2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 задачка про конечные группы
Сообщение08.03.2011, 16:43 
Добрый день!
Есть задачка

Группа нечетного порядка. Доказать, что если в ней какой-то элемент сопряжен своему обратному, то он равен единице.

 
 
 
 Re: задачка про конечные группы
Сообщение08.03.2011, 19:18 
Задача простая. Пишите, что думаете.

 
 
 
 Re: задачка про конечные группы
Сообщение08.03.2011, 19:38 
Оk. Ну, по ходу, надо найти какую-нибудь подгруппу четного порядка, когда $x \ne e$. Можно рассмотреть порождаемую $x$. На ней $x^{-1} = g^{-1} x g$ продолжается до автоморфизма $x^{-n} = (g^{-1} x g)...(g^{-1} x g) = g^{-1} x^n g$. Но это ничего не дает, потому что такой автоморфизм у циклической группы есть всегда. Надо использовать то, что это не просто автоморфизм, а сопряжение с помощью элемента группы. Я не знаю, как. Всё, тупик.

 
 
 
 Re: задачка про конечные группы
Сообщение08.03.2011, 19:51 
Ой! Я затупил :shock: ! Прошу прощенья! :oops:
Но мы пока в любом случае не использовали нечетность порядка группы. Надо его как-то использовать...

 
 
 
 Re: задачка про конечные группы
Сообщение08.03.2011, 19:57 
Ну, я думал, когда найдется подгруппа четного порядка, тогда и используем

 
 
 
 Re: задачка про конечные группы
Сообщение08.03.2011, 20:57 
А! Я знаю!
Сначала, докажите лемму, что если $g^{-k}xg^k=x$, то $k$ делит $ |G|$ и сделайте вывод о $k$ исходя из нечетности $|G|$.
Потом немного помудрите с $g^{-1}xg=x^{-1}$ и используйте лемму.

Ashley писал(а):
Ну, я думал, когда найдется подгруппа четного порядка, тогда и используем

А вообще - существуют некоммутативные группы нечетного порядка? :shock:

 
 
 
 Re: задачка про конечные группы
Сообщение08.03.2011, 23:16 
Сначала доказываем,что $g^2x^{-1}=x^{-1}g^2$,отсюда следует: $x=gx^{-1}g^{-1}=g^3x^{-1}g^{-3}=\dots $,затем учитываем,что группа нечетного порядка.

 
 
 
 Re: задачка про конечные группы
Сообщение09.03.2011, 07:53 
Может, в олимпиадные перенести, можете?

 
 
 
 Re: задачка про конечные группы
Сообщение09.03.2011, 08:11 
Ashley писал(а):
Может, в олимпиадные перенести, можете?

На фига! Решили же!

Хотя про некоммутативные группы нечетного порядка я так и не узнал :roll:

 
 
 
 Re: задачка про конечные группы
Сообщение09.03.2011, 10:59 
Цитата:
На фига! Решили же!


А, просто я до сих пор по инерции думаю, что не решили.

Ведь, например, $ x=gx^{-1}g^{-1}=g^3x^{-1}g^{-3}=\dots $, что это дает, кроме того, что у подгруппы есть автоморфизм который меняет местами $x$ и $x^{-1}$? А это обычное дело для циклической группы, хоть четного порядка, хоть нечетного, так?

Я первым же делом попросил именно это место - поподробней

 
 
 
 Re: задачка про конечные группы
Сообщение09.03.2011, 11:06 
Sonic86 в сообщении #420858 писал(а):
А вообще - существуют некоммутативные группы нечетного порядка? :shock:
Разумеется!
Например, из 21 элемента, из 55 элементов...
Главное, чтоб теорема Силова не мешала.

Рассмотрите, например, подгруппу $S_7$, порожденную перестановками $(1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7)$ и $(1 \ 2 \ 4)(3 \ 6 \ 5)$.

 
 
 
 Re: задачка про конечные группы
Сообщение09.03.2011, 11:16 
VAL писал(а):
Разумеется!
Например, из 21 элемента, из 55 элементов...

А где можно о них узнать? :oops:

Ashley писал(а):
Я первым же делом попросил именно это место - поподробней

Блин, ладно подскажу:
$g^{-1}xg = x^{-1} \Rightarrow x = gx^{-1}g^{-1}$
$g^{-1}xg = x^{-1} \Rightarrow g^{-1}x^{-1}g = x$
Отсюда $x = gx^{-1}g^{-1} = g^{-1}x^{-1}g \Rightarrow g^2x^{-1}g^{-2}=x^{-1}$.
Дальше сами. Больше ничего не подскажу.

 
 
 
 Re: задачка про конечные группы
Сообщение09.03.2011, 11:23 
Sonic86 в сообщении #421053 писал(а):
VAL писал(а):
Разумеется!
Например, из 21 элемента, из 55 элементов...

А где можно о них узнать? :oops:
См. выше :D

 
 
 
 Re: задачка про конечные группы
Сообщение09.03.2011, 11:26 
VAL писал(а):
См. выше :D

Ага, спасибо! :-)

 
 
 
 Re: задачка про конечные группы
Сообщение09.03.2011, 12:33 
Цитата:
Блин, ладно подскажу:
$g^{-1}xg = x^{-1} \Rightarrow x = gx^{-1}g^{-1}$
$g^{-1}xg = x^{-1} \Rightarrow g^{-1}x^{-1}g = x$
Отсюда $x = gx^{-1}g^{-1} = g^{-1}x^{-1}g \Rightarrow g^2x^{-1}g^{-2}=x^{-1}$.
Дальше сами. Больше ничего не подскажу.

Ну так я же уже как бы говорил, что $x$ и $x^{-1}$ меняются местами. Что это дает-то?

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group