задача Неймана для уравнения теплопроводности

[Munin]

ewert в сообщении #423083 писал(а):

Задача разрешима тогда и только тогда, когда правая часть ортогональна всем решениям однородной задачи (конкретно здесь -- всем константам, т.е. просто единице).

А зачем здесь ортогональность, почему не хватает линейной независимости?

[ewert]

Vince Diesel в сообщении #423147 писал(а):

Это для нулевых граничных условий Неймана, а я имел ввиду для произвольных:

Для произвольных: $y'(a)=\gamma_a,\ y'(b)=\gamma_b$ надо просто записать решение в виде $y(x)=u(x)+\frac{\gamma_b-\gamma_a}{2(b-a)}\,x^2+\frac{b\gamma_a-a\gamma_b}{b-a}\,x$, где $u(x)$ даётся прежней формулой, только из $f(t)$ под интегралом должна быть вычтена константа $\frac{\gamma_b-\gamma_a}{b-a}$.

[ГАЗ-67]

sam291074 в сообщении #422927 писал(а):

Физически это означает, например, что оба конца структуры теплоизолированы.

На мой взгляд , физический смысл в задании скорости теплового потока на границе . Теплоизоляция задаётся нулевыми условиями .

ewert в сообщении #423083 писал(а):

Задача разрешима тогда и только тогда, когда правая часть ортогональна всем решениям однородной задачи (конкретно здесь -- всем константам, т.е. просто единице).
_

А можно ли поподробнее или ссылку на источник .

[ewert]

Munin в сообщении #423148 писал(а):

А зачем здесь ортогональность, почему не хватает линейной независимости?

Мантра такая есть: "ортогональное дополнение до множества значений есть множество нулей сопряжённого оператора". Ну плюс самосопряжённость оператора Лапласа, плюс ограниченность обратного (в той мере, в которой он существует). А вот при чём тут линейная независимость -- не понял.

[Vince Diesel]

ГАЗ-67 в сообщении #423156 писал(а):

А можно ли поподробнее или ссылку на источник .

Это называется теория Фредгольма для линейных операторов. Например, если есть квадратная система линейных уравнений $Ax=f$, то ее решение существует, как написал выше ewert, тогда и только тогда, когда правая часть $f$ ортогональна всем решениям сопряженной системы $A^*y=0$. В частности, если матрица $A$ невырожденная, то сопряженная однородная система имеет только нулевое решение и исходная система разрешима для любого вектора $f$. Если же нет, то не для любого. Такая же теория есть и в бесконечномерных пространствах, только надо уже произносить всякие дополнительные слова о пространствах и операторах

[Munin]

ewert
Спасибо. Будем мантру учить.

-- 15.03.2011 14:48:38 --

Vince Diesel
Понял, спасибо.

-- 15.03.2011 14:58:58 --

Может быть, я глупость спрошу, но не раскладывается ли произвольный оператор в произведение ортогонального (унитарного) и самосопряжённого?

[ГАЗ-67]

(Оффтоп)

Vince Diesel в сообщении #423165 писал(а):

Такая же теория есть и в бесконечномерных пространствах, только надо уже произносить всякие дополнительные слова о пространствах и операторах

С нами крестная сила ...

[ewert]

Munin в сообщении #423167 писал(а):

не раскладывается ли произвольный оператор в произведение ортогонального (унитарного) и самосопряжённого?

Раскладывается (если он замкнут и плотно определён).

А хотя пардон. Первый оператор -- не унитарный, а частично изометрический (в бесконечномерном случае дополнения до образа прямого и сопряжённого операторов могут иметь разную размерность, и поэтому частичная изометрия может и не расширяться до унитарного оператора).

Доказательство -- практически такое же, что и для матриц: основано на спектральном разложении самосопряжённого оператора. Разница лишь в том, что это разложение сложнее выглядит и что приходится возиться с областями определения операторов.

[Munin]

ewert
Ещё раз спасибо.

[sam291074]

Спасибо за обсуждение вопроса. И все же
ewert

Цитата:

Мы предполагаем, что $\int\limits_a^bf(x)\,dx=0$

Насколько я понял это означает лишь одно - часть структуры нагрета, часть охлаждена (причем эти части равны с точностью до знака). Или тождественный 0 (нет источников тепла). Решения, полученные при этих условиях корректны, остальные - суть комбинации погрешностей численного метода и нечего в них искать рациональное зерно. Верно?

[ewert]

sam291074 в сообщении #423301 писал(а):

Насколько я понял это означает лишь одно - часть структуры нагрета, часть охлаждена

Нет: $f(x)$ -- это не температуры, а плотности внутренних источников тепла. И означает это условие ровно то, что суммарная интенсивность тех источников по всему объёму равна нулю. Т.е. что тепло в области в целом не выделяется и не поглощается. Если бы это условие было нарушено, то надеяться на наличие стационарного решения (при условиях теплоизоляции) было бы наивно.

[sam291074]

ewert
То, что это не температуры - я понял, я имел ввиду, что согласно приведенному интегралу если одни источники выделяют тепло, а следовательно температура в данном месте растет, в другом месте обязательно должен быть источник, который поглотит такое же количество тепла, а следовательно температура понизится (несколько грубо, но все же).
Однако остается вопрос

Цитата:

остальные решения - суть комбинации погрешностей численного метода и нечего в них искать рациональное зерно?