Определение предела по Коши

[Brukvalub]

иванушка-дурачок писал(а):

...я все пытаюсь понять почему из определения Коши не видно, что f(x)стремится к f(x0), КОГДА х "стремится" к икс нулевому..
.

Этого и не может быть видно, поскольку этим свойством обладают только непрерывные функции, а понятие предела обслуживает не только их, но и другие функции. Просто в школьной математике рассматриваются лишь такие элементарные функции, которые непрерывны во всех точках своей области определения, и у учащихся возникает вредный для дальнейшего обучения стереотип

Цитата:

что f(x)стремится к f(x0), КОГДА х "стремится" к икс нулевому

Советую быстренько от него отказаться. А с определением предела трудности не только у Вас- это традиционно одно из самых плохо усваиваемых понятий математического анализа. Дело, по-видимому, в том, что определение предела формулируется в виде не самого простого логического высказывания и возникает обычно в первых лекциях, когда учащиеся еще не достигли необходимого для его понимания уровня логической культуры рассуждений. Так что не расстраивайтесь: раз за разом пытайтесь разобраться в определении предела, разбирайте и продумывайте связанные с ним примеры - и понимание постепенно к Вам придет.

[иванушка-дурачок]

Brukvalub писал(а):

иванушка-дурачок писал(а):

...я все пытаюсь понять почему из определения Коши не видно, что f(x)стремится к f(x0), КОГДА х "стремится" к икс нулевому..
.

Этого и не может быть видно, поскольку этим свойством обладают только непрерывные функции, а понятие предела обслуживает не только их, но и другие функции. Просто в школьной математике рассматриваются лишь такие элементарные функции, которые непрерывны во всех точках своей области определения, и у учащихся возникает вредный для дальнейшего обучения стереотип

Цитата:

что f(x)стремится к f(x0), КОГДА х "стремится" к икс нулевому

Советую быстренько от него отказаться. А с определением предела трудности не только у Вас- это традиционно одно из самых плохо усваиваемых понятий математического анализа. Дело, по-видимому, в том, что определение предела формулируется в виде не самого простого логического высказывания и возникает обычно в первых лекциях, когда учащиеся еще не достигли необходимого для его понимания уровня логической культуры рассуждений. Так что не расстраивайтесь: раз за разом пытайтесь разобраться в определении предела, разбирайте и продумывайте связанные с ним примеры - и понимание постепенно к Вам придет.

черт..ошибся я в посте..дурак я..
я хотел сказать, что из определения Коши не видно, что f(x) стремится к своему пределу(неважно совпадает ли он с f(xo) или нет..естественно, с f(x0) он совпадает только для непрерывных функций..брр), КОГДА X стремится к икс-нулевому....
это насчет моей ошибки..

проблемы у меня не столько с определением предела вообще(это я старательно переваривал в школьные годы..), сколько со "стремлением переменной"..именно с этим, господа..

а насчет того, от чего Вы советуете мне отказаться..если от "стремления переменной к пределу", то.. с превеликим удовольствием! я как раз того и не понимаю, откуда они берут стремление переменной из определения Коши..вот только покажите мне, где там(в определении) сказано, что x стремится к икс-нулевому, и я "успокоюсь"(на самом деле будет как раз наоборот )..
моя единственая беда в анализе-вот это пресловутое "стремление переменной"..Коши для меня всегда был величайшим авторитетом..мне кроме него никого не надо..но если я "провалился" на его определении, то..лучше мне тихо-спокойно забросить математику..и уйти в небытие..

[незваный гость]

Я наконей понял (что Вас смущает). $\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: …$ Вы выбираете максимальный $\delta$. Мир на самом деле устроен проще: Если мы рассмотрим семейство $\delta_\alpha >0$, $\delta_\alpha$ монотонно убывает к $0$, то мы можем утверждать, что семейство образов соответсвующих проколотых $\delta_\alpha$-окресностей будет тоже образовывать сжимающееся семейство окрестностей предельной точки, причем сжимающееся в точку. То, что это произойдет для любого семейства окрестностей и составляет формулировку Коши.

[Brukvalub]

Попробую объяснить и я (очень не хочется, чтобы рвущиеся к математическим знаниям юноши и девушки теряли свое рвение из-за пустячного непонимания). Итак, начнем. На самом деле, слова " функция f(x) стремится к числу А при х, стремящемся к а" в определении предела следует понимать так: для окрестности любого наперед заданного положительного размера

$$\varepsilon $$

числа А можно найти такую проколотую окрестность точки а, что все точки этой окрестности, лежащие в области определения функции f(x), попадают при действии функции в

$$\varepsilon $$

-окрестность точки А. При этом единственным требованием, имеющим отношение к словам определения: "...при х, стремящемся к а", является требование того, чтобы нашлась проколотая окрестность именно точки а, о размере этой окрестности ничего не оговаривается. Так что, воспринимайте слова: "...при х, стремящемся к а" только так, привыкните к этому и спокойно учите дальше математику. Более того, Вам будет полезно ознакомиться с более общим понятием предела, называемым: предел по базе. Оказывается, каждый из рассматриваемых в математическом анализе предельных переходов успешно укладывается в некую простую общую схему, при которой в области определения отображения, предел которого изучается, выделяется семейство подмножеств с определенными свойствами, и тогда слова: "х стремится к а", "х стремится к

$$\infty$$

" и т. п. означают просто выбор определенных семейств этих множеств (баз).
Подробно ознакомиться с таким подходом к пределу можно здесь:Зорич В.А. — Математический анализ (Часть 1)

[PAV]

Цитата:

Папа, а ты с кем сейчас разговаривал?

[Brukvalub]

Почти

Цитата:

Кто сможет объяснить лучше, пусть первый бросит в меня камень.

Я надеюсь, что нас с PAV рассудит сам иванушка-дурачок .

[иванушка-дурачок]

незваный гость писал(а):

Если мы рассмотрим семейство , монотонно убывает к , то мы можем утверждать, что семейство образов соответсвующих проколотых -окресностей будет тоже образовывать сжимающееся семейство окрестностей предельной точки, причем сжимающееся в точку. То, что это произойдет для любого семейства окрестностей и составляет формулировку Коши.

простите, уважаемый Незваный Гость, но я не совсем Вас понял..разве факт, приведенный Вами, СТОЛЬ ОЧЕВИДЕН, что его не надо хотя бы как-то отметить, оговорить? или это опять мое недопонимание? для меня, например, сказанное Вами далеко не очевидно..

хочу особенно поблагодарить Brukvalub'а за это:

Brukvalub писал(а):

слова " функция f(x) стремится к числу А при х, стремящемся к а" в определении предела следует понимать так: для окрестности любого наперед заданного положительного размера числа А можно найти такую проколотую окрестность точки а, что все точки этой окрестности, лежащие в области определения функции f(x), попадают при действии функции в -окрестность точки А. При этом единственным требованием, имеющим отношение к словам определения: "...при х, стремящемся к а", является требование того, чтобы нашлась проколотая окрестность именно точки а, о размере этой окрестности ничего не оговаривается. Так что, воспринимайте слова: "...при х, стремящемся к а" только так

ура! ура! и еще раз ура! поскольку именно ТАК я и воспринимал, и именно о таком отношении -"При этом единственным требованием, имеющим отношение к словам определения: "...при х, стремящемся к а", является требование того, чтобы нашлась проколотая окрестность именно точки а, о размере этой окрестности ничего не оговаривается"- я и думал, что оно неверно..оказалось, сомнения были напрасны?

тут, как я извлек из Вашей "полемики", присутствовало еще одно объяснение..где же оно? и как мне Вас "рассудить"?)

[Brukvalub]

иванушка-дурачок писал(а):

..тут, как я извлек из Вашей "полемики", присутствовало еще одно объяснение..где же оно? и как мне Вас "рассудить"?)

Тем, что понятие предела стало Вам понятнее после моего объяснения, Вы уже нас с PAV рассудили. Его пост означал неудовольствие моим слишком сложным для начинающего объяснением, но Вы сумели его осознать, значит, мои жертвы были не напрасны

[иванушка-дурачок]

всем огромное спасибо, особенно Brukvalub' у)

только я так и не понял что имел в виду Незваный Гость..вернее, что имел в виду, я понял, но откуда он это взял..не совсем(
will anyone here be so kind to explain?)