Сверхсветовые процессы и их наблюдение

[tvman]

Munin в сообщении #406160 писал(а):

А почему бы и нет? Определить направление на источник звука можно не хуже, чем на источник света или радиоволн.

Думал, что на большом расстоянии это невозможно.

Vallav в сообщении #406174 писал(а):

Нужно второго наблюдателя, чтобы взять пеленг.

Для установления координаты в пространстве нужно не два, а три наблюдателя. Это мне было понятно. Поэтому я и написал, что с расстоянием не проблема (просто опустил что нужно три наблюдателя). А вот с направлением, чесно говоря до сих пор не понимаю. Верю Вам и Munin, что можно, однако пока не могу понять как . Придеться порыться в инете на досуге. ( конечно понимаю что приблизительное направление можно установить, но видится мне что с увеличением расстояния это направление будет все приблизительней и приблизительней)

[Munin]

vpalex в сообщении #406248 писал(а):

Можно, конечно, рисовать как у Вас на рисунке, но на моем, считаю, более наглядно и картина наблюдения более точно соотносится с осью времени

Я не знаю, что у вас "более наглядно", если в итоге у вас только неправильный результат. Что такое "картина соотносится с осью времени" - мне неизвестно. Важно не то, в каком порядке будут получены сведения о пребывании наблюдаемого тела в тех или иных точках, а то, что эти сведения сопровождаются временн́ыми метками, позсоляющими точно расположить по времени сами моменты пребывания.

vpalex в сообщении #406248 писал(а):

Ваша проблема в том, что забываете - скорость объекта, являющегося источником звука, превышает скорость звука.

Абсолютно неважно, какова скорость передачи информации. Вы можете рассмотреть такую задачу: некто путешествует по стране, и из каждого города шлёт вам письма о том, что он там находится. Он спокойно может ездить намного быстрее, чем перемещаются письма, да и сами письма могут испытывать большие и бессистемные задержки в пути - всё равно, когда все письма дойдут до вас, то по датам их отправления вы можете восстановить полный и правильный маршрут движения своего корреспондента.

Вся это болтовня может тянуться бесконечно, поскольку вы не демонстрируете ни малейшего продвижения к правильному пониманию предмета и утверждений СТО. Поэтому ответьте прямо: вы приступили к изучению той литературы, за указание которой благодарили недавно? На каком этапе вы находитесь?

[Шимпанзе]

Если в физике ничего не знаем кроме скорости звука($v_c$), который исходит от самолета , то у меня получилась следующая простая зависимость:
$x=qt$ ,
$q=v/(1+v/v_c)$

$v$ - искомая скорость самолета.

[Munin]

tvman в сообщении #406258 писал(а):

Для установления координаты в пространстве нужно не два, а три наблюдателя. Это мне было понятно. Поэтому я и написал, что с расстоянием не проблема (просто опустил что нужно три наблюдателя). А вот с направлением, чесно говоря до сих пор не понимаю. Верю Вам и Munin, что можно, однако пока не могу понять как .

Это чисто техническая проблема, не имеющая ни малейшего отношения к СТО. Для волн (звуковые волны и радиоволны имеют достаточную длину для такого опыта) можно взять два детектора, и измерять разность фаз, с которыми волны доходят до этих детекторов. (Для резких однократных импульсов можно измерить разность времени их прихода в детекторы.) Если волны достаточно короткие (свет), то можно воспользоваться законами геометрической оптики, соорудить отражающую и преломляющую систему - по сути, телескоп - и определить направление по изображению в фокальной плоскости. Для звука, если вас не стесняют размеры, можно сделать то же самое. Наконец, если размеры принимающей системы могут быть не малы по сравнению с расстоянием до источника, можно использовать ослабление звука, принимаемого одним детектором, по сравнению с другим.

Человеческие и звериные уши используют все три способа, но (человеческие) дают не сильно точную картину, что может создать у вас впечатление, что это какая-то проблема, и улучшения разрешения здесь быть не может. На самом деле может, и довольно легко. Зато уши компактны.

[vpalex]

Munin в сообщении #406261 писал(а):

На каком этапе вы находитесь?

Еще раз спасибо за литературу, не все источники мне были известны ранее. Но в начале я решил освежить в памяти Фейнмановские лекции. И сейчас читаю главу 17 "Пространство-время". В этой главе есть рис. 17.3 (по моему изданию), на котором приведена область пространства-времени, относительно начала координат. Да, рисунок привязан к скорости света, но что нам мешает по аналогии построить такой же рисунок по скорости звука? Тем более, что метод аналогии Фейнман сам использует для наглядного описания в своей книге.
Именно в такой системе координат я и строил траекторию сверхзвукового самолета и траектории двух звуковых следов его полета.
Если скорость самолета точно равна скорости звука, то траектории звуковых следов совпадут с границами "звукового конуса". Если скорость самолета ниже скорости звука, то наблюдатель будет фиксировать только один источник звука, чья траектория точно соответствует траектории полета самолета

-- Сб янв 29, 2011 17:09:05 --

Шимпанзе в сообщении #406264 писал(а):

Если в физике ничего не знаем кроме скорости звука($v_c$), который исходит от самолета , то у меня получилась следующая простая зависимость:
$x=qt$ ,
$q=v/(1+v/v_c)$

$v$ - искомая скорость самолета.

Интересно узнать ход Ваших рассуждений

[Шимпанзе]

vpalex в сообщении #406284 писал(а):

Интересно узнать ход Ваших рассуждений

Элементарный. Попробуйте самостоятельно аналитически, а не графически неспеша выразить то, что Вы хотите сказать. И все получится.

[Munin]

vpalex в сообщении #406284 писал(а):

Еще раз спасибо за литературу, не все источники мне были известны ранее. Но в начале я решил освежить в памяти Фейнмановские лекции. И сейчас читаю главу 17 "Пространство-время".

Я думаю, вам сначала надо прочитать "совсем детскую" книжку Тейлора-Уилера.

vpalex в сообщении #406284 писал(а):

В этой главе есть рис. 17.3 (по моему изданию), на котором приведена область пространства-времени, относительно начала координат. Да, рисунок привязан к скорости света, но что нам мешает по аналогии построить такой же рисунок по скорости звука? Тем более, что метод аналогии Фейнман сам использует для наглядного описания в своей книге.

Ничто не мешает, кроме существенно другого смысла этого рисунка. В световом случае на рисунке будет световой конус; точки, видимые из точки начала координат (внутренность нижней части светового конуса); точки, из которых видно начало координат (внутренность верхней части светового конуса); и все остальные точки. Всё то же самое останется на "звуковом" рисунке: звуковой конус, и точки, видимые и видящие при помощи звука. НО. На "световом" рисунке эти точки эти же самые области имеют смысл "абсолютного прошлого", "абсолютного будущего" и "абсолютно удалённых событий. На "звуковом" рисунке эти точки такого смысла иметь не будут. Причина не в свете и не в звуке, а в законах изменения системы отсчёта. Эти законы - преобразования Лоренца - связаны с константой "инвариантная скорость", которая случайно совпадает со скоростью света, и обозначается $c.$ Эти законы таковы, что при переходе в другую систему отсчёта точки, которые раньше были внутри светового конуса прошлого, остаются внутри светового конуса прошлого; которые были внутри светового конуса будущего, остаются внутри него; и которые были снаружи световых конусов, остаются снаружи. Сами световые конусы перейдут в себя, и останутся на месте. Но для "звукового" рисунка это будет вовсе не так. Звуковые конусы повернутся и исказятся, а соответствующие им точки переместятся на графике в те места, которые раньше были внутри и снаружи звуковых конусов.

Поэтому рисунок-то нарисовать можно, но использовать его так же - нельзя.

vpalex в сообщении #406284 писал(а):

Именно в такой системе координат я и строил траекторию сверхзвукового самолета и траектории двух звуковых следов его полета.Если скорость самолета точно равна скорости звука, то траектории звуковых следов совпадут с границами "звукового конуса".

Во всей этой мутатени вы так и не описали строго процедуры, по которой строите свои "звуковые следы". Так что любые ваши утверждения о них обсуждать нельзя. Я могу только снова и снова констатировать, что они просто низачем не нужны и неинтересны.

[Шимпанзе]

Что никак? Смотрите, самолет непрерывно издает звук, полный дифференциал времени складывается из времени преодоления самолетом расстояния $dl$ и времени преодоления того же расстояния звуком (в обратном направлении, что не обязательно), то есть :

$dt$ =$(1/v +1/v_c)dl$.

Далее остаются преобразования, в итоге которых получите ту зависимость , которую получил.
Зная скорость самолета легко определить его реальное положение в пространстве.

[Someone]

Да, понаписали тут по поводу этого сверхзвукового самолёта...

Ну давайте разберём задачу с формулами и графиками, тогда будет ясно, можно ли понять, что это один объект, или его можно спутать с двумя.
Договоримся, что может измерять наблюдатель. Во первых, это время прихода звука, во-вторых - направление на источник звука. Строго говоря, этих данных недостаточно для однозначного восстановления траектории источника, причём, проблема вовсе не в сверхзвуковой скорости источника. Но если возможно определять расстояние, то траектория восстанавливается без труда вместе с временными метками, и в этом случае перепутать один источник с двумя нельзя. Кстати, вопрос возник в связи с какой-то попыткой объяснения наблюдаемой картины расширения Вселенной сверхсветовыми движениями. Астрономы умеют измерять расстояния до астрономических объектов (до миллиардов световых лет), так что такое объяснение не пройдёт даже гипотетически.
Поэтому будем предполагать, что наблюдатель не может измерять расстояние.
Много информации о движении источника может дать измерение частоты звука, но мне не хочется заниматься соответствующими расчётами, поэтому такую возможность проигнорируем.

Исходные предположения: самолёт пролетает по прямой с постоянной скоростью $v$ на постоянной высоте $h$, проходя в какой-то момент над головой наблюдателя. Скорость звука будем обозначать $c$ ($v>c$). Кривизной поверхности Земли пренебрегаем.
Система координат: начало координат совпадает с расположением наблюдателя, ось $Ox$ совпадает с проекцией траектории самолёта на Землю и направлена в сторону движения самолёта, ось $Oy$ горизонтальна и перпендикулярна оси $Ox$, ось $Oz$ вертикальна и направлена вверх.
Начало отсчёта времени выберем так, чтобы приход первого звукового сигнала произошёл в момент $t=0$.
Уравнения движения самолёта в этой системе координат имеют вид

$$\begin{cases}x=v\tau+x_0\text{,}\\ y=0\text{,}\\ z=h\text{,}\end{cases}\eqno{(1)}$$

где $\tau$ - время, а параметр $x_0$ выберем позже так, чтобы звук от самолёта впервые дошёл до наблюдателя в момент $t=0$. Ясно, что должно быть $x_0\geqslant 0$, так как при $x_0<0$ самолёт в момент $t=0$ ещё не долетит до наблюдателя, а его звук, распространяющийся медленнее - тем более.
Найдём момент времени $t$, когда до наблюдателя, находящегося в начале координат, от самолёта дойдёт звук, родившийся в момент $\tau$. Расстояние от самолёта до наблюдателя равно $\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{(v\tau+x_0)^2+h^2}$, звуку для прохождения этого расстояния потребуется время $\frac 1c\sqrt{(v\tau+x_0)^2+h^2}$, поэтому

$$t=\tau+\frac 1c\sqrt{(v\tau+x_0)^2+h^2}\text{.}\eqno{(2)}$$

Выразим из этого равенства $\tau$ через $t$, поскольку наблюдатель непосредственно измеряет $t$, а $\tau$ ему неизвестно. Перенося $\tau$ в левую часть и возводя обе части равенства в квадрат, получим квадратное уравнение

$$(v^2-c^2)\tau^2+2(c^2t+x_0v)\tau+(x_0^2+h^2-c^2t^2)=0\text{.}\eqno{(3)}$$

Как говорил vpalex, в момент $t=0$ наблюдатель впервые слышит звук самолёта, а дальше он слышит два источника, разлетающихся в противоположных направлениях. Это означает, что при $t=0$ данное уравнение должно иметь один корень, а при $t>0$ - два корня, то есть, при $t=0$ дискриминант уравнения равен $0$:

$$\frac 14\mathscr D=(c^2t+x_0v)^2-(v^2-c^2)(x_0^2+h^2-c^2t^2)=c^2(vt+x_0)^2-h^2(v^2-c^2)\text{.}\eqno{(4)}$$

Подставляя в равенство (4) $\mathscr D=0$ и $t=0$, получим $c^2x_0^2=h^2(v^2-c^2)$, откуда

$$x_0=\frac hc\sqrt{v^2-c^2}=h\sqrt{\frac{v^2}{c^2}-1}\text{.}\eqno{(5)}$$

Решая уравнение (3), найдём при $t\geqslant 0$

$$\tau_{\pm}=\frac{-(c^2t+x_0v)\pm\sqrt{c^2(vt+x_0)^2-h^2(v^2-c^2)}}{v^2-c^2}\text{.}$$

Подставим сюда выражение (5), разделим числитель и знаменатель на $c^2$ и упростим:

$$\tau_{\pm}=\frac{-t-\frac{vh}{c^2}\sqrt{\frac{v^2}{c^2}-1}\pm\sqrt{\frac{v^2t^2}{c^2}+\frac{2vth}{c^2}\sqrt{\frac{v^2}{c^2}-1}}}{\frac{v^2}{c^2}-1}\text{.}\eqno{(6)}$$

Таким образом, можно найти величину запаздывания звука:

$$\Delta t_{\pm}=t-\tau_{\pm}\text{.}\eqno{(7)}$$

Наконец, найдём положения самолёта в моменты времени $\tau_{\pm}$:

$$x_{\pm}=v\tau_{\pm}+x_0=\frac{-vt-h\sqrt{\frac{v^2}{c^2}-1}\pm v\sqrt{\frac{v^2t^2}{c^2}+\frac{2vth}{c^2}\sqrt{\frac{v^2}{c^2}-1}}}{\frac{v^2}{c^2}-1}\text{.}\eqno{(8)}$$

Как мы договорились, наблюдатель не может измерять расстояние до самолёта, в частности, он не знает правильную величину $h$ и может думать, что высота полёта самолёта равна $H$. Помешает ли это установить, что объект один, и что он движется со сверхзвуковой скоростью?
Мы также договорились, что наблюдатель умеет определять направление, откуда пришёл звук; в частности, он может измерить углы $\alpha_{\pm}$ между осью $Oz$ и направлениями прихода звука (угол считаем положительным в полупространстве $x>0$ и отрицательным в полупространстве $x<0$). Через вычисленные нами величины эти углы выражаются так:

$$\tg\alpha_{\pm}=\frac{x_{\pm}}h\text{.}\eqno{(9)}$$

Из подобных треугольников на рисунке получаем координату самолёта, определяемую наблюдателем

$$X_{\pm}=H\tg\alpha_{\pm}=\frac Hhx_{\pm}\eqno{(10)}$$

и величину запаздывания звука

$$\Delta T_{\pm}=\frac H{c\cos\alpha_{\pm}}=\frac Hh\Delta t_{\pm}=\frac Hh(t-\tau_{\pm})\text{,}\eqno{(11)}$$

откуда находим соответствующий координате $X_{\pm}$ момент времени

$$T_{\pm}=t-\Delta T_{\pm}=t-\frac Hh(t-\tau_{\pm})=\left(1-\frac Hh\right)t+\frac Hh\tau_{\pm}\text{.}\eqno{(12)}$$

Пусть $c=1$, $v=3$, $h=10$. Рассчитаем траектории $(X_{\pm},T_{\pm})$ для трёх значений $H$: $H=6{,}25$, $H=10$, $H=16$. Вот полученные графики.

Зелёная часть траектории построена по точкам $(X_-,T_-)$, красная - по точкам $(X_+,T_+)$. Наклонные чёрные линии изображают распространение звука. При интерпретации рисунка нужно не забывать, что координаты $y$ и $z$ на рисунке отсутствуют, и изображены проекции мировых линий на плоскость $Oxt$. В частности, наблюдатель находится в начале координат, с $z=0$, а траектории - в плоскостях $z=H$ при трёх разных значениях $H$.

Наиболее устойчивой является часть графика в окрестности стыка красной и зелёной линий. Эта часть соответствует моменту, когда наблюдатель впервые обнаруживает звук самолёта, и сразу после этого момента. Из рисунка видно, что красная и зелёная линии состыковываются в гладкую линию, причём, временная координата на этом участке монотонно возрастает, поэтому наблюдатель однозначно придёт к выводу, что имеется один объект, движущийся слева направо, а не два, разлетающихся в разные стороны. Это несложно подтвердить расчётом:

$$\frac{dX_{\pm}}{dt}=\frac{vH}{h\left(\frac{v^2}{c^2}-1\right)}\left(-1\pm\frac{\frac{v^2}{c^2}t+\frac{vh}{c^2}\sqrt{\frac{v^2}{c^2}-1}}{\sqrt{\frac{v^2t^2}{c^2}+\frac{2vth}{c^2}\sqrt{\frac{v^2}{c^2}-1}}}\right)\text{,}$$

$$\frac{dT_{\pm}}{dt}=1-\frac Hh+\frac H{h\left(\frac{v^2}{c^2}-1\right)}\left(-1\pm\frac{\frac{v^2}{c^2}t+\frac{vh}{c^2}\sqrt{\frac{v^2}{c^2}-1}}{\sqrt{\frac{v^2t^2}{c^2}+\frac{2vth}{c^2}\sqrt{\frac{v^2}{c^2}-1}}}\right)\text{,}$$

$$v_{\pm}=\frac{dX_{\pm}}{dT_{\pm}}=\left.\frac{dX_{\pm}}{dt}\right/\frac{dT_{\pm}}{dt}=\frac{vH\left(-\sqrt{\frac{v^2t^2}{c^2}+\frac{2vth}{c^2}\sqrt{\frac{v^2}{c^2}-1}}\pm\left(\frac{v^2}{c^2}t+\frac{vh}{c^2}\sqrt{\frac{v^2}{c^2}-1}\right)\right)}{\left((h-H)\left(\frac{v^2}{c^2}-1\right)-H\right)\sqrt{\frac{v^2t^2}{c^2}+\frac{2vth}{c^2}\sqrt{\frac{v^2}{c^2}-1}}\pm H\left(\frac{v^2}{c^2}t+\frac{vh}{c^2}\sqrt{\frac{v^2}{c^2}-1}\right)}\text{.}$$

Подставляя в последнее выражение $t=0$, получим $v_{\pm}=v$. Таким образом, акустические наблюдения позволяют правильно определить, что объект один, и найти его скорость хотя бы вблизи точки $t=0$, "несмотря" на то, что эта скорость сверхзвуковая.

[Bulinator]

(Оффтоп)

Someone
Я в шоке!

[Шимпанзе]

Проверил частный случай. При подстановке в формулу (8) $h=0$ получается ранее полученная мной формула.

[Rishi]

Шимпанзе

Цитата:

Как это не интересует, она для этого и создана. GPS, к примеру.

Я имел ввиду, что в формулах СТО имеется в виду текущее положение волнового фронта, но сигнал об этом текущем положении приходит с запаздыванием о чем говорится в современных учебниках в параграфе "О видимой форме быстродвижущихся тел".
А кстати мне не понятно как там СТО в системе GPS работать может если все объекты (спутники и наземные станции) являются неинерциальными системами?

[Шимпанзе]

Rishi в сообщении #422708 писал(а):

А кстати мне не понятно как там СТО в системе GPS работать может если все объекты (спутники и наземные станции) являются неинерциальными системами?

Когда СТО не работает- "подключают" теорию мирового эфира и тут же врезаются в телеграфный столб. Другие не подключают эфир, как я например, а просто вытирают свой GPS - приемник спиртом и "включают" ОТО - и все окей- телеграфный столб позади!

[myhand]

(Оффтоп)

Шимпанзе в сообщении #422868 писал(а):

Другие не подключают эфир, как я например, а просто вытирают свой GPS - приемник спиртом и "включают" ОТО - и все окей- телеграфный столб позади!

Вы лучше не тратьте спирт (!) на такую ерунду. ОТО там искаропки включена (про то токмо Rishi не знает), так что телеграфный столб Вам не угрожает (разве переберете с более правильным употреблением спирта).

[Informatic]

"GPS and Relativity: An Engineering Overview", http://tycho.usno.navy.mil/ptti/1996/Vol%2028_16.pdf,

стр. 193: "The Newtonian World of the Operational Control System"
стр. 199:
CARROLL ALLEY (UNIVERSITY O F MARYLAND): I'm happy to hear Henry agree at the end that one should look very carefully at the details of the relativistic physics. And it has been my contention that if one does that, software changes alone in the current system might bring these UREs down below the 1-meter level, and get actual user performance down at the one to 2-meter level with the existing system. And it has been very difficult to get into the system and to get the adequate support to do these studies. But I'm very happy that there seems to be an agreement that one should do this. It is not an expensive matter compared to the 10 or 12 billion that's being invested in the GPS.