Интегралы и суммы Дарбу

[swact]

Проверьте правильность решения:
#1. Пусть функция $f(x)$ определена на отрезке $[a,b]$. Опровергнуть примерами следующие утверждения:
а) если $f$ интегрируема на $[a,b]$, то $f$ имеет на $[a,b]$ первообразную?
б) если $f$ имеет на $[a,b]$ первообразную, то $f$ интегрируема на $[a,b]$.

а) $\frac {\sin(x)}{x}$ на произвольном отрезке.
б) первообразная функции Дирихле на произвольном отрезке, т.е. функция вида $\[F(x) = \left\{ \begin{array}{l} x,x \in Q\\ 0,x \in R-Q \end{array} \right.\]$

#2. Эту задачу я не решил, нужна помощь:
Вычислить определенный интеграл как предел интегральной суммы:
$\[\int\limits_0^1 {\exp (x)dx} \]$
Думаю, что нужно разбить отрезок $[0,1]$ на $n$ равных частей, взяв $x_k=\frac {1}{n}$, $\[k \in [1,n]\]$ но какую конкретную выборку точек $\xi_i$ взять для получения "хорошей суммы" не могу придумать, уже кучу вариантов перебрал и ни один не подходит...

[ИСН]

swact в сообщении #423737 писал(а):

уже кучу вариантов перебрал и ни один не подходит...

Покажите один вариант.

[Joker_vD]

swact в сообщении #423737 писал(а):

первообразная функции Дирихле на произвольном отрезке

Ее же не существует? По крайней мере, ваша $F(x)$ не дифференцируема хотя бы потому, что она разрывна в каждой точке.

[swact]

ИСН
Ну например стандартный вариант в качестве $\xi_i$ выберем концевые точки отрезков разбиения $\xi_i=x_i$,$i=1,2,...,k_n$
Получаю сумму вида $\[\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\exp (\frac{i}{n})}$, которую не знаю как вычислить.
Joker_vD
Действительно, вы правы. А, например функция $\[F(x) = \sqrt x \]$ на отрезке $[0,1]$ подойдет в качестве первообразной в пункте б) ?

[Sonic86]

swact писал(а):

Получаю сумму вида $\[\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\exp (\frac{i}{n})}$, которую не знаю как вычислить.

А сумму $\sum\limits_{i = 1}^n a^i$ тоже не знаете как вычислить?

[ewert]

swact в сообщении #423750 писал(а):

А, например функция $\[F(x) = \sqrt x \]$ на отрезке $[0,1]$ подойдет в качестве первообразной в пункте б) ?

Не подойдёт: у неё производная в нуле не существует. А вот если взять $F(x)=x^{3/2}\sin\frac1x$ с доопределением $F(0)=0$ и, соответственно, $f(x)=\frac32x^{1/2}\sin\frac1x-x^{-1/2}\cos\frac1x$, $f(0)=0$, то всё будет нормально: $F'(x)\equiv f(x)$, но $f(x)$ не интегрируема.

С первым контрпримером тоже какие-то загадки: что Вы понимаете под синусом икс на икс в нуле?... Если он доопределён в нуле единицей, то никакой это не контрпример; а если не единицей, то непонятно, при чём тут синусы. На самом деле естественным контрпримером здесь будет любая функция с разрывом первого рода (скажем, просто ступенька): она прекрасно интегрируема, но первообразной не имеет, т.к. для её интеграла с переменным верхним пределом в точке скачка производная не существует.

[swact]

Sonic86
Всё, дошло до меня, я забыл, что $\[\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {\exp (\frac{i}{n})}$ можно вычислить подобно сумме геометрической прогрессии, спасибо.
ewert
я просто в случае а) пытался подобрать функцию, первообразная которой не выражается в элементарных функциях, но видимо перемудрил. А под ступенькой вы подразумеваете что-то наподобие функции Хевисайда?

[ewert]

swact в сообщении #423865 писал(а):

первообразная которой не выражается в элементарных функциях,

А какое отношение это имеет к интегрируемости?...

swact в сообщении #423865 писал(а):

А под ступенькой вы подразумеваете что-то наподобие функции Хевисайда?

Ну да.

[swact]

ewert в сообщении #423866 писал(а):

А какое отношение это имеет к интегрируемости?...

Действительно, никакого . Благодарю за помощь.