Например, можно измерять зависимость освещённости поверхности от расстояния до точечного источника света. Эта зависимость есть площадь сферы в
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
-мерном пространстве, так что она имеет вид
![$\sim r^{-(n-1)}.$ $\sim r^{-(n-1)}.$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/7/b/d7bdaf4d635b6aad138febdb5d37680d82.png)
В нашем случае она
![$\sim r^{-2},$ $\sim r^{-2},$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/5/1/751d7a7107d8d9dab3f244001381a51782.png)
откуда
![$n=3.$ $n=3.$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/d/0/7d0a69d0e6b687b9a4ef4fca28e1736382.png)
Но формула для площади известна только после того, как мы формализовали пространство, тавтология получается.
Грубо говоря, берем и считаем сколько чисел нам нужно для того, чтобы определить относительное положение небольшого предмета в пространстве (число координат точки).
Другой пример (и одно из возможных определений размерности в геометрии) - берем сферу единичного радиуса и кучу мелких шариков радиуса
![$\epsilon \ll 1$ $\epsilon \ll 1$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/9/cd99fdcaac2b1c91f3db4d65dc0c1b9f82.png)
и считаем число шариков, которые можно положить внутрь сферы. В
![$n$ $n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/5/a/55a049b8f161ae7cfeb0197d75aff96782.png)
-мерном евклидовом пространстве это число будет
![$\sim \epsilon^{-n}$ $\sim \epsilon^{-n}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/9/cf9fecf228df9eb477b73d5f6825804682.png)
.
Спасибо, здесь действительно феноменология, берем реальный случай и считаем. Хорошо, имеем способ определить размерность пространства. В первом случае мы используем дополнительные свойство точки и средства измерения, которые помогают ее засечь. Во втором, мы используем взаимодействие между шарами, т.е. полЯ. Тогда размерность пространства это свойство чего, точки, средств измерения, поля, или это свойство пространства?