2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 
Сообщение15.03.2011, 13:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert в сообщении #423083 писал(а):
Задача разрешима тогда и только тогда, когда правая часть ортогональна всем решениям однородной задачи (конкретно здесь -- всем константам, т.е. просто единице).

А зачем здесь ортогональность, почему не хватает линейной независимости?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2011, 13:58 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Vince Diesel в сообщении #423147 писал(а):
Это для нулевых граничных условий Неймана, а я имел ввиду для произвольных:

Для произвольных: $y'(a)=\gamma_a,\ y'(b)=\gamma_b$ надо просто записать решение в виде $y(x)=u(x)+\frac{\gamma_b-\gamma_a}{2(b-a)}\,x^2+\frac{b\gamma_a-a\gamma_b}{b-a}\,x$, где $u(x)$ даётся прежней формулой, только из $f(t)$ под интегралом должна быть вычтена константа $\frac{\gamma_b-\gamma_a}{b-a}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2011, 14:03 


09/06/06
367
sam291074 в сообщении #422927 писал(а):
Физически это означает, например, что оба конца структуры теплоизолированы.

На мой взгляд , физический смысл в задании скорости теплового потока на границе . Теплоизоляция задаётся нулевыми условиями .
ewert в сообщении #423083 писал(а):
Задача разрешима тогда и только тогда, когда правая часть ортогональна всем решениям однородной задачи (конкретно здесь -- всем константам, т.е. просто единице).
_

А можно ли поподробнее или ссылку на источник .

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2011, 14:08 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #423148 писал(а):
А зачем здесь ортогональность, почему не хватает линейной независимости?

Мантра такая есть: "ортогональное дополнение до множества значений есть множество нулей сопряжённого оператора". Ну плюс самосопряжённость оператора Лапласа, плюс ограниченность обратного (в той мере, в которой он существует). А вот при чём тут линейная независимость -- не понял.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2011, 14:29 
Заслуженный участник


25/02/11
1797
ГАЗ-67 в сообщении #423156 писал(а):
А можно ли поподробнее или ссылку на источник .

Это называется теория Фредгольма для линейных операторов. Например, если есть квадратная система линейных уравнений $Ax=f$, то ее решение существует, как написал выше ewert, тогда и только тогда, когда правая часть $f$ ортогональна всем решениям сопряженной системы $A^*y=0$. В частности, если матрица $A$ невырожденная, то сопряженная однородная система имеет только нулевое решение и исходная система разрешима для любого вектора $f$. Если же нет, то не для любого. Такая же теория есть и в бесконечномерных пространствах, только надо уже произносить всякие дополнительные слова о пространствах и операторах :D

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2011, 14:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert
Спасибо. Будем мантру учить.

-- 15.03.2011 14:48:38 --

Vince Diesel
Понял, спасибо.

-- 15.03.2011 14:58:58 --

Может быть, я глупость спрошу, но не раскладывается ли произвольный оператор в произведение ортогонального (унитарного) и самосопряжённого?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2011, 15:42 


09/06/06
367

(Оффтоп)

Vince Diesel в сообщении #423165 писал(а):
Такая же теория есть и в бесконечномерных пространствах, только надо уже произносить всякие дополнительные слова о пространствах и операторах

С нами крестная сила ...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2011, 16:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Munin в сообщении #423167 писал(а):
не раскладывается ли произвольный оператор в произведение ортогонального (унитарного) и самосопряжённого?

Раскладывается (если он замкнут и плотно определён).

А хотя пардон. Первый оператор -- не унитарный, а частично изометрический (в бесконечномерном случае дополнения до образа прямого и сопряжённого операторов могут иметь разную размерность, и поэтому частичная изометрия может и не расширяться до унитарного оператора).

Доказательство -- практически такое же, что и для матриц: основано на спектральном разложении самосопряжённого оператора. Разница лишь в том, что это разложение сложнее выглядит и что приходится возиться с областями определения операторов.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2011, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
ewert
Ещё раз спасибо.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2011, 20:25 


14/03/11
5
Спасибо за обсуждение вопроса. И все же
ewert
Цитата:
Мы предполагаем, что $\int\limits_a^bf(x)\,dx=0$

Насколько я понял это означает лишь одно - часть структуры нагрета, часть охлаждена (причем эти части равны с точностью до знака). Или тождественный 0 (нет источников тепла). Решения, полученные при этих условиях корректны, остальные - суть комбинации погрешностей численного метода и нечего в них искать рациональное зерно. Верно?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2011, 22:18 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
sam291074 в сообщении #423301 писал(а):
Насколько я понял это означает лишь одно - часть структуры нагрета, часть охлаждена

Нет: $f(x)$ -- это не температуры, а плотности внутренних источников тепла. И означает это условие ровно то, что суммарная интенсивность тех источников по всему объёму равна нулю. Т.е. что тепло в области в целом не выделяется и не поглощается. Если бы это условие было нарушено, то надеяться на наличие стационарного решения (при условиях теплоизоляции) было бы наивно.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение15.03.2011, 22:38 


14/03/11
5
ewert
То, что это не температуры - я понял, я имел ввиду, что согласно приведенному интегралу если одни источники выделяют тепло, а следовательно температура в данном месте растет, в другом месте обязательно должен быть источник, который поглотит такое же количество тепла, а следовательно температура понизится (несколько грубо, но все же).
Однако остается вопрос
Цитата:
остальные решения - суть комбинации погрешностей численного метода и нечего в них искать рациональное зерно?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 27 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group