Вопрос по двумерным пространствам Римана.

[dinaconst]

Для maxmatem

Цитата:

dinaconst
Вам это понятно?

Если Вас, это действительно волнует, то я же писала, что я не математик и символика меня, конечно напрягает и строгий смысл Def 1 мной, всего лишь угадывается.
Но я понимаю, что, если в моем пространстве не через любые две точки и т.д., то не всякая некая ("некая" потому, что строгое определение до меня не дошло, к сожалению) фундаментальная последовательность сходится к элементу моего пространства.
Надеясь на ваше терпение, продолжаю разговор и спрашиваю, как уже однажды спрашивала тут. Передо мной два метрических тензора (потом окажется, что один пренадлежит сфере, а другой моему пространству, но я этого, допустим, еще не знаю). По этим тензорам и тому, что из них можно извлечь, могу я понять, что в одном из соответствующих пространств, не всякая фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства (и, тем самым, пространство является неполным)?

[scwec]

Для dinaconst: я приведу сейчас три примера поверхностей в трехмерном евклидовом пространстве. Эти примеры, возможно, Вам помогут.
За координаты принимаем обычные декартовы координаты $x, y, z$.
1.Единичная сфера $S^2$. Задаётся уравнением $x^2+y^2+z^2=1$.
Метрика задается выражением $dl^2=\frac {4} {(1+x^2+y^2)^2}(dx^2+dy^2)$
Геодезическими служат большие круги, т.е. пересечение $S^2$ с плоскостями, проходящими через центр сферы и только они.
Компактное пространство, а потому полное. Любые две точки соединяются кратчайшей геодезической.
2.Единичная сфера $S^2$ с выколотым северным полюсом. Задаётся уравнением $x^2+y^2+z^2=1$ и неравенством $z<1$. Метрика задаётся тем же выражением, что и и для сферы.
Топологически пространство эквивалентно плоскости.
Геодезические те же, что и в примере 1 за исключением тех, что в примере 1 проходили через северный полюс. Теперь это большие круги без одной точки - северного полюса.
Пространство не полное. Фундаментальная последовательность точек , которая никуда не сходится, например такая: $a_n=(x_n,y_n,z_n)$, где $x_n=0$, $y_n=\frac {1} {n}$, $z_n=\frac{\sqrt{n^2-1}} {n}$
Несмотря на неполноту, любые две точки соединяются геодезической, однако для точек, лежащих на большом круге, проходящем через северный полюс ближе к северному полюсу - эти геодезические могут не быть кратчайшими. Приходится соединяться через южный полюс.
3. Единичная сфера $S^2$ с выколотыми северным и южным полюсами. Задается уравнением $x^2+y^2+z^2=1$ и неравенством $\mid{z}\mid<1$
Топологически пространство эквивалентно плоскости с выколотой точкой.
Метрика задаётся тем же выражением, что и для обычной сферы из примера 1.
Геодезические те же, только на больших кругах, проходящих через полюса отсутствуют оба полюса.
Точки, лежащие на больших кругах, проходящих через полюса не соединяются геодезической, если они лежат на разных дугах, входящих в полюс.
Пространство не полное. Фундаментальную последовательность можно взять из примера 2.
Что же мы имеем окончательно. Пространства все топологически разные, метрический тензор один и тот же. Результаты разные. Ваша таинственная поверхность задается ведь какими то уравнениями и неравенствами. Их Вам и надо рассматривать. Топология-то определяется именно ими.
Общего рецепта, как Вы теперь, наверное, понимаете - нет.

[Munin]

Мне кажется, метрика на сфере

$$dl^2=\dfrac{(1-y^2)dx^2+(1-x^2)dy^2+2xy\,dx\,dy}{1-x^2-y^2}$$

[dinaconst]

Для scwec
Большое Вам спасибо за подробное объяснение. Почти все поняла, как мне кажется. По крайней мере, у меня нет оснований "капризничать".
Теперь, вот с такого бока. Вот сфера. Соединяю две (достаточно близкие) точки дугой параллели, т.е. негеодезической. Но любые две точки на этой дуге (включая концевые) я могу соединить дугой меридиана, т.е. геодезической. Так,ведь?
В моем пространстве. Есть две точки, которые я могу соединить отрезком негеодезической и отрезком геодезической. Но никакую другую пару точек, из лежащих на соединяющем отрезке негеодезической, соединить отрезком геодезической я не могу. Что это может означать, по отношению к этому пространству?

[scwec]

Для Munin: Выражение для метрики сферы я честно выписал со стр. 91 из книги Б.А.Дубровина С.П.Новикова А.Т.Фоменко
Не наизусть же его помнить.

Для dinaconst: Примеров таких "поверхностей" немеряно. Например, хлебница, что стоит у меня на кухне, если у неё выломать боковые стенки. Только все они к гладким римановым многообразиям отношения не имеют. Наверняка Ваша особая линия есть часть границы и метрика на ней может определяться неоднозначно или что-то в этом духе. Но это совсем другая история.

[dinaconst]

Для scwec

Цитата:

Для dinaconst: Примеров таких "поверхностей" немеряно. Например, хлебница, что стоит у меня на кухне, если у неё выломать боковые стенки. Только все они к гладким римановым многообразиям отношения не имеют. Наверняка Ваша особая линия есть часть границы и метрика на ней может определяться неоднозначно или что-то в этом духе. Но это совсем другая история.

Нет, не часть границы и метрика определена однозначно, и не хлебница. Ладно, поживем - поймем.
Очень признательна Вам за внимание.

[Munin]

scwec в сообщении #422561 писал(а):

Для Munin: Выражение для метрики сферы я честно выписал со стр. 91 из книги Б.А.Дубровина С.П.Новикова А.Т.Фоменко Не наизусть же его помнить.

Осторожней выписывать надо. Там это выражение не в исходных декартовых $x,y,z$ на сфере, а в $x,y$ на стереографической проекции сферы на экваториальную плоскость (см. рис., вводящий переменные $(r,\varphi)$ по $(\theta,\varphi)$). Совсем другие координаты. Понятия не имею, зачем ДНФ вообще к ним приводят.

Я выводил из выражения в цилиндрических координатах $dl^2=\frac{1}{z^2}d\rho^2+\rho^2d\varphi^2.$ Полагаю, оно достаточно очевидно, и в обосновании не нуждается. В выводе мог напортачить, но мне мой результат кажется правдоподобным.

[scwec]

Для dinaconst:

dinaconst в сообщении #422470 писал(а):

В моем пространстве. Есть две точки, которые я могу соединить отрезком негеодезической и отрезком геодезической. Но никакую другую пару точек, из лежащих на соединяющем отрезке негеодезической, соединить отрезком геодезической я не могу. Что это может означать, по отношению к этому пространству?

Например, вот что. Из плоскости удалена внутренность полукруга. Получилась некая двумерная поверхность.
Метрика евклидова, геодезические - прямые линии. Две точки - концы диаметра полукруга, негеодезическая - дуга полуокружности, геодезическая - диаметр полукруга, и ни одна пара точек из лежащих на дуге, кроме концов диаметра полуокружности, геодезической не соединяются. Это к словам, что примеров таких немеряно.

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #423575 писал(а):

Например, вот что. Из плоскости удалена внутренность полукруга. Получилась некая двумерная поверхность.
Метрика евклидова, геодезические - прямые линии. Две точки - концы диаметра полукруга, негеодезическая - дуга полуокружности, геодезическая - диаметр полукруга,

Геодезическая подразумевает наличие связности, а что такое связность в граничных точках многообразия, про это только Вы знаете, в учебниках проэто не пишут.

[Munin]

scwec
По крайней мере, общеизвестно выражение

$$dl^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\varphi^2$$

(http://en.wikipedia.org/wiki/Metric_ten ... n_a_sphere) в сферических координатах

$$x=\sin\theta\cos\varphi,\quad y=\sin\theta\sin\varphi,\quad z=\cos\theta=z(x,y).$$

Из обратных преобразований

$$z=\sqrt{1-(x^2+y^2)},\quad \theta=\arccos z,\quad \varphi=\arctg\frac{y}{x}$$

можно найти ($z$ зависимая переменная)

$$d\theta=\frac{-1}{\sqrt{1-z^2}}\,\frac{-2(x\,dx+y\,dy)}{2\sqrt{1-(x^2+y^2)}}=\frac{x\,dx+y\,dy}{\sqrt{x^2+y^2}\,\sqrt{1-(x^2+y^2)}},$$

$$\sin^2\theta=1-z^2=x^2+y^2,$$

$$d\varphi=\frac{1}{1+y^2/x^2}\frac{x\,dy-y\,dx}{x^2}=\frac{x\,dy-y\,dx}{x^2+y^2},$$

что после подстановки даёт

$$dl^2 = \frac{(x\,dx+y\,dy)^2}{(x^2+y^2)\bigl(1-(x^2+y^2)\bigr)} + \frac{(x\,dy-y\,dx)^2}{x^2+y^2}=$$

$$=\frac{x^2dx^2+y^2dy^2+2xy\,dx\,dy+x^2dy^2+y^2dx^2-2xy\,dx\,dy-}{(x^2+y^2)\bigl(1-(x^2+y^2)\bigr)}$$

$$\frac{-(x^2+y^2)(x^2dy^2+y^2dx^2-2xy\,dx\,dy)}{\ldots}=$$

$$=\frac{(x^2+y^2)(dx^2+dy^2)-(x^2+y^2)(x^2dy^2+y^2dx^2-2xy\,dx\,dy)}{(x^2+y^2)\bigl(1-(x^2+y^2)\bigr)}$$

и в итоге выражение, приведённое мной выше в post422428.html#p422428 .

Где ошибки?

-- 16.03.2011 17:53:21 --

Oleg Zubelevich в сообщении #423616 писал(а):

Геодезическая подразумевает наличие связности, а что такое связность в граничных точках многообразия, про это только Вы знаете, в учебниках проэто не пишут.

А что, связность в граничных точках не может иметь предела? Мне кажется, запросто.

Причём в данном примере можно вырезать даже не полукруг, а полумесяц.

[dinaconst]

Для scwec
Дело в том, что в моем случае, можно непрерывно перемещать ту линию (негеодезическую), "аналогом" которой является ваша дуга полуокружности, вдоль геодезической, "аналогом" которой является ваш диаметр, оставляя расстояние между концами неизменным. В вашем примере такое, ведь, невозможно?
Для Oleg Zubelevich
Можно, ведь, наверное, провести полуокружность, чуть большего радиуса, чем "полудырка" и прямую провести, чуть отступя от диаметра, но "эффект" будет такой же, о котором говорит scwec. Или нет?
Для всех
Поскольку, тут заговорили о связностях, то и мне захотелось немного поучаствовать в этом. Таким, опять-таки дилетантским, вопросом. Пусть есть риманово пространство и мне известно его поле связностей, а метрическим аспектом этого пространства я, предположим, не интересуюсь. Могу я относится к этому пространству, просто как к пространству афинной связности с некоторым известным объектом (так, вроде, это называется) связности и иметь дело с этим пространством, только в таком качестве?

[Munin]

dinaconst в сообщении #423697 писал(а):

Дело в том, что в моем случае, можно непрерывно перемещать ту линию (негеодезическую), "аналогом" которой является ваша дуга полуокружности, вдоль геодезической, "аналогом" которой является ваш диаметр, оставляя расстояние между концами неизменным. В вашем примере такое, ведь, невозможно?

Если у вас есть какой-то конкретный случай, надо было его в самом начале темы предъявить. Чего мы зря гадаем?

dinaconst в сообщении #423697 писал(а):

Пусть есть риманово пространство и мне известно его поле связностей, а метрическим аспектом этого пространства я, предположим, не интересуюсь. Могу я относится к этому пространству, просто как к пространству афинной связности с некоторым известным объектом (так, вроде, это называется) связности и иметь дело с этим пространством, только в таком качестве?

Разумеется, можете. Теория гладких (дифференцируемых) многообразий, весь 4-й том Постникова.

[dinaconst]

Для munin
Почему гадаем и, тем более, зря? Все как в песне - я думала о многом, я думала о главном, смоля папироской во мгле... Конкретика есть, конечно. Но мне хочется сначала "прозондировать" все вокруг и около.
А за ссылку, большое спасибо.

[scwec]

Для dinaconst: в качестве подмоги в "зондировании" приведу несколько фактов.
1. Риманово многообразие - это многообразие с аффинной связностью.
2. Для пространств с аффинной связностью справедлива теорема Уайтхеда о существовании у каждой точки такого пространства нормальной окрестности.
3. Из неё следует. что каждая точка пространства с аффинной связностью(следовательно и риманова пространства) обладает некоторой окрестностью V, любые две точки которого можно соединить в V единственной геодезической.
Конечно, римановы пространства здесь гладкие, без краёв, без особенностей. Те, про которых, в основном, и пишут в учебниках.

Теперь возьмём Ваше пространство с его кривой, любые две точки которой, кроме крайних, не соединяются геодезической. Возьмём любую точку кривой. Из пункта 3 следует, что у выбранной точки существует окрестность, любые две точки которой соединяются геодезической. В том числе выбранная точка и все точки кривой, которые попадают в эту окрестность геодезическими соединяются. Получается, что кривой с указанными Вами свойствами, в римановом пространстве существовать не может. Противоречит существование её теореме Уайтхеда.
Другое дело - наличие края, как в случае с удалённым полукругом или наличие особенностей - метрика где-то не определена и т.п. . Тут теоремы перестают работать и у Вас есть шанс.
Приведу ещё один пример классического риманова многообразия, у которого множество точек не соединяются геодезическими.
Это псевдосфера вместе с ребром возврата. Любые её две точки, находящиеся на разных полостях, геодезической не соединяются.
Ребро не даёт.
И ещё: в отношении полукруга, на вопрос, правда, адресованный не мне, отвечаю. Нет, нельзя отступать от края.
В образовавшийся зазор всегда можно вписать маленький отрезок прямой, который соединит достаточно малоудалённые друг от друга точки негеодезической кривой.

Для munin: ошибок в Ваших вычислениях не нашёл. Даже скобки раскрывал.
Академики на стр.91 тоже не ошиблись.
Вы ведь сами указали на причину расхождения в выражениях.
Думаю, что этот вопрос исчерпан.

[Munin]

scwec в сообщении #423897 писал(а):

Вы ведь сами указали на причину расхождения в выражениях.Думаю, что этот вопрос исчерпан.

Спасибо. Вы вначале промолчали, а не подтвердили, поэтому я не знал, что он исчерпан.