Сходимость пуассоновской случайной суммы

[_hum_]

nibble в сообщении #421856 писал(а):

но меня смущает предельный переход в неравенстве Чебышева. Мне кажется, с ним может быть ошибка.

yt,sdfksq в сообщении #422361 писал(а):

Предложение _hum_ про «напрямую» можно «спасти», если вместо неравенства Чебышёва воспользоваться предельной нормальностью Пуассоновской случайной величины.

Что-то не пойму, какие проблемы с применением неравенства Чебышева и зачем в нем самом переходить к пределу? В приведенной выше формулировке данное неравенство просто говорит о том, что сумму $\sum_{\mathbb{N}\setminus D_\lambda^\varepsilon}$ можно за счет выбора больших $\lambda$ сделанной сколь угодно малой.

[nibble]

То есть, мне добавить "Так как пуассоновское распределение безгранично делимо, на подходящем вероятностном пространстве мы можем представить N в виде суммы независимых случайных величин". Или как сказать грамотно? Чтобы было не придраться.

Цитата:

Но ошибка предложения Хорхе в другом. Применить ЦПТ не получится, т.к. среди n=L подсумм-слагаемых есть те, которые сами могут не содержать ни одного слагаемого.

Я тоже не понял, в чём проблема.

-- Вс мар 13, 2011 20:32:08 --

Цитата:

Что-то не пойму, какие проблемы с применением неравенства Чебышева и зачем в нем самом переходить к пределу? В приведенной выше формулировке данное неравенство просто говорит о том, что сумму можно за счет выбора больших сделанной сколь угодно малой.

Цитата:

$$$ \sum_{(1-\varepsilon)\lambda < n < (1+\varepsilon)\lambda} \pi_n\, \geq\, 1-\frac{1}{\varepsilon^2 \lambda}\,\quad\rightarrow 1,\, \lambda \rightarrow \infty$$$

Выходит, что суммирование идёт по n, которое колеблется в интервале, длиной $2\varepsilon \lambda$, а $\lambda$, в свою очередь, стремится к бесконечности. Меня это настораживает.
Кроме того, чтобы в дальнейших рассуждениях всё пошло гладко, $\varepsilon$ должна стремиться к нулю, но тогда в дроби $\frac{1}{\varepsilon^2 \lambda}$ возникает неопределённость, так как $\lambda \to \infty, \varepsilon \to 0$.
Я с радостью согласился бы с _hum_. Мне сложно сформулировать, что именно меня смущает, но, боюсь, у преподавателя это получится лучше...

[yt,sdfksq]

Примеры Ваши, --mS--, очаровательны!

--mS-- в сообщении #422549 писал(а):

Полагаете, слагаемым в ЦПТ запрещено равняться нулю?

Полагаете, пустая голова и отсутствие головы - совершенно идентичные ситуации?
В ЦПТ все слагаемые случайны и что-то запретить им трудно. Запрещено только, чтобы слагаемых было неизвестно сколько.
В задаче nibble число слагаемых неизвестно, и сколько ни выплясывай, новой информации не появится. Например, в тексте nibble в двойной сумме среди слагаемых есть пустоты. Заметьте, не нули, а отсутствие слагаемого.

[--mS--]

nibble в сообщении #422583 писал(а):

То есть, мне добавить "Так как пуассоновское распределение безгранично делимо, на подходящем вероятностном пространстве мы можем представить N в виде суммы независимых случайных величин". Или как сказать грамотно? Чтобы было не придраться.

Вы сами-то понимаете, что именно Вы этой фразой обязуетесь сделать? Вы обещаете, что на подходящем вероятностном пространстве, имея заданную случайную величину с безгранично делимым распределением, Вы сумеете подобрать такие независимые (!) слагаемые с заданными распределениями, что их сумма на любом элементарном исходе даст эту заранее заданную случайную величину. Можете объяснить, как Вы это будете делать? Вот, например, вероятностное пространство - единичный отрезок (богаче, в общем-то, некуда) с борелевской сигма-алгеброй и лебеговой мерой, он поделен на части, отвечающие пуассоновским вероятностям $\frac{2^k}{k!}e^{-2}$, и на $k$-м куске отрезка $\xi(\omega)=k$. Можете построить две независимые пуассоновские (с параметром 1) величины $\xi_1,\xi_2$, сумма которых есть $\xi$?

Более того: величина $N_\lambda$ в условии уже дана. Следовательно, уже задано вероятностное пространство, на котором она дана (оно просто за кадром осталось). Не можем мы его поменять, какое есть - такое есть.

--mS-- в сообщении #421883 писал(а):

Едиственное, что из устойчивости следует, - что можно построить на подходящем вероятностном пространстве такие слагаемые, что распределение данной суммы будет каким нужно.

Совпадение распределений - это всё, что Вам необходимо. Нет никакой нужды представлять в виде сумму исходную случайную величину. Достаточно доказать требуемый факт для случайной величины с тем же распределением, что и исходная, что Вы и сделали.

-- Пн мар 14, 2011 03:58:50 --

yt,sdfksq в сообщении #422673 писал(а):

Запрещено только, чтобы слагаемых было неизвестно сколько.
В задаче nibble число слагаемых неизвестно, и сколько ни выплясывай, новой информации не появится. Например, в тексте nibble в двойной сумме среди слагаемых есть пустоты. Заметьте, не нули, а отсутствие слагаемого.

Слагаемых там ровно $\lambda$ штук. А "пустоты" при суммировании называют нулями. (с) К.О.

[nibble]

Цитата:

Полагаете, слагаемым в ЦПТ запрещено равняться нулю?

Вот прочитал в книге В.Ю. Королёва. Видный учёный, мне с ним не поспорить:

Цитата:

Во многих прикладных задачах, устанавливаемая классическими рассуждениями нормальность наблюдений является скорее исключением, нежели правилом. Это случается, например, в теории измерений, где как правило, распределения ошибок предполагаются нормальными, но в действительности таковыми не являются…
…Действительно. когда для обоснования нормальности погрешностей применяется центральная предельная теорема, то рассуждают так. На результат каждого измерения оказывает влияние большое число случайных факторов, ни один из которых не является доминирующим. Погрешность определяется суммарным воздействием этих факторов и потому, согласно центральной предельной теореме, должна иметь нормальное распределение. Однако, в подобных рассуждениях есть один существенный изъян: дело в том, что на разные измерения воздействует, вообще говоря разное число факторов, то есть, число случайных факторов, определяющих погрешность, само является случайным фактором. Поэтому вместо классической предельной теоремы здесь более уместно пользоваться, скажем, Теоремой 1.1, согласно которой распределение погрешностей нормально тогда и только тогда, когда число факторов, влияющих на измерения, асимптотически неслучайно.
В.Ю. Королёв. Смешанные гауссовские вероятностные модели реальных процессов.

Казалось бы, какая разница, этот фактор равен нулю, или он вообще не влияет на данное измерение? Но разница существенна.
Так же и в моей задаче. Число слагаемых изначально случайно, и от хитрых преобразований оно случайным быть не перестанет. Поэтому, судя по всему, мои рассуждения действительно не верны.

В итоге доказал через характеристические функции. Разложил хар. функцию слагаемых в ряд Тейлора и подставил её в известную формулу для хар. функции случайных сумм. Устремил параметр к бесконечности и готово. Лучший вариант.

Всем спасибо!

[--mS--]

Очень жаль, что Вы не думая готовы повторить любую ерунду. Процитированный кусок не имеет к Вашей задаче ни малейшего отношения. Впрочем, уметь работать с характеристическими функциями безусловно полезно. Однако понимать ЦПТ - полезно не менее.

[_hum_]

nibble в сообщении #422583 писал(а):

Выходит, что суммирование идёт по n, которое колеблется в интервале, длиной $2\varepsilon \lambda$, а $\lambda$, в свою очередь, стремится к бесконечности. Меня это настораживает.
Кроме того, чтобы в дальнейших рассуждениях всё пошло гладко, $\varepsilon$ должна стремиться к нулю, но тогда в дроби $\frac{1}{\varepsilon^2 \lambda}$ возникает неопределённость, так как $\lambda \to \infty, \varepsilon \to 0$.
Я с радостью согласился бы с _hum_. Мне сложно сформулировать, что именно меня смущает, но, боюсь, у преподавателя это получится лучше...

Все потому, что вы слишком формально подходите к доказательству, а полезнее иногда подумать, в чем суть манипуляций. Что нужно? Правильно - убедиться, что при любом фиксированном $u\in \mathbb{R}$ величину

$$\sum_{n = 0}^\infty \pi_n \Delta_\lambda^n(u), \,\,\text{ где }\,\Delta_\lambda^n(u) = F_{\frac{S_n}{\sqrt{\lambda}}}(u) - \Phi(u),$$

за счет выбора больших $\lambda$ можно сделать сколь угодно мало отличной от нуля, или, если более формально, что для всякого $\delta > 0$ существует такое $\lambda^*$, что при всех $\lambda \geq \lambda^*$ данная величина по модулю не будет превосходить $\delta$. Что может способствовать тому, что с ростом $\lambda$ наша величина (сумма) будет становиться меньше? Ну, в первую очередь напрашивается ЦПТ, которая в случае, если удастся в $\Delta_\lambda^n(u)$ "лямбду"{} заменить на $n$, гарантирует при достаточно больших $n$ равномерную малость $|\Delta_n^n(u)|$. Однако, этого недостаточно, так как ЦПТ срабатывает при больших $n$, а у нас в сумме участвуют и малые. Таким образом, надо как-то увидеть, за счет чего при малых $n$ слагаемые могут быть малыми. Ответ подсказывает тот факт, что $\lambda$ является одновременно и матожиданием, вокруг которого, как известно из того же правила "трех сигма", сосредоточена большая часть распределения, а это значит, что с его ростом коэффициенты $\pi_n$ с малыми номерами $n$ должны уменьшаться. Это нам и нужно. Остается теперь только все это записать. В первую очередь, выразим $\Delta_\lambda^n(u)$ через $\Delta_n^n(u)$. Вводя обозначение $r_{\lambda,n} = n/\lambda$ и замечая, что $F_{\frac{S_n}{\sqrt{\lambda}}}(u) = F_{\frac{S_n}{\sqrt{n}}}\Big( r_{\lambda,n}^{-\frac{1}{2}}\,\, u\Big)$, получаем
\begin{align*} \Delta_\lambda^n(u) = \Delta_n^n\Big( r_{\lambda,n}^{-\frac{1}{2}}\,\, u\Big) + \bigg [\Phi\Big( r_{\lambda,n}^{-\frac{1}{2}}\,\, u\Big) - \Phi(u)\bigg] \end{align*}
Отсюда видно, что для малости $\Delta_\lambda^n(u)$ дополнительно требуется еще и чтобы $r_{\lambda,n}$ не слишком сильно отличалось от единицы (разность значений $\Phi$ была малой). Этого мы можем попытаться добиться за счет рассмотрения только слагаемых с подходящими значениями номеров $n$, надеясь, что все остальные не дают существенного вклада в общую сумму. В противном случае идея доказательства не пройдет. К счастью, все получается: если для
всякого $\lambda, \varepsilon > 0$ ввести множество подходящих номеров

$$ D_\lambda^\varepsilon = \{n \,\, |\,\, r_{\lambda,n} \in (1- \varepsilon,1+\varepsilon)\}, $$

то, как следует из неравенства Чебышева,

$$ \sum_{\mathbb{N}\setminus D_\lambda^\varepsilon} \pi_n\, \leq\, \frac{1}{\varepsilon^2 \lambda}, $$

а значит, действительно, при достаточно больших $\lambda$ слагаемыми с номерами $n$, не попадающими в $D_\lambda^\varepsilon$, можно будет пренебрегать. Ну и все.

Теперь, имеем, при любых $\lambda, \varepsilon > 0$:
\begin{multline*} \sum_{n = 0}^\infty \pi_n \Delta_\lambda^n(u) = \sum_{D_{\lambda}^{\varepsilon}}^\infty \pi_n \Delta_\lambda^n(u) + \sum_{\mathbb{N}\setminus D_{\lambda}^{\varepsilon}}^\infty \pi_n \Delta_\lambda^n(u) = \\ \sum_{D_{\lambda}^{\varepsilon}}^\infty \pi_n \Delta_n^n\Big( r_{\lambda,n}^{-\frac{1}{2}}\,\, u\Big) + \sum_{D_{\lambda}^{\varepsilon}}^\infty \pi_n \bigg [\Phi\Big( r_{\lambda,n}^{-\frac{1}{2}}\,\, u\Big) - \Phi(u)\bigg] + \sum_{\mathbb{N}\setminus D_{\lambda}^{\varepsilon}}^\infty \pi_n \Delta_\lambda^n(u). \end{multline*}

Для всякого $\delta > 0$ за счет непрерывности $\Phi$ можем выбрать такое $\varepsilon> 0$, чтобы для всякой точки $x\in \big((1+\varepsilon)^{-\frac{1}{2}}u, (1-\varepsilon)^{-\frac{1}{2}}u\big)$ выполнялось $|\Phi(x) - \Phi(u)| \leq \delta/3$. Тем самым сделаем разность во второй сумме не превосходящей по абс. величине значение $\delta/3$. После этого выберем такое большое $\lambda$, чтобы первая сумма по ЦПТ, а третья по неравенству Чебышева были по абс. значению меньше $\delta/3$. Тем самым получим, что и вся сумма не будет по абс. значению превосходить $\delta$. Ч.т.д.


P.S. И да, не отказывайтесь от доказательства Хорхе - оно проще и красивее, единственно, надо только его сознать, чтобы потом Вас подобно замечаниям yt,sdfksq не сбивали с толку.

[yt,sdfksq]

--mS-- в сообщении #422686 писал(а):

...не думая готовы повторить любую ерунду

Благородные отвечающие вопрошающим! Слишком заметно излишне страстное желание послать посетителя поучиться складывать дроби.
Поскольку "форум" учебный, рискну ещё раз более подробно и популярно.
И да не ступала нога человека на грабли ещё и ещё раз!

--mS-- в сообщении #422680 писал(а):

Слагаемых там ровно n штук. А "пустоты" при суммировании называют нулями. (с) К.О.

С такими называниями ЦПТ можно доказать и с парой слагаемых - вместо остальных просто дорисуем нули.

Посмотрим ещё раз в текст nibble:
...Следовательно: $S_{N_{\lambda}}=\sum\limits_{i=0}^{Y_1+...+Y_{\lambda}} X_i=\sum\limits_{i=0}^{\lambda} {\sum\limits_{j=0}^{Y_i} X_{i,j}}$
Пусть $\eta_i=\sum\limits_{j=0}^{Y_i} X_{i,j}$. Сл. вел. $\eta_i$ представляет собой случайную сумму...
Так вот, в этой случайной сумме неизвестно сколько слагаемых - возможно, ни одного. То бишь при нулевом Y нет ни одного X. Не нужно уверять себя при этом, что у вас ровно столько слагаемых, сколько хочется.

[--mS--]

yt,sdfksq в сообщении #423406 писал(а):

Посмотрим ещё раз в текст nibble:
...Следовательно: $S_{N_{\lambda}}=\sum\limits_{i=0}^{Y_1+...+Y_{\lambda}} X_i=\sum\limits_{i=0}^{\lambda} {\sum\limits_{j=0}^{Y_i} X_{i,j}}$
Пусть $\eta_i=\sum\limits_{j=0}^{Y_i} X_{i,j}$. Сл. вел. $\eta_i$ представляет собой случайную сумму...
Так вот, в этой случайной сумме неизвестно сколько слагаемых - возможно, ни одного. То бишь при нулевом Y нет ни одного X. Не нужно уверять себя при этом, что у вас ровно столько слагаемых, сколько хочется.

Не туда смотрите. Слагаемых тут $\lambda$ штук ($i=0$ явно лишнее, с единицы нужно начинать, да и $j$ тоже). Нравятся они Вам или нет, а они есть Даже если нулевые.

[zhoraster]

yt,sdfksq, строгое предупреждение за троллизм и воинствующее невежество.

[yt,sdfksq]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #423413 писал(а):

Не туда смотрите. Слагаемых тут $\lambda$ штук ($i=0$ явно лишнее, с единицы нужно начинать, да и $j$ тоже).

zhoraster в сообщении #423435 писал(а):

yt,sdfksq , строгое предупреждение за троллизм и воинствующее невежество.

Возможно, мои шутки юмора не для всех удачны, и помешали восприятию смысла возражения. Мои сожаления и извинения, если кого-то непреднамеренно задел.
В развитых странах с истинной демократией процедура голосования «Вы за 1, за 0 для j или за не туда смотрите?» довершила бы победу разума. Это шутка!
Но в подходящем вероятностном пространстве моя изоляция от общества является достоверным и заслуженным событием. Только так можно бороться с проникшими троллями, дэвами и прочими врачами-вредителями.
Это шутка?

Оффтоп должен оформляться при помощи тега [off], а действия модератора должны обсуждаться в разделе "Работа форума". Два дня бана на изучение правил форума.