Определение предела по Коши

[иванушка-дурачок]

ой, помогите, люди добрые...
прав ли я, думая, что из определения Коши предела функции по Коши(число А-предел ф-ции, если для любого эпсилон существует дельта такая что при abs(x-xo) итд...) вовсе не следует, что чем меньше эпсилон, тем меньше и дельта и наоборот?
я понимаю, что это значит, что при если х находится в дельта-окрестности Х0, то f(x) нахоится в эпсилон-окрестности А, но ведь вовсе не ясно, что при "сужении" одной окрестности "сужается" и другая.
помогите, а?

[/b]

[Brukvalub]

Вы правы, окрестность не обязательно сужается. Например, для постоянной функции, окрестность для любого предельного значения аргумента можно делать сколь угодно большой, независимо от епсилон.

[Dialectic]

А как быть с функцией $y = \frac 1 x$? По всей видимости окресноти у неё
связанны обратным соотношением или нет?

Вот какой вопрос ещё непонятен: Как известно функция $y = \frac 1 x$
непрерывна всюду за исключением нуля. Доказывается это тем, что $Lim \frac 1 x = A$, при х--->а. Попробуем найти зависимость d=d(e), имеем:
$-e<\frac 1 x - A<e$
$A-e<\frac 1 x<e+A$
$\frac 1 {A+e}<x<\frac 1 {A-e}$
$\frac 1 {A+e}-a<x-a<\frac 1 {A-e}-a$
Теперь, если положить $d=E(\frac 1 {A-e}-a)$+1 то мы имеем искомую зависимость. Но если последнее рассуждение и правильно то не понятно вот что: ведь зависимость которую мы нашли, является зависимостью в общем виде. Поэтому нам, вроде как, нечего не мешает, взять в качестве а и А совершенно конкретные числа и подставить их в формулу. Плохо то, что кто то нам заранее должен сказать чему равен $Lim \frac 1 x$, при х--->а, если например нам говорят, что $Lim \frac 1 x=2$, при х--->0,5 то вероятно многие согласятся с тем, что искомая зависимость d=d(e) равна $d=E(\frac 1 {2-e}-0.5)$+1;чем вроде как и доказывается, что $Lim \frac 1 x = 2$, при х--->0,5. Но предположим,что кто то сказал, что $Lim \frac 1 x = 3$, при х--->0,5 (например опечатка в учебнике). Причём ТРЕБУЕТСЯ это доказать.
Как же это сделать? Ясно как, тем же способом как и в общем случае, т.е.

$-e<\frac 1 x - 3<e$
$3-e<\frac 1 x<e+3$
$\frac 1 {3+e}<x<\frac 1 {3-e}$
$\frac 1 {3+e}-0.5<x-0.5<\frac 1 {3-e}-0.5$
$d=E(\frac 1 {3-e}-0.5)$+1.
Вот такое причудливое равенство получилось доказать. В чём ошибка?

[Brukvalub]

Ошибочно решено неравенство.

[Dialectic]

А в каком именно месте ошибка?

[Brukvalub]

Формула для числа d никак не следует из предыдущих выкладок, а в самих этих выкладках в последнем неравенстве его левая и правая части при малых значениях е имеют одинаковый знак, что противоречит определению окрестности точки.

[Dialectic]

Насчёт неравенства понял. А почему формула для числа d никак
не следует из предыдущих выкладок? У Вас какая зависимость
d=d(e) получилось?

[Brukvalub]

А я и не пытался доказывать неверный факт.

[иванушка-дурачок]

но где же тогда отражен факт "стремления" переменной х к x0?

[незваный гость]

иванушка-дурачок писал(а):

но где же тогда отражен факт "стремления" переменной х к x0?

В определении по Гейне — через последовательности.

[Dialectic]

Brukvalub писал(а):

А я и не пытался доказывать неверный факт.

По условию -Вам не известно, что этот факт неверный. Кроме того, если последний
пример и очевиден, то как Вы сами понимаете:-очень легко подобрать и менее очевидный
пример. Вопрос то собственно состоит в самом методе, которым устанавливается
факт существования предела, при х--->а. Почему в одних случаях результат получается верный (или может во всех случаях неверный?) а в других нет? Что принципиально меняется?

[Brukvalub]

Мы обсуждаем метод, называемый на жаргоне "эпсилон-дельта-техникой" и применяемый для непосредственной проверки определения предела по Коши. Во-первых, при определении предела по Коши, рассматривается база проколотых окрестностей точки. Вы этого не делаете, так как рассматриваете непрерывную функцию, но это все равно является формальной ошибкой. Во-вторых, если заранее приписать пределу неверное значение и затем попытаться решением соответствующих неравенств отыскать проколотую окрестность предельной точки, то это не удастся-формальное решение нужных неравенств не породит никакой окрестности, как Вы сами убедились в своем примере. В третьих, мне непонятны Ваши слова:

Цитата:

Кроме того, если последний пример и очевиден, то как Вы сами понимаете:-очень легко подобрать и менее очевидный пример.

Какой бы пример с ошибкой Вы не подобрали-это будет пример с ошибкой, которая не позволит найти никакой окрестности. Метод в том и состоит, что сначала угадывается правильный предел, а затем именно для него проверяется определение предела.

[иванушка-дурачок]

незваный гость писал(а):

:evil:

иванушка-дурачок писал(а):

но где же тогда отражен факт "стремления" переменной х к x0?

В определении по Гейне — через последовательности.

я же отметил, что спрашиваю об определении по Коши; по Гейне и самому все ясно..

[Dialectic]

иванушка-дурачок писал(а):

но где же тогда отражен факт "стремления" переменной х к x0?

Я где то читал, что само это высказывание лишено смысла. Смысл будто бы имеет
более общее нагромождение фраз: f(x)--->A когда х--->a. Вообще это конечно
самое заколдованное место во всём анализе.

[иванушка-дурачок]

Dialectic писал(а):

иванушка-дурачок писал(а):

но где же тогда отражен факт "стремления" переменной х к x0?

Я где то читал, что само это высказывание лишено смысла. Смысл будто бы имеет
более общее нагромождение фраз: f(x)--->A когда х--->a. Вообще это конечно
самое заколдованное место во всём анализе.

я тоже читал..и у Куранта, и у Хинчина..фраза отдельно смысла не имеет..но..это отдельная история..я все пытаюсь понять почему из определения Коши не видно, что f(x)стремится к f(x0), КОГДА х "стремится" к икс нулевому..
а само это "стремится" меня еще со школьной скамьи доставало..определение Коши мне очень нравилось..до тех пор, пока я не заметил, что в него без зазрения совести "вклинивают" "стремление" икса к икс нулевому..вот и задумался: у всех все хорошо, один я оказывается, ничего не понимаю..тяжело, господа..