)$ суть х.ф., и сумма неотрицательных чисел $\alpha_k$ равна единице, то $\sum_k\alpha_k\varphi_k(t)$ есть характеристическая функция случайной величины $\sum_k I(\nu=k)\cdot \xi_k$, где $\xi_k$ - с.в. с характеристическими функциями $\varphi_k(t)$, а $\nu$ - не зависящая от любой из них величина с дискретным распределением $\mathsf P(\nu=k)=\alpha_k$, и всё это построено на подходящем вероятностном пространстве.

Таким образом, обсуждаемая х.ф. $\frac{4}{5-\cos t}$ есть просто х.ф. суммы $S_\nu = \xi_1+\ldots+\xi_\nu$ случайного числа $\nu$ независимых радемахеровских с.в. $\mathsf P(\xi_k=\pm 1)=1/2$, не зависящих от этой самой $\nu$, которая принимает значения $k=1, 2, \ldots$ с вероятностями $\mathsf P(\nu=k)=\frac{4}{5^k}$. Вот и всё.

А что такое ПРВ я не в курсе, соответственно строить его/её не собиралась.

Разумеется, я могу доказать, что косинус не равномерно непрерывен, это тривиально. Смотрите: взяв $t_1^2=2\pi k$, $t_2^2=2\pi k+\pi/2$, можно выбором достаточно большого $k$ получить сколь угодно малую разность $t_2-t_1$ (разность эта с ростом $k$ стремится к нулю), а разность косинусов $\cos t_1^2 - \cos t_2^2$ равна единице. Всё.

Студент не должен доказывать этот факт. Этот факт должен быть ему хорошо известен из курса математического анализа.

[profrotter]

--mS-- в сообщении #423731 писал(а):

Я не знаю, чем Вы занимались выше. Я бы назвала это всё вырезанием гланд автогеном через...

Выше я отвечал не те вопросы, которые вы мне задали и касались они "конструирования" случайной величины с ХФ $cos^n(t)$

--mS-- в сообщении #423731 писал(а):

А что такое ПРВ я не в курсе, соответственно строить его/её не собиралась.

Ну это вы погорячились. ПРВ - плотность распределения вероятности, которая связана с ХФ как пара преобразований Фурье. Прошу прощения, что не расшифровал выше аббревиатуру.
Если вы не возражаете, я бы хотел воспользоваться случаем и задать вам ещё один вопрос: Какой (физический?) смысл имеет характеристическая функция?

[--mS--]

profrotter в сообщении #423779 писал(а):

Выше я отвечал не те вопросы, которые вы мне задали и касались они "конструирования" случайной величины с ХФ $cos^n(t)$

Именно этот способ я и охарактеризовала таким образом :). Данная х.ф. есть просто х.ф. суммы $n$ независимых радемахеровских с.в.

profrotter в сообщении #423779 писал(а):

Если вы не возражаете, я бы хотел воспользоваться случаем и задать вам ещё один вопрос: Какой (физический?) смысл имеет характеристическая функция?

Не знаю и даже не интересуюсь. Для меня вполне достаточно знать многочисленные свойства этой функции, и уметь ею пользоваться внутри и для целей теории вероятностей.

[profrotter]

--mS-- в сообщении #423812 писал(а):

profrotter в сообщении #423779 писал(а):

Выше я отвечал не те вопросы, которые вы мне задали и касались они "конструирования" случайной величины с ХФ $cos^n(t)$

Именно этот способ я и охарактеризовала таким образом :). Данная х.ф. есть просто х.ф. суммы $n$ независимых радемахеровских с.в.

А как вы считаете, что определяет случайную величину: её представление в виде суммы случайного количества бинарных случайных величин или её закон распределения (плотность распределения вероятности)?

--mS-- в сообщении #423812 писал(а):

Не знаю и даже не интересуюсь. Для меня вполне достаточно знать многочисленные свойства этой функции, и уметь ею пользоваться внутри и для целей теории вероятностей.

Вы можете привести практический пример, когда требуется построить случайную величину по заданной ХФ? Или то о чём мы говорим относиться исключительно к теории вероятностей ради теории вероятностей?

(Оффтоп)

Недавно на форуме проскакивала тема http://dxdy.ru/topic42892.html и там я вспомнил, что у гауссова распределения самая узкая в смысле второго центрального момента ХФ. То есть в ЦПТ сумма случайных велчин стремится к распределению с локализованной ХФ. Потому и интересуюсь вашим мнением на счёт практики ХФ (если что)

[--mS--]

profrotter в сообщении #423822 писал(а):

А как вы считаете, что определяет случайную величину: её представление в виде суммы случайного количества бинарных случайных величин или её закон распределения (плотность распределения вероятности)?

Некорректный вопрос. И то, и другое (и х.ф. в том числе) одинаково определяет распределение случайной величины. Но в ответ на вопрос "чья это х.ф.?" естественно выбирать наиболее простое описание объекта. Спросите любого желающего построить (смоделировать) случайную величину с данной х.ф. - что ему нужнее: её явный вид через простые случайные величины, или знание её распределения в виде нагромождения сумм?

profrotter в сообщении #423822 писал(а):

Вы можете привести практический пример, когда требуется построить случайную величину по заданной ХФ? Или то о чём мы говорим относиться исключительно к теории вероятностей ради теории вероятностей?

Всё с ног на голову. Переведу Ваш вопрос на другой язык:
- Можете привести практический пример, зачем человеку нужен экскаватор? Или он нужен только для того, чтобы вырыть яму ради ямы?
Да, экскаватор использовать в быту не получится. А вот яма для чего-то потом потребуется - типа дом построить.
Здесь решалась стандартная задача из стандартного курса теории вероятностей. Цель задачи - дать представление о связи свойств распределений со свойствами характеристических функций. Искать приложений следует у результатов теории вероятностей, а не у её методов. Вы можете привести практический пример, когда требуется вычислить производную синуса в степени экспоненты от квадрата тангенса корня седьмой степени из $x$?

Что же до необходимости в рамках ТВ знать, что за случайная величина отвечает данной х.ф., то примеров море: все предельные теоремы ТВ, всякие теоремы о случайных блужданиях в дискретном времени, тем более факторизационные тождества для случайных блужданий и т.п. Всюду, где есть суммы случайных величин и где поэтому удобнее иметь дело с преобразованиями Фурье или Лапласа, - всюду требуется устанавливать связь между функциями от многих случайных величин и их х.ф. или преобразованиями Лапласа.

[profrotter]

--mS--, всё же построение случайной величины (СВ) и моделирование - вещи разные. По поводу отвергаемого вами метода с использованием преобразования Фурье. Приведу более простое пояснение без всяких там дельта-функций. Характеристическая функция определяется как $\theta(t)=M(e^{iXt})$. В случае, когда СВ принимает значения $x_k=x_{(-k)}, x_0=0$ с вероятностями $P_k=P_{(-k)}, k=0,\pm1,\pm2...$ (имеет симметричное распределение), получим действительную чётно-симметричную ХФ в виде ряда Фурье:

$$\theta(t)=M(e^{iXt})=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}P_ke^{ix_kt}=P_0+\sum\limits_{k=1}^{+\infty}2P_kcos(x_kt).$$

Отсюда простой способ получения закона распределения СВ по ХФ: надо разложить её в ряд Фурье, тогда возможные значения определятся частотами гармоник, а их вероятности - амплитудами. Поскольку коэффициенты ряда соответствуют вероятностям - они должны быть положительными. Разложение cos^nt я уже приводил - там все коэффициенты также являются положительными. Поэтому, если, как вы писали, ХФ представлена в виде линейной комбинации по степеням косинуса, то ряд Фурье для ХФ также будет иметь положительные коэффициенты. "И всё по-старому и по-доброму" без всяких выпуклых линейных комбинаций.
С учётом перечиленных вами примеров из теории вероятностей, можно считать, что задача нахождения закона распределения по заданной ХФ является важной, однако я сомневаюсь, что задача моделирования СВ по заданной ХФ может иметь самостоятельное значение, ибо сама ХФ является интуитивно неосязаемой и вряд ли может выступать в качестве отправной точки для какой-либо практической задачи. Скорее следует говорить, что моделируемая СВ задана своим законом распределения. Мы находим её ХФ, после чего, используя саму ХФ или какую-либо её удобную аппроксимацию, представляем в виде линейной комбинации по степеням косинуса. И тогда можем формировать СВ с использованием псевдо-случайных (ПС) генераторов бинарных СВ Радемахера, правда вопрос о получении случайного верхнего предела в сумме остаётся открытым.
Собственно с таким же успехом можно моделировать любую СВ непосредственно по закону её распределения: разбиваем некий интервал, на подынтервалы, пропорциональные вероятностям принятия значений моделируемой величиной, затем ПС-генерируем равномерно-распределённое на всём интервале число. В зависимости от того, на какой из подынтервалов оно попадает, формируем значение моделируемой СВ. Однако, при реализции этого "простого подхода" могут возникнуть затруднения в случае, когда СВ может принимать бесконечное количество значений.

[--mS--]

Дискуссию пора заканчивать, поскольку фразы типа "сама ХФ является интуитивно неосязаемой и вряд ли может выступать в качестве отправной точки для какой-либо практической задачи" показывают Вашу очень-очень большую неосведомленность в перечисленных выше областях. В любых задачах, где нужно изучать время первого прохождения случайного блуждания через уровень, супремум блуждания, совместные распределения интересных моментов и траекторий процесса и т.п. - а это теория риска, отчасти теория массового обслуживания и т.п. - всюду основными объектами исследования являются совсем НЕ распределения: с ними невозможно работать, а как раз всякие х.ф./производящие функции/двойные п.ф./преобразования Лапласа. Именно они, а не плотности и прочие характеристики распределения, служат в этих задачах отправными точками.

Дискутировать далее бессмысленно. Смысл имеет только одно. Когда студент-математик задаёт вопрос о том, как следует решать стандартную задачу из курса теории вероятностей, он обычно вправе рассчитывать на то, что ему подскажут методы, которые он должен знать в рамках этого курса. А не способ "на коленке"="по-старому и по-доброму", всё изящество которого лишь в том, что он позволяет, изучая тервер, его так и не изучить.