задачка про конечные группы

[Ashley]

Добрый день!
Есть задачка

Группа нечетного порядка. Доказать, что если в ней какой-то элемент сопряжен своему обратному, то он равен единице.

[Sonic86]

Задача простая. Пишите, что думаете.

[Ashley]

Оk. Ну, по ходу, надо найти какую-нибудь подгруппу четного порядка, когда $x \ne e$. Можно рассмотреть порождаемую $x$. На ней $x^{-1} = g^{-1} x g$ продолжается до автоморфизма $x^{-n} = (g^{-1} x g)...(g^{-1} x g) = g^{-1} x^n g$. Но это ничего не дает, потому что такой автоморфизм у циклической группы есть всегда. Надо использовать то, что это не просто автоморфизм, а сопряжение с помощью элемента группы. Я не знаю, как. Всё, тупик.

[Sonic86]

Ой! Я затупил ! Прошу прощенья!
Но мы пока в любом случае не использовали нечетность порядка группы. Надо его как-то использовать...

[Ashley]

Ну, я думал, когда найдется подгруппа четного порядка, тогда и используем

[Sonic86]

А! Я знаю!
Сначала, докажите лемму, что если $g^{-k}xg^k=x$, то $k$ делит $ |G|$ и сделайте вывод о $k$ исходя из нечетности $|G|$.
Потом немного помудрите с $g^{-1}xg=x^{-1}$ и используйте лемму.

Ashley писал(а):

Ну, я думал, когда найдется подгруппа четного порядка, тогда и используем

А вообще - существуют некоммутативные группы нечетного порядка?

[mihiv]

Сначала доказываем,что $g^2x^{-1}=x^{-1}g^2$,отсюда следует: $x=gx^{-1}g^{-1}=g^3x^{-1}g^{-3}=\dots $,затем учитываем,что группа нечетного порядка.

[Ashley]

Может, в олимпиадные перенести, можете?

[Sonic86]

Ashley писал(а):

Может, в олимпиадные перенести, можете?

На фига! Решили же!

Хотя про некоммутативные группы нечетного порядка я так и не узнал

[Ashley]

Цитата:

На фига! Решили же!

А, просто я до сих пор по инерции думаю, что не решили.

Ведь, например, $ x=gx^{-1}g^{-1}=g^3x^{-1}g^{-3}=\dots $, что это дает, кроме того, что у подгруппы есть автоморфизм который меняет местами $x$ и $x^{-1}$? А это обычное дело для циклической группы, хоть четного порядка, хоть нечетного, так?

Я первым же делом попросил именно это место - поподробней

[VAL]

Sonic86 в сообщении #420858 писал(а):

А вообще - существуют некоммутативные группы нечетного порядка?

Разумеется!
Например, из 21 элемента, из 55 элементов...
Главное, чтоб теорема Силова не мешала.

Рассмотрите, например, подгруппу $S_7$, порожденную перестановками $(1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7)$ и $(1 \ 2 \ 4)(3 \ 6 \ 5)$.

[Sonic86]

VAL писал(а):

Разумеется!
Например, из 21 элемента, из 55 элементов...

А где можно о них узнать?

Ashley писал(а):

Я первым же делом попросил именно это место - поподробней

Блин, ладно подскажу:
$g^{-1}xg = x^{-1} \Rightarrow x = gx^{-1}g^{-1}$
$g^{-1}xg = x^{-1} \Rightarrow g^{-1}x^{-1}g = x$
Отсюда $x = gx^{-1}g^{-1} = g^{-1}x^{-1}g \Rightarrow g^2x^{-1}g^{-2}=x^{-1}$.
Дальше сами. Больше ничего не подскажу.

[VAL]

Sonic86 в сообщении #421053 писал(а):

VAL писал(а):

Разумеется!
Например, из 21 элемента, из 55 элементов...

А где можно о них узнать?

См. выше

[Sonic86]

VAL писал(а):

См. выше

Ага, спасибо!

[Ashley]

Цитата:

Блин, ладно подскажу:
$g^{-1}xg = x^{-1} \Rightarrow x = gx^{-1}g^{-1}$
$g^{-1}xg = x^{-1} \Rightarrow g^{-1}x^{-1}g = x$
Отсюда $x = gx^{-1}g^{-1} = g^{-1}x^{-1}g \Rightarrow g^2x^{-1}g^{-2}=x^{-1}$.
Дальше сами. Больше ничего не подскажу.

Ну так я же уже как бы говорил, что $x$ и $x^{-1}$ меняются местами. Что это дает-то?