Проверьте правильность решения:
#1. Пусть функция
![$f(x)$ $f(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/7997339883ac20f551e7f35efff0a2b982.png)
определена на отрезке
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
. Опровергнуть примерами следующие утверждения:
а) если
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
интегрируема на
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
, то
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
имеет на
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
первообразную?
б) если
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
имеет на
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
первообразную, то
![$f$ $f$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/0/190083ef7a1625fbc75f243cffb9c96d82.png)
интегрируема на
![$[a,b]$ $[a,b]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/4/fe477a2781d275b4481790690fccd15f82.png)
.
а)
![$\frac {\sin(x)}{x}$ $\frac {\sin(x)}{x}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/5/1/3512d23782da2ceef4ddab606e9e81b682.png)
на произвольном отрезке.
б) первообразная функции Дирихле на произвольном отрезке, т.е. функция вида
![$\[F(x) = \left\{ \begin{array}{l}
x,x \in Q\\
0,x \in R-Q
\end{array} \right.\]$ $\[F(x) = \left\{ \begin{array}{l}
x,x \in Q\\
0,x \in R-Q
\end{array} \right.\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/d/ffd241042043c5a1bfa01e8f7befefad82.png)
#2. Эту задачу я не решил, нужна помощь:
Вычислить определенный интеграл как предел интегральной суммы:
![$\[\int\limits_0^1 {\exp (x)dx} \]$ $\[\int\limits_0^1 {\exp (x)dx} \]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/3/d83df754edcfb85455c72abae2676d8482.png)
Думаю, что нужно разбить отрезок
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
на
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
равных частей, взяв
![$x_k=\frac {1}{n}$ $x_k=\frac {1}{n}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/0/100b8d628113149ae7a7e336e2cad36e82.png)
,
![$\[k \in [1,n]\]$ $\[k \in [1,n]\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/f/cffa44f079cfd3318467574fe4273c8082.png)
но какую конкретную выборку точек
![$\xi_i$ $\xi_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/d/5add1d368d6bcc924b8b5b96abe9b68e82.png)
взять для получения "хорошей суммы" не могу придумать, уже кучу вариантов перебрал и ни один не подходит...