Someone писал(а):
Подождём.
Вот и дождались...
Someone писал(а):
В случае философии и теоремы Гёделя совершенно очевидно, что условия теоремы Гёделя не выполняются: философия не является формализованной теорией такого типа, который указан в теореме Гёделя. Поэтому применять теорему нет оснований.
Я Вам так скажу,
Someone, даже в самой математике практически ни одна теорема автоматически не переносится из одного раздела в другой. Поэтому, думаю, Вы тут лукавите. На самом деле речь идет
о применимости теоремы Гёделя в философии, и Вы эту применимость отвергаете.
В действительности, если обратиться к Д.Пойа. "Математика и правдоподобные рассуждения", то в математике для использования результатов одних разделов математики в других используются как метод: индукция, обобщение, специализация и аналогия. Я ограничусь аналогией и приведу цитату из Пойа:
Цитата:
Аналогия есть некоторого рода сходство. Она, можно сказать, есть сходство, но на более определенном и выражаемом с помощью понятий уровне. Однако мы можем выразиться несколько более точно. Существенное различие между аналогией и другими видами сходства, как мне кажется, в намерениях, думающего. Сходные предметы согласуются между собой в каком-то отношении. Если вы намереваетесь свести это отношение, в котором они согласуются, к определенным понятиям, то вы рассматриваете эти сходные предметы как аналогичные. Если вам удается добраться до ясных понятий, то вы выяснили аналогию.
(все курсивы самого Пойа).
В качестве примера в математике я могу привести фрагмент лекций Сержа Ленга. "Математические беседы для студентов" о гипотезе abc. Там рассматриваются две сходные (аналогичные) теоремы, одна для полиномов другая для чисел, так вот аналогия совсем не просто просматривается (тем более связь теории чисел с другими разделами математики совсем не просто просматривается).
Однако надо иметь определенные основания, чтобы пользоваться аналогией. Если кто-то (например, Macavity или Гёдель, или, скажем, Тарский) за уши втянул математическую теорему в философию, то какие тут основания? Очевидно, никаких. Однако, я утверждаю, что основания есть (хоть они и не прозрачные, это бывает часто).
Прежде всего я утверждаю, что философия на момент возникновения и доказательства теоремы была намного больше к ней готова, чем математика. У математики как раз особой готовности не было, были взгляды Гильберта совершенно противоположные теореме, да и сама теорема, когда появилась нанесла очень сильный удар по самой математике.
А вот для философии это не было каким то переворотом или свероткровением, поскольку ещё когда философия была просто любомудрием, а не наукой в ней существовали софисты, которые придумывали и исследовали софизмы и следовательно соотношение между истинной и ложью. Эти вопросы поднимались в философии когда, ни математики, ни даже логики ещё не было.
Об этом знает любой будущий философ, студент, потому, что именно с софизмов, парадоксов, modus ponens и т.д. и т.п. начинают изучать философию (или начинали при Гёделе!).
Это аргумент к тому, что в принципе философия давно "ходила" вокруг этих проблем, но вот вопрос, а как близко подошла?
Надо сказать, что выдающиеся умы философии представляли и проблемы, и решения, которые впоследствие выразились через теорему Гёделя. Я процитирую статью А.Н. Паршина из института математики им. Стеклова о русском философе Розанове (в статье приводится цитата из Розанова так, что убъем сразу двух зайцев):
Цитата:
"Но миром правят, в самом деле, не языческие ясные истины, а христианские запутанности: никак не удается никому доказать, что мир держится на истине, вроде "дважды два - четыре". В основе мира, в запутанности мира, в "пупе" мира, - если назвать так ту темную бездну, из которой рождаются все вещи и выкидывается целая всемирная история, -лежит скорее какая-то "мнимая величина", √2, √-2 , около которого можно что-то делать, можно его обдумывать, можно его комбинировать, можно "принимать во внимание", наконец, можно, строить около него фикции, символы, дополнения",
Занятный образ, в духе немецкой романтики, не более того, и вдруг как небо разверзлось:
"но только "решить"то его, "сделать задачу", не только теперь невозможно, но и никогда вообще невозможно ее разрешить. И та "точная наука", которая никак разрешить этой задачи не может, совершенно точно доказывает ту плачевнейшую истину, что задача эта и вообще неразрешима до скончания веков и даже по ту сторону окончания "веков", неразрешима в себе самой и по существу".
Это 1909-ый год, все открытия неразрешимости в математике впереди, Гильберт еще и не знает, что через двадцать лет будет доказывать "разрешимость"~ всей математики, а Гедель ему и всем докажет, что это доказать нельзя !
Вот так рассуждал Розанов!
Ну что же это не конец, продолжу в следующем письме.
Добавлено спустя 2 часа 39 минут 52 секунды:Выше был рассмотрен вопрос насколько математика и философия и, разумеется, математики и философы были готовы к появлению теоремы Гёделя.
Теперь посмотрим как в настоящее время философы и математики относятся к этой теореме.
А по разному. Возьмем, в качестве примера, финнского логика Яаaкко Хинтикка, вот, что он пишет (1994) в статье "Проблема истины в современной философии":
Цитата:
Но тот. кто живет результатами Тарского и Геделя - тот и умирает вместе с ними Я показал что результат Тарского не имеет философских следствии которые ему обычно приписывают. Фактически, бочее тщательный анализ ситуации ведет к заключению диаметрально противоположному тому, что как обычно считают следует из результатов Тарского. Что же касается результатов Геделя, то более внимательное исследование показывает, что Гедель вообще не опроверг полноты какой-либо аксиоматической системы в наиболее важном смысле полноты, именно в том смысле который я назвал дескриптивной полнотой.
Цитата:
Тем не менее я показал, что результаты Тарского и Геделя просто не имеют тех негативных философских следствий которые им первоначально приписывали и которые у них обычно подразумевают.
Цитата:
Например, нет необходимости интерпретировать истину как открытость, что делает Хайдеггер, но определенный (не обязательно порочный) круг, как можно доказать, присутствует даже в трезвом научном исследовании.
Как минимум это означает, что сторонников использования результатов Тарского и Гёделя в философии более чем достаточно. К тому же, претензии у Хинтикки похоже именно к математической части, если судить по первому фрагменту. Но особенно умиляют претензии Хинтикки к знаменитому философу Мартину Хайдеггеру.
Вот другая работа того же автора ИСТИНА ПОСЛЕ ТАРСКОГО:
Цитата:
Состоявшееся недавно обсуждение проблемы истины в философии было в целом основано на ложных, или, в лучшем случае, серьезно вводящих в заблуждение допущениях. Это могло бы быть простительно лишь для тех результатов, которые оценивались по материалам, изданным только частично. Таким образом, кратко подводя итог этим результатам, необходимо указать некоторые из их следствий."
"Допущения" это как раз теоремы Гёделя и Тарского. Как видно, последователи Гёделя просто не дают спокойно жить и работать финнскому логику.
Someone, Вы говорили, что философия неформализована. Я прошу Вас выступить как математик-эксперт, посмотреть статью Хинтикки (
http://korfo.kubsu.ru/totum/eng/012002/hintikka.html) и объяснить мне (с учётом формализмов, которые он использует в статье), что он критикует - математику теорем Гёделя-Тарского или философию их теорем.
Ну а философы. Ребекка Голдштейн написала книгу "Гёдель и природа математической истины",
Edge взял интервью у нее (
http://www.edge.org/3rd_culture/goldstein05/goldstein05_index.html), в котором, в частности она сказала:
Цитата:
The summer before entering college I had to read a book that was popular back then, by an NYU philosopher, William Barrett, called Irrational Man. It was, vaguely existentialist and it argued pretty strenuously that man constructs all truths. It spoke a lot about Nietzsche and Heidegger, but there were a few pages on relativity theory and the incompleteness theorems, arguing that the upshot of these results was that even in physics and mathematics there's no objective truth and rationality: everything is relative to man's point of view, and that the proofs of mathematics are incomplete because there's no foundation for mathematical knowledge. Everything is infected with man's subjectivity, leaving us no grounds for distinguishing between rational and irrational.
Иными словами, многие философы склонны использовать теоремы Гёделя, хотя вроде бы для этого нет достаточных оснований (исходного формализма).
Гёдель в конце концов перешел от математики к философии. К сожалению, насколько я помню, для Гёделя все закончилось трагически, примерно как и у Ницше. Ницше был профессором филологии, стал философом и в конце концов сошел с ума. Гёдель был математиком, стал философом и опять же сошел с ума.
Я закончу ссылкой на Германа Вейля. В своей статье, которая является приложением к его работе "Философия математики и естественных наук", он рассматривает проблемы наблюдения за физическим процессом в квантовой механике и пишет:
Цитата:
Это противоречие между физическим процессом и наблюдением аналогично противоречию между формализмом и сознательным мышлением в гильбертовой системе математики.
То есть Вейль был склонен проводить аналогии между "чистой" математикой и "экспериментальной" физикой. Кстати его последующие расуждения сильно напоминают Гёделевские расуждения о невозможности пополнить систему аксиом. (Прикладная комбинаторная математика. Сборник статей под редакцией Э.Беккенбаха, 1968, стр. 335). Вполне возможно, что попытки Роджера Пенроуза объяснить механизм работы человеческого разума с помощью теоремы Гёделя и квантовой механики исходят именно отсюда.
