Вопрос по двумерным пространствам Римана.

[dinaconst]

scwec в сообщении #421504 писал(а):

Для dinaconst: надеюсь, что правильно понимаете.

Спасибо за надежду. Но, поскольку я Вас обнадежила , то мне хотелось бы продолжить общение с Вами, если Вы не против.
Вот передо мной риманово многообразие, в том смысле, что передо мной его метрический тензор (не фигуральный, а реальный) записанный в некоторой системе координат и все, что ему сопутствует. Я, на этой основе, отыскиваю интересующие меня линии в этой метрике и вижу, что не через любые две точки могу получить геодезическую. Как мне разыскать ту топологическую особенность этого многообразия, которая допускает эту (не)возможность?

[scwec]

Для dinaconst: эту топологическую особенность не надо долго искать. Ваше риманово многообразие не полно. И эта особенность - всем особенностям особенность.

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #421145 писал(а):

После этого Вы должны понять, что плоскость с выколотой точкой - манна небесная, лучше и не бывает.

а почему Вы игнорируете пример без выколотых точек, который Вам уже привели? Могу конкретизировать. Рассмотрим на стандартной евклидовой плоскости область $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x>0,\quad 0<y<1/x\}$. Это односвязное многообразие, выколотых точек нет, но не всякие две точки этого многообразия можно соединить прямой. Теореме Хопфа-Ринова это не противоречит.
А можно и такой пример привести $\{(x,y)\in \mathbb{R}^2\mid 0\le y\le(1+x^2)^{-1}\}$. Это многообразие является полным метрическим пространством, но геодезические опять нельзя провести через любую пару точек, и опять это не противоречит теореме Хопфа-Ринова.

[dinaconst]

scwec в сообщении #421570 писал(а):

Для dinaconst: эту топологическую особенность не надо долго искать. Ваше риманово многообразие не полно.

Я уже поняла, что это так называется, но неужели нет какого-то формального различия между одним неполным многообразием и другим неполным многообразием? Различия, именно в плане этой самой неполноты? Или можно только сказать: все полные - полны, а все неполные - не полны и больше ничего?

Цитата:

И эта особенность - всем особенностям особенность.

-- Чт мар 10, 2011 23:18:18 --

Oleg Zubelevich в сообщении #421622 писал(а):

scwec в сообщении #421145 писал(а):

После этого Вы должны понять, что плоскость с выколотой точкой - манна небесная, лучше и не бывает.

... Теореме Хопфа-Ринова это не противоречит.
... и опять это не противоречит теореме Хопфа-Ринова.

"Вот тебе, бабушка, и Юрьев День!"
Меня только недавно убедили, что если нельзя, то противоречит!
И, что теперь?

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #421145 писал(а):

чисто топологическими свойствами самого риманова пространства, а именно: сходимостью каждой фундаментальной последовательности его точек

это грубая ошибка: полнота не является топологическим свойством. Интервал $(-1,1)$ гомеоморфен прямой $\mathbb{R}$, но прямая является поным метрическим пространством, а интервал -нет

[dinaconst]

Я совершенно запуталась. В очередной раз прочла и почти копирую:
"если М - связное риманово пространство с функцией расстояния ро(р,q) и Леви-Чивита связностью, то следующие утверждения равносильны:
1) М полно;
2) ...
3) ... "
2) и 3) равносильны 1), поэтому их не копирую.
И далее.
"Следствие: любые две точки р,q принадлежащие М можно соединить на М геодезия, длины po(p,q)."
То риманово пространство, которое передо мной, имеет Леви-Чивита связность, имеет функцию расстояния, но не любые две его точки можно соединить геодезической. Значит оно не полно и, следовательно не является, всего лишь, связным римановым пространством, потому, что два других условия (леви-чивитовость и функция расстояния) налицо.
Связность риманова пространства, это топология или нет?

[scwec]

Для Oleg Zubelevich:
1. Нет грубой ошибки, а есть тонкое наблюдение М.М. Постникова (Вариационная теория геодезических), которое можно понять, не вырывая слов из моего контекста.
Конечно, полнота по отношению к внутренней метрике не есть топологический инвариант.
Но топологическим инвариантом является одновременное наступление двух событий: геодезическая полнота и полнота по отношению к внутренней метрике. Они одновременно либо есть либо их нет.
2. Здесь рассматриваются гладкие, связные многообразия без края. Теорема Хопфа-Ринова справедлива именно для них.
Ваш второй пример никакого отношения к указанной теореме не имеет, поскольку Вы рассматриваете многообразие с краем.
3. Примеров без выколотых точек существует сколько угодно, только Вы определяйте для таких гладких многообразий риманову метрику и после этого метризуйте пространство, имея ввиду, что расстояние между двумя точками есть нижняя грань длин кусочно-гладких кривых, соединяющих эти точки. А то всё - между точками нельзя провести отрезка, их соединяющего.
Для dinaconst:
1.Понятие связности существует само по себе без всякой римановой метрики. Существует и понятие геодезических линий без отношения к римановой метрике. Просто основная, как её иногда называют, лемма римановой геометрии гласит: существует одна и только одна симметрическая связность, совместная с его метрикой.
Здесь и появляются символы Кристоффеля, выраженные через компоненты метрического тензора и их частные производные. Связность определяется локально и в целом на гладком многообразии и имеет отношение к топологии, когда имеет место рассмотрение многообразия в целом.
2. В отношении геодезических: на связном гладком римановом многообразии две точки могут не соединяться геодезической только тогда, когда многообразие не полно. Если же оно полно, то по теореме Хопфа-Ринова любые две точки соединяются геодезической.

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #421941 писал(а):

Но топологическим инвариантом является одновременное наступление двух событий: геодезическая полнота и полнота по отношению к внутренней метрике. Они одновременно либо есть либо их нет.

Боюсь, что Вы опять ошибаетесь. Причем пример тот же самый. Прямая является полным пространством по отношению к внутренней метрике и геодезически полной. При этом она диффеоморфна интервалу (-1,1), который не является полным по отношению к внутренней метрике. (и на прямой и на интервале рассматривается стандартная евклидова метрика)

Что касается остального, я в принципе не возражаю, я ведь сам писал, что мои примеры не противоречат теореме Хопфа -Ринова.
Кстати,

scwec в сообщении #421941 писал(а):

только Вы определяйте для таких гладких многообразий риманову метрику и после этого метризуйте пространство, имея ввиду, что расстояние между двумя точками есть нижняя грань длин кусочно-гладких кривых, соединяющих эти точки. А то всё - между точками нельзя провести отрезка, их соединяющего.

процитируйте, plz, где я утверждал, что расстояния в моих примерах это отрезки.

[maxmatem]

Цитата:

Понятие связности существует само по себе без всякой римановой метрики

dinaconst
И не забудьте, что всякое компактное многообразие допускает риманову связность. Это почти сразу следует из теоремы о разбиении единицы на гладком топологическом многообразии.

[dinaconst]

Для scwec
У меня, как говорится, шарики за ролики!
Цитирую Вас.
"...на связном гладком римановом многообразии две точки могут не соединяться геодезической только тогда, когда многообразие не полно. Если же оно полно, то по теореме Хопфа-Ринова любые две точки соединяются геодезической."
Гляжу в теорему и у меня ваши слова звучат так: на связном гладком римановом многообразии две точки могут не соединяться геодезической только тогда, когда соединяться геодезической не могут, и такое многообразие обзовем-назовем не полным. А, если все наоборот, то наоборот - полным.
В моем многообразии не все точки соединяются и я с удовольствием назову его не полным.
Но мне не этого хочется. Мне хочется понять, почему не все точки соединяются? Какая особенность моего многообразия не позволяет провести геодезическую через любую пару его точек? Вот ведь, что хочется понять! Вы меня понимаете?

-- Сб мар 12, 2011 00:07:06 --

maxmatem в сообщении #421967 писал(а):

Цитата:

Понятие связности существует само по себе без всякой римановой метрики

dinaconst
И не забудьте, что всякое компактное многообразие допускает риманову связность. Это почти сразу следует из теоремы о разбиении единицы на гладком топологическом многообразии.

Есть на моем многообразии риманова связность, есть.

[scwec]

Для Oleg Zubelevich: по поводу топологической инвариантности.
Для геодезической полноты многообразия имеется два состояния: она есть- $a=1$, её нет- $a=0$.
Для полноты по отношению к внутренней метрике то же самое: она есть- $b=1$ , её нет- $b=0$.
$a\in{Z_2}$, $b\in{Z_2}$
Для каждого связного риманова многообразия введём характеристику $CH\in{Z_2}$
$CH=a+b$
Из теоремы Хопфа-Ринова следует, что $CH=0$ и она,естественно, сохраняется при диффеоморфизмах(всё-таки гладкие многообразия).
Впрочем, можно дискутировать и дальше.
Теперь по поводу расстояния в отрезках. Такого у Вас точно нет. Но я об этом тоже не говорил, а привязался к фразе "не всякие две точки этого многообразия можно соединить прямой." По-моему это не та тема, которую надо обсуждать.

-- Сб мар 12, 2011 13:31:39 --

Для dinaconst:Если Ваше загадочное риманово многообразие такого, что две его точки не соединяются геодезической линией, это означает, что оно не полно.
Неполнота означает, что в Вашем многообразии существует фундаментальная по отношению к внутренней метрике последовательность точек, которая никуда не сходится.
Выложите на обозрение это Ваше многообразие, а то ведь дальше и говорить-то не о чем.
Возможно, Вы полагаете, что существует некая теорема такого примерно содержания:
"Для того, чтобы на римановом связном многообразии существовали точки, несоединяемые геодезической необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия... "
Насколько мне известно, такой общей теоремы нет.
Условие необходимости-то есть. Это неполнота пространства. А вот достаточность в общем случае - извините.
Ну и далее по кругу.

[dinaconst]

scwec в сообщении #422042 писал(а):

Для dinaconst:
Если Ваше загадочное риманово многообразие такого, что две его точки не соединяются геодезической линией, это означает, что оно не полно.

Я Вас очень прошу, поясните, пожалуйста, вот это

Цитата:

Неполнота означает, что в Вашем многообразии существует фундаментальная по отношению к внутренней метрике последовательность точек, которая никуда не сходится.

Что такое фундамент. посл. точек и т.д.?

Цитата:

Выложите на обозрение это Ваше многообразие, а то ведь дальше и говорить-то не о чем.

Обещаю выложить, как только пойму, что не совсем дура.

Цитата:

Возможно, Вы полагаете, что существует некая теорема такого примерно содержания:
"Для того, чтобы на римановом связном многообразии существовали точки, несоединяемые геодезической необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия... "
Насколько мне известно, такой общей теоремы нет.
Условие необходимости-то есть. Это неполнота пространства. А вот достаточность в общем случае - извините.

До меня, до сих пор, ведь, не доходит, что скрывается за понятием "неполнота пространства". Выше Вы чуть-чуть "расшифровали" этот момент - фундаментальная, по отношению к внутренней метрике, последовательность точек, которая никуда не сходится - но для меня это, почти, как мертвому припарки. Я выше и прошу Вас, по-возможности по-подробнее об этом.

Цитата:

Ну и далее по кругу.

Нет-нет, круг, как мне кажется, постепенно сужается. И, если Вы растолкуете мне подчеркнутые мной ваши слова, то, кажется, многое станет мне значительно понятнее.
Заранее благодарю.

[maxmatem]

Цитата:

что скрывается за понятием "неполнота пространства"

Цитата:

Что такое фундамент. посл. точек и т.д.?

dinaconst

Вот давайте немного отвлечёмся от многообразий, и просто вспомним , что значит последовательность точек какого-либо метрического пространства , фундаментальна.

Def 1. Последовательность$ \[ \{ t_i \} \]$ в метрическом пространстве $\[ (M;\rho ) \]$ называется фундаментальной, если $\[ \forall \varepsilon > 0\exists N(\varepsilon )\, \]$ и для $\[ \forall m,s \in {\rm N} \]$ будет выполнено $\[ \rho \left( {t_m ;t_s } \right) < \varepsilon \] $

Теперь определим понятие полного метрического пространства.
Def 2
Метрическое пространство называется полным, если всякая фундаментальная последовательность этого пространства сходится к элементу этого пространства.

dinaconst
Вам это понятно?

[Oleg Zubelevich]

scwec в сообщении #422042 писал(а):

по поводу топологической инвариантности.
Для геодезической полноты многообразия имеется два состояния: она есть- $a=1$, её нет- $a=0$.
Для полноты по отношению к внутренней метрике то же самое: она есть- $b=1$ , её нет- $b=0$.
$a\in{Z_2}$, $b\in{Z_2}$
Для каждого связного риманова многообразия введём характеристику $CH\in{Z_2}$
$CH=a+b$
Из теоремы Хопфа-Ринова следует, что $CH=0$ и она,естественно, сохраняется при диффеоморфизмах(всё-таки гладкие многообразия).

Теперь я понял, что Вы имели ввиду. Ну поскольку характеристика $CH$ одинакова для всех связных римановых многообразий, а не только для диффеоморфных, то, да, Вы действительно придумали содержательный топологический инвариант. Это подлинный прогресс, ведь теперь мы знаем, что связные римановы многообразия разбиваются на два класса: в один класс входят все многообразия, а другой это $\emptyset$

[scwec]

Для Oleg Zubelevich: поскольку это вынужденное открытие сделано не без Вашего участия, я приношу Вам искреннюю благодарность и, в свою очередь, сделаю замечание о Вашем предыдущем тексте, которое, если Вы сделаете правильные выводы, приведёт Вас к не менее значимому открытию.
А именно: в следующем отрывке -"для диффеоморфных, то, да, Вы"- мне кажется не надо ставить запятую после то.
Мне бы хотелось на этом нашу дискуссию завершить.